故
,即f(x1)-f(x2)>0
∴x1f(x2)
上是减函数.
总结升华:
可以用同样的方法证明此函数在
上是增函数;在今后的学习中经常会碰到这个函数,在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.
类型二、求函数的单调区间
2.判断下列函数的单调区间;
(1)y=x2-3|x|+2;
(2)
解:
(1)由图象对称性,画出草图
∴f(x)在
上递减,在
上递减,在
上递增.
(2)
∴图象为
∴f(x)在
上递增.
举一反三:
【变式1】求下列函数的单调区间:
(1)y=|x+1|;
(2)
(3)
.
解:
(1)
画出函数图象,
∴函数的减区间为
,函数的增区间为(-1,+∞);
(2)定义域为
,
其中u=2x-1为增函数,
在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则
上为减函数;
(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
单调增区间为:
(-∞,0),单调减区间为(0,+∞).
总结升华:
[1]数形结合利用图象判断函数单调区间;
[2]关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关.
[3]复合函数的单调性分析:
先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数;利用已知函数的单调性解决.关注:
内外层函数同向变化→复合函数为增函数;内外层函数反向变化→复合函数为减函数.
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)
3.已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与
的大小.
解:
又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则
.
4.求下列函数值域:
(1)
;1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1);
(2)y=x2-2x+3; 1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2].
思路点拨:
(1)可应用函数的单调性;
(2)数形结合.
解:
(1)
2个单位,再上移2个单位得到,如图
1)f(x)在[5,10]上单增,
;
2)
;
(2)画出草图
1)y∈[f
(1),f(-1)]即[2,6];
2)
.
举一反三:
【变式1】已知函数
.
(1)判断函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈[1,3]时,求函数f(x)的值域.
思路点拨:
这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间,但对解析式稍作处理,即可得到我们相对熟悉的形式.
,第二问即是利用单调性求函数值域.
解:
(1)
上单调递增,在
上单调递增;
(2)
故函数f(x)在[1,3]上单调递增
∴x=1时f(x)有最小值,f
(1)=-2
x=3时f(x)有最大值
∴x∈[1,3]时f(x)的值域为
.
5.已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间
上是增函数,求:
(1)实数a的取值范围;
(2)f
(2)的取值范围.
解:
(1)∵对称轴
是决定f(x)单调性的关键,联系图象可知
只需
;
(2)∵f
(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2,∴-2a≥-4
∴f
(2)=-2a+11≥-4+11=7
.
举一反三:
【变式1】(2011北京理13)已知函数
,若关于x的方程
有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.
解:
单调递减且值域(0,1],
单调递增且值域为
,
由图象知,若
有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(0,1).
类型四、判断函数的奇偶性
6.判断下列函数的奇偶性:
(1)
(2)
(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)
(6)
(7)
思路点拨:
根据函数的奇偶性的定义进行判断.
解:
(1)∵f(x)的定义域为
,不关于原点对称,因此f(x)为非奇非偶函数;
(2)∵x-1≥0,∴f(x)定义域
不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数;
(3)对任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数;
(4)∵x∈R,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),∴f(x)为奇函数;
(5)
,∴f(x)为奇函数;
(6)∵x∈R,f(x)=-x|x|+x∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),∴f(x)为奇函数;
(7)
,∴f(x)为奇函数.
举一反三:
【变式1】判断下列函数的奇偶性:
(1)
;
(2)f(x)=|x+1|-|x-1|;(3)f(x)=x2+x+1;
(4)
.
思路点拨:
利用函数奇偶性的定义进行判断.
解:
(1)
;
(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)∴f(x)为奇函数;
(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1
∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)为非奇非偶函数;
(4)任取x>0则-x<0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0,则-x>0f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0时,f(0)=-f(0)∴x∈R时,f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数.
举一反三:
【变式2】已知f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:
f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.
证明:
设F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.
类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)
7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f
(2).
解:
法一:
∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50∴f
(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二:
令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(-2)=-g
(2)∴f(-2)+8=-f
(2)-8
∴f
(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
举一反三:
【变式1】(2011湖南文12)已知
为奇函数,
,则
为:
.
解:
,又
为奇函数,所以
.
8.f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x,求当x≥0时,f(x)的解析式,并画出函数图象.
解:
∵奇函数图象关于原点对称,∴x>0时,-y=(-x)2-(-x)
即y=-x2-x又f(0)=0,
,如图
9.设定义在[-3,3]上的偶函数f(x)在[0,3]上是单调递增,当f(a-1) 解:
∵f(a-1) 而|a-1|,|a|∈[0,3]
.
类型六、综合问题
10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间
的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________.
①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b) 答案:
①③.
11.求下列函数的值域:
(1)
(2)
(3)
思路点拨:
(1)中函数为二次函数开方,可先求出二次函数值域;
(2)由单调性求值域,此题也可换元解决;(3)单调性无法确定,经换元后将之转化为熟悉二次函数情形,问题得到解决,需注意此时t的范围.
解:
(1)
;
(2)
经观察知,
,
;
(3)令
.
12.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.
(1)若函数f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,求函数f(x)的最小值g(a),并画出最小值函数y=g(a)的图象.
解:
(1)∵f(x)=(x-a)2-1∴a≤0或a≥2
(2)1°当a<-1时,如图1,g(a)=f(-1)=a2+2a
2°当-1≤a≤1时,如图2,g(a)=f(a)=-1
3°当a>1时,如图3,g(a)=f
(1)=a2-2a
,如图
13.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,f
(2)=1,且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y),解不等式:
f(x)+f(x-2)≤3.
解:
令x=2,y=2,∴f(2×2)=f
(2)+f
(2)=2∴f(4)=2
再令x=4,y=2,∴f(4×2)=f(4)+f
(2)=2+1=3∴f(8)=3
∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为:
f[x(x-2)]≤f(8)
.
14.判断函数
上的单调性,并证明.
证明:
任取0
∵00
(1)当
时
0 ∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)
上是减函数.
(2)当x1,x2∈(1,+∞)时,
上是增函数.
难点:
x1·x2-1的符号的确定,如何分段.
15.设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值.
解:
当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,此时函数为偶函数;
当a≠0时,f(x)=x2+|x-a|+1,为非奇非偶函数.
(1)当x≥a时,
[1]
且
[2]
上单调递增,
上的最小值为f(a)=a2+1.
(2)当x [1]
上单调递减,
上的最小值为f(a)=a2+1
[2]
上的最小值为
综上:
.