中考数学压轴题专题复习圆的综合.docx
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中考数学压轴题专题复习圆的综合
2017中考专题复习——圆
题型一、勾股定理在圆中的应用
1、(2012成都)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过
切线交AB的延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K.
(1)求证:
KE=GE;
CD延长线上一点
E作⊙O的
(2)若
KG
2
=KD·GE,试判断
AC与
EF的位置关系,并说明理由;
3
(3)在
(2)的条件下,若sinE=,AK=23,求FG的长.
5
2、(2014?
孝感)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.
(1)求证:
AC平分∠DAB;
(2)求证:
△PCF是等腰三角形;
(3)若tan∠ABC=,BE=7,求线段PC的长.
3、(2015?
黄陂区校级模拟)如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,以AC
为直角边作等腰Rt△ACD,BD分别交y轴和⊙P于E、F两点,交连接AC、FC.
(1)求证:
∠ACF=∠ADB;
(2)若点A到BD的距离为m,BF+CF=n,求线段CD的长;
(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时,的值是否发生变化?
若不发生变化,请求出
其值;若发生变化,请说明理由.
4、(2013?
成都模拟)已知:
如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中
点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC.连接DE,DE=.
(1)求证:
AM?
MB=EM?
MC;
(2)求sin∠EOB的值;
(3)若P是直径AB延长线上的点,且BP=12,求证:
直线PE是⊙O的切线.
5、(2012?
杭州)如图,AE切⊙O于点E,AT
交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT
于点B,已知∠EAT=30°,AE=3
,MN=2
.
(1
)求∠COB的度数;
(2
)求⊙O的半径R;
(3
)点F在⊙O上(
是劣弧),且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它
的两个顶点分别与点
另一个顶点在⊙O
E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?
你能在其中找出
上的三角形吗?
请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC
的周
6、(2011?
潍坊)如图,AB是半径O的直径,AB=2.射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D,连接BD交半圆于点C,连接AC.过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q.
(1)求证:
△ABC∽△OFB;
(2)当△ABD与△BFO的面枳相等时,求BQ的长;
(3)求证:
当D在AM上移动时(A点除外),点Q始终是线段BF的中点.
专题二、三角函数在圆中的应用
1、(2014成都)如图,在⊙O的内接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交
⊙O于另一点D,垂足为E.设P是⌒上异于A,C的一个动点,
AC
射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:
△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,⌒=⌒,求PD的长;
APBP
(3)在点P运动过程中,设AG
x,tanAFD
y,
BG
求y与x之间的函数关系式
.(不要求写出x的取值范围)
tanAFD
AE
,
FE
2、(2012?
襄阳)如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点
的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接
E、F,过点BC,AF.
B作
PO
(1)求证:
直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明;
(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长.
3、(2014?
武侯区校级自主招生)如图,⊙O与直线PC相切于点C,直径AB∥PC,PA交⊙O
于D,BP交⊙O于E,DE交PC于F.
(1)求证:
PF2=EF?
FD;
(2
)当tan∠APB=,tan∠ABE=,AP=
时,求PF的长;
(3
)在
(2)条件下,连接BD,判断△ADB是什么三角形?
并证明你的结论.
4、(2014?
盘锦)如图,△ABC中,∠
重合),以AG为直径的⊙O交AB于点
连结DE.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
C=90°,点G是线段
D,直线EF垂直平分
AC上的一动点(点G不与A、C
BD,垂足为F,EF交BC于点E,
(2)若
cosA=
,AB=8
,AG=2
,求
BE
的长;
(3)若cosA=,AB=8,直接写出线段BE的取值范围.
专题三、相似三角形与圆的综合应用
1、(2010)已知:
如图,
ABC内接于O,AB为直径,弦CE
AB于F,C是AD的
中点,连结BD并延长交EC的延长线于点G,连结AD,分别交CE、BC于点P、Q.
1
P是
ACQ
的外心;
()求证:
(2)若tan
ABC
3,CF
8,求CQ的长;
4
(3)求证:
(FP
PQ)2
FPFG.
2、(2014?
镇江)如图,⊙O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上的一点,
∠EAB=∠ADB.
(1
)求证:
EA是⊙O的切线;
(2
)已知点B是EF的中点,求证:
以
A、B、C为顶点的三角形与
△AEF相似;
(3
)已知AF=4,CF=2.在
(2)条件下,求AE的长.
3、(2013?
桂林)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于E,以AE为直径作⊙O.
(1)求证:
点D在⊙O上;
(2)求证:
BC是⊙O的切线;
(3)若AC=6,BC=8,求△BDE的面积.
4、(2012?
泰州)如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5.OA与⊙O相交于点P,
AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.
(1
)试判断线段
AB与AC的数量关系,并说明理由;
(2
)若PC=2
,求⊙O的半径和线段
PB的长;
(3
)若在⊙O上存在点Q,使△QAC
是以AC为底边的等腰三角形,求⊙
O的半径r的取值范
围.
5、(2012?
德阳)如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作
⊙O的切线交直线AC于点
D,点E为CH
的中点,连接
AE
并延长交
BD
于点
F,直线
CF
交
AB的延长线于G.
(1)求证:
AE?
FD=AF?
EC;
(2)求证:
FC=FB;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径r的长.
6、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,它的内切圆分别与三角形的三边切于点
D,E,F,连接
AD与内切圆相交于点P,连接PC,PE,PF,FD,ED,且PC⊥PF。
(1)求证:
△PFD∽△PDC;
(2)EP
PD
DE
DC
7、(2012?
十堰)如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,
OD交⊙O于点E.
(1)求证:
BD是⊙O的切线;
(2)若点E为线段OD的中点,证明:
以
O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;
(3)作CF⊥AB于点F,连接AD交CF于点G(如图2),求的值.
8、(2004?
武汉)已知:
如图,直线y=kx+3(k>0)交x轴于B点,交y轴于A点,以A为圆心,AB为半径作⊙A交x轴于另一点D,交y轴于E、F两点,交直线AB于C点,连接BE、
CE,∠CBD的平分线交CE于I点.
(1)求证:
BE=IE;
(2)若AI⊥CE,设Q为弧BF上一点,连接DQ交y轴于T,连接BQ并延长交y轴于G点,
求AT?
AG的值;
(3)设P为线段AB
上的一个动点(异于
A、B),连接
PD交
y轴于
M点,过
P、M、B
三点
作⊙O1交y轴于另一点
N.设⊙
O1的半径为
R,当
时,给出下列两个结论:
①
MN
的长度
不变;②的值不变,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪一个结论正确,证明正确
的结论并求出其值.
专题四、圆中的面积问题
(2013)如图,⊙
O
的半径
r
25
,四边形
ABCD
内接圆⊙
O
,
AC
BD
于点
1、
H,P为CA延长线上的一点,且
PDA
ABD.
(1)试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由:
(2)若tan
ADB
3
,PA
4
3
3
4
3
AH,求BD的
长;
(3)在
(2)的条件下,求四边形ABCD的面积.
2、(2013?
钦州)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆与
AB
边相切于点
D,与
AC、BC
边分别交于点
E、F、G,连接
OD,已知
BD=2,AE=3,tan∠BOD=
.
(1)求⊙O的半径OD;
(2)求证:
AE是⊙O的切线;
(3)求图中两部分阴影面积的和.
3、如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:
CA
=4:
3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
(1)求证:
AC·CD=PC·BC;
(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;
(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?
并求这个最大面积S.
C
A
D
OB
P
4、(四川省成都市2009)如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙O
交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点,
连结OG.
(1)判断OG与CD的位置关系,写出你的结论并证明;
(2)求证:
AE=BF;
(3)若OG·DE=3(2-
2),求⊙O的面积.
F
CG
D
E
AOB
⌒
5、如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上的
任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以D为圆心、DE长为半径作⊙点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.
(1)求弦AB的长;
(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;
(3)记△ABC的面积为S,若
S
=4
3,求△ABC的周长.
DE2
A
D,分别过
C
PD
B
E
O
6、如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,⊙O1经过⊙O2的圆心,顺次连接A、O1、B、O2.
(1)求证:
四边形AO1BO2是菱形;
(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E,连接CO2交AE于D,求证:
CE=2O2D;
(3)在
(2)的条件下,若△AO2D的面积为1,求△BO2D的面积.
专题五、中点在圆中的应用
1、(2011)已知:
如图,以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心,OA长为半径作⊙O,⊙O经过B、D两点,过点B作BK⊥AC,垂足为K。
过D作DH∥KB,DH分别与AC、AB、⊙O
及CB的延长线相交于点E、F、G、H.
(1)求证:
AE=CK;
1
(2)如果AB=a,AD=a(a为大于零的常数),求BK
3
的长:
(3)若F是EG的中点,且DE=6,求⊙O的半径和GH
的长.
2、(2014?
长沙)如图,以△ABC的一边
中点D,过点D作⊙O的切线交AC于点
ABE.
为直径作⊙
O,⊙O
与
BC
边的交点恰好为
BC
的
(1)求证:
DE⊥AC;
(2)若
AB=3DE
,求
tan∠ACB
的值.
3、(2014?
广安)如图,AB为⊙O的直径,以BC与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线DE
(1)求证:
E是AC的中点;
AB为直角边作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜边交AC于点E,DG⊥AB于点F,交⊙O于点G.
(2)若AE=3,cos∠ACB=,求弦DG的长.
4、(2010?
苏州)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC.O是CD边的中点,以O为圆心,OC
长为半径作圆,交BC边于点E.过E作EH⊥AB,垂足为H.已知⊙O与AB边相切,切点为F.
(1)求证:
OE∥AB;
(2)求证:
EH=AB;
(3)若,求的值.
5、011?
广州)如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形
DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上.
(1)证明:
B、C、E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:
MN=
OM;
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1CE1(图2),若M1是线
段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=
OM1是否成立?
若是,请证明;若不是,
说明理由.
6、(2011?
金华)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内
作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过
点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连接CF.
(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长度;
(2)当DE=8时,求线段EF的长;
(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似?
若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
/2015中考圆答案
1、(略)
2、(2014?
孝感)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂
足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.
(1)求证:
AC平分∠DAB;
(2)求证:
△PCF是等腰三角形;
(3)若tan∠ABC=,BE=7,求线段PC的长.
解答:
解:
(1)∵PD切⊙O于点C,
∴OC⊥PD.
又∵AD⊥PD,
∴OC∥AD.
∴∠ACO=∠DAC.
又∵OC=OA,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠DAC=∠CAO,
即AC平分∠DAB.
(2)∵AD⊥PD,∴∠DAC+∠ACD=90°.又∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠PCB+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠PCB.
又∵∠DAC=∠CAO,
∴∠CAO=∠PCB.
∵CE平分∠ACB,∴∠ACF=∠BCF,
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,∴∠PFC=∠PCF,
∴PC=PF,
∴△PCF是等腰三角形.
(3)连接AE.
∵CE平分∠ACB,
∴=,
∴.
∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中,.
∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,
∴.
又∵tan∠ABC=,
∴,
∴.
设PC=4k,PB=3k,则在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,
2
2
2
∵PC+OC=OP,
2
2
2
∴(4k)+7
=(3k+7),
∴k=6(k=0不合题意,舍去).
∴PC=4k=4×6=24.
3、(2015?
黄陂区校级模拟)如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,以AC
为直角边作等腰Rt△ACD,BD分别交y轴和⊙P于E、F两点,交连接AC、FC.
(1)求证:
∠ACF=∠ADB;
(2)若点A到BD的距离为m,BF+CF=n,求线段CD的长;
(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时,的值是否发生变化?
若不发生变化,请求出
其值;若发生变化,请说明理由.
解答:
(1)证明:
连接AB,
∵OP⊥BC,∴BO=CO,∴AB=AC,又∵AC=AD,∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
又∵∠ABD=∠ACF,
∴∠ACF=∠ADB.
(2)解:
过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M,过点A作AN⊥BF于N,连接AF,
则AN=m,
∴∠ANB=∠AMC=90°,
在△ABN和△ACM中
,
∴Rt△ABN≌Rt△ACM(AAS)
∴BN=CM,AN=AM,
又∵∠ANF=∠AMF=90°,
在Rt△AFN和Rt△AFM中
,
∴Rt△AFN≌Rt△AFM(HL),
∴NF=MF,
∴BF+CF=BN+NF+CM﹣MF,
=BN+CM=2BN=n,
∴BN=,
2
2
2
2
2
∴在Rt△ABN中,AB
=BN+AN
=m+
=m+,
2
2
2
2
2
,
在Rt△ACD中,CD
=AB+AC=2AB=2m+
∴CD=
.
(3)解:
的值不发生变化,
过点D作DH⊥AO于N,过点D作DQ⊥BC于Q,
∵∠DAH+∠OAC=90°,∠DAH+∠ADH=90°,
∴∠OAC=∠ADH,
在△DHA和△AOC中
,
∴Rt△DHA≌Rt△AOC(AAS),
∴DH=AO,AH=OC,
又∵BO=OC,
∴HO=AH+AO=OB+DH,而DH=OQ,HO=DQ,
∴DQ=OB+OQ=BQ,∴∠DBQ=45°,
又∵DH∥BC,
∴∠HDE=45°,
∴△DHE为等腰直角三角形,
∴