第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题初中二年级组练习用含答案.docx

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第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题初中二年级组练习用含答案

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中二年级组）总分

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题（初中二年级组·练习用）

一、填空题（每小题10分,共80分）

1.计算

.

2.一块正三角形草坪边长为12米，三个顶点处都安有喷水装置，每个喷水装

置都可以从三角形的一边到另一边旋转60º来回喷水．假定三个喷水装置的射程相等，要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖，那么被重复喷水的最小面积是平方米．

3.从-2，-3，-4，-5这四个数中，任取两个数p,q（p≠q），构成函数y=px+2和

y=-x+q，如果这两个函数图象的交点在直线x=2的左侧，那么这样的有序数对（p,q）共有个．

4.设p为质数，如果二次方程x2-2px+p2-5p-1=0的两个根都是整数，那么

p可能取的值有个.

5.如果

（其中n是整数，且1986≤n≤2018），那么满足条件的n的

个数是.

6.如图所示，在正六边形ABCDEF内放有一个正方形

MNPQ，正方形的顶点分别在正六边形的4条边上，且MN//BC．若正方形MNPQ的面积为12-6

平方

厘米，则正六边形ABCDEF的面积是平方厘米．

7.将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这11个数排成一行，使得任意5

个相邻的数的和都是5的倍数．那么这样的排列方法有种．

8.四张卡片，每张写着一个自然数，任取2张，或者3张，或者4张，把卡

片上的数求和，可以得到11个不同的和，那么4张卡片上所有数的和最小为．

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中二年级组）

二、解答下列各题（每小题10分,共40分,要求写出简要过程）

9.有A，B两队野外徒步旅行，A队在B队的西偏北45度处，两队相距8

千米．如果A队向东继续行走，B队同时沿西偏南45度路线行走，且A队与B队的速度比是

，求A，B两队最近时的距离．

10.如果实数x,y,z同时满足关系式x（y2+z）=z（z+xy），y（z2+x）=x（x+yz），

z（x2+y）=y（y+zx），那么，实数x,y,z是否一定都相等？

请给出证明．

11.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=120︒，

AB=BC．对角线AC，BD相交于点E．若AE=3CE，求证：

AB=2CD．

12.从76个连续自然数1，2，…，76中任取39个数，其中必有2个数的差是

p，求p的值．

三、解答下列各题（每小题15分,共30分,要求写出详细过程）

13.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE=1，∠CAD=45︒，ED

∠E=∠EAB=∠B=90︒，求点A到直线CD的距离．C

AB

14.如图，一个由81个小方格组成的9⨯9网格．先将其中的任意n个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：

如果某个方格至少与2个黑格都恰好有1个公共顶点，那么就

将这个方格染黑．现在要按照这个方法将整个棋盘都染成黑色，那么n的最小值是多少？

说明你的结论．

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题·练习用参考答案

（初中二年级组）一、填空题（每小题10分,共80分）

二、解答下列各题（每小题10分,共40分,要求写出简要过程）

9.

【答案】A，B两队最近时的距离是1610千米．

5

【解答】如图，以B队初始位置为原点，正东、正北方向为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系，B（0,0），A（-8,8）．不妨

设B队的速度为1，那么A队的速度为，经过时间t

后，B队所在位置是B（-2t,-2t），A队所在位置是

122

A1（-8+

2t,8），于是此时两队的距离d满足

d2=（-8+2t+2t）2+（8+2t）2=5t2-162t+128，当t=82时，d取到最

225

小值=1610千米．

5

10.【答案】x,y,z一定都相等．

【证明】将原关系式变形，得

zx（x-y）=y（y-z）③．

xy（y-z）=z（z-x）①，yz（z-x）=x（x-y）②，

（1）当（x-y（）yz-（）zx）-0=时，不妨设x=y，由③得y=0或者y=z．若y=z，

则x=y=z；若y=0，有x=0，代入①，得z=0或者z=x=0，即x=y=z=0．

（2）当（x-y）（y-z）（z-x）≠0时，将①②③相乘得xyz（xyz-1）=0，即xyz=0或

xyz=1．如果xyz=0，不妨设y=0，由

（1）知

z=0或者z=x，矛盾！

如果xyz=1，

不妨设x≥y≥z，显然x>0．假设x>y，考虑②式，有x（x-y）>0，又1=yz>0，

x

z-x<0，所以yz（z-x）<0．矛盾！

所以x=y=z．证毕！

11.【证明】作BM⊥AC于M.

因为△ABC中，AB=BC，∠ABC=120︒，

所以AM=CM,∠CAB=∠ACB=30︒．

因此AB=2BM．

由于∠ACB=30︒，所以∠ACD=90︒．

又由AE=3CE和AM=CM得：

AM+ME=3CE，即CM+ME=3CE．

即（ME+CE）+ME=3CE

在Rt△BME与Rt△DCE中，

所以2ME=2CE，故ME=CE．

因为ME=CE，∠BEM=∠DEC，

所以Rt△BME≌Rt△DCE．因此BM=CD．由于AB=2BM（已证），所以AB=2CD．

12.【答案】p的值为1，2，19，38．

【解答1】p的值是1，2，19，38．

做抽屉，每个抽屉内有差为p的两个数，或仅有一个数：

当p≥39时,有两类抽屉，

第一类，每个抽屉有2个非零自然数，差是p：

{76,76-p}，{75,75-p}，…，

{p+2,2}，{p+1,1}，个数是76-p；

第二类，每个抽屉仅有1个不大于p的非零自然数，但与p的和大于76：

{77-p}，{78-p}，…，{p}个数是76-2⨯（76-p）=2p-76．

此时，抽屉总数是p个．从每个抽屉各取一个数，因为p≥39，这些数中不存在差是p的两个数．

当p≤38时，做抽屉：

{1,p+1},{2,p+2},{3,p+3},{4,p+4}…{p,2p},

{2p+1,3p+1},{2p+2,3p+2},{2p+3,3p+3},…{3p,4p},

……,

⎨2p

⎝⎣⎦

⎝⎣⎦

⎝⎣⎦

⎝⎣⎦

⎩⎪⎣⎦

①若⎡76⎤=76，则抽屉到此为止，共有38个抽屉，从中任取39个，必有

⎢⎥

⎣⎦

2个取自同一个有两个数的抽屉，差是p．所以，p=1,2,19,38．

⎡76⎤≠76

⎧⎪2p⨯⎡76⎤+

⎫⎪⎧⎪

⨯⎡76⎤+⎫⎪

②若⎢⎥

⎣⎦

2p，则还有抽屉：

⎨⎪

⎢⎥1⎬,⎨2p⎢⎥

⎣⎦⎪⎭⎪⎩⎣⎦

2⎬,,,{75},{76}，

⎭

个数是76-2p⎡76⎤．得到抽屉的个数是：

⎣⎦

p⨯⎡76⎤+76-2p⨯⎡76⎤=76-p⎡76⎤=76-p⨯⎛76-⎧76⎫⎫=38+p⨯⎧76⎫

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

ç2p

⎨⎬⎪⎨⎬

⎩⎭⎭⎩⎭

⎧76⎫=76-⎡76⎤p⨯⎧76⎫

其中，⎨2p⎬2p⎢2p⎥，此时，⎨2p⎬≥1，抽屉的个数≥39．从其中39

⎩⎭⎣⎦⎩⎭

个抽屉各取1个数，不存在两个数的差是p．所以，p的值是1,2,19,38．

【解答2】记76=kp+r，0≤r

1

1+p

1+（k-1）p

1+kp

2

2+p

2+（k-1）p

2+kp

r

r+2p

r+（k-1）p

r+kp

p

2p

kp

k为偶数时，记k=2l（注,当k为偶数时，由于76是偶数，r也是偶数），则前r行可以取l+1个数，后p-r行可以取l个数，这

lp+r=kp+r=76-r+r=38+r个数任意两个数的差不等于p．

222

k为奇数时，记k=2l+1（注,当k为奇数时，由于76是偶数，p-r也是偶数），则前r行可以取l+1个数，后p-r行也可以取l+1个数，这

（l+1）p=2（l+1）p=（2l+1）p+p=kp+p=76-r+p=38+p-r个数任意两个数

22222

的差不等于p．

当r≠0时，r>0与p-r>0，因此任取38+1=39个数时，任意两个数的差

22

不等于p．

当r=0时，k为奇数时，任取38+p-r个数，任意两个数的差不等于p．

2

当r=0且k为偶数，最多取38个数，任意两个数的差不等于p，任取39个数，其中必有2个数的差是p．

根据76=22⨯19，其有六个因子1,2,4,19,38,76．

p=1时，k=76，偶数．p=2时，k=38，偶数．p=4时，k=19，奇数．p=19时，k=4，偶数．p=38时，k=2，偶数．p=76时，k=1，奇数．因此p=1,2,19,38时满足要求．

三、解答下列各题（每题15分,共30分,要求写出详细过程）

13.【答案】点A到直线CD的距离是1．

【解答】如图，线段CA绕点A逆时针旋转90︒至AF，连接EF．过点A作CD

的垂线，垂足为G，即线段AG的长度为点A到直线CD的距离．在△ABC和△AEF中，

∠1+∠3=90︒-∠CAD=45︒，

∠2+∠3=90︒-∠CAD=45︒，所以∠1=∠2．

又因为AB=AE，AC=AF，所以△ABC≌△AEF．

所以EF=BC，且∠AEF=∠B=90︒．所以∠AEF+∠DEA=180︒．

所以D，E，F三点共线．在△ADF和△ADC中，

∠DAF=∠2+∠3=45︒=∠CAD，又因为AC=AF，AD=AD，所以△ADF≌△ADC．

FED

C

AB

因为AE，AG分别为全等三角形对应边DF和CD上的高，

所以AG=AE=1．

14.【答案】n的最小值是17．

【解答】如右图，可以将棋盘上的方格分为两类，灰色方格和白色方格．由染色规则可知，两类方格的染色互不影响，因此需要分别考虑．

首先考虑灰色方格．将只属于1个黑色方格的顶点数量称为“边界顶点数”．由染色的规则可以知道，每染一个

方格，“边界顶点数”不会增加．将所有灰色方格都染黑，此时的“边界顶点数”为36．因此灰色方格中初始染为黑色的至少需要9个．

再考虑白色方格．将所有白色方格都染黑，此时的“边界顶点数”为32．因此白色方格中初始染为黑色的至少需要8个．

初始染色方格数为17时，如右图所示，将蓝色和红色方格作为初始的染黑方格，可以将整个棋盘染黑．