2．（教材习题改编）等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（ ）
A．12B．10
C．8D．2＋log35
解析：
选B ∵数列{an}为等比数列，∴a5a6＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1·a2·…·a10）
＝log3（a5a6）5＝5log3a5a6＝5log39＝10.
3．（教材习题改编）在等比数列{an}中，若a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________.
解析：
∵∴
∴q2－1≠0，＝.
∴2q2－5q＋2＝0，解得q＝或q＝2.
当q＝2时，a1＝1，∴a3＝a1q2＝4.
当q＝时，a1＝－16，∴a3＝a1q2＝－4.
答案：
4或－4
4．在等比数列{an}中，an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5的值为________．
解析：
由等比数列性质，已知转化为a＋2a3a5＋a＝25，
即（a3＋a5）2＝25，又an>0，故a3＋a5＝5.
答案：
5
5．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________．
解析：
设等比数列的公比为q，则4＝q4.即q＝±.
当q＝时，插入的三个数是，2,2.
当q＝－时，插入的三个数是－，2，－2.
答案：
，2,2或－，2，－2
等比数列的基本运算
[例1]
（1）（2012·新课标全国卷）已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝（ ）
A．7 B．5
C．－5 D．－7
（2）（2012·辽宁高考）已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2（an＋an＋2）＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
（3）（2012·浙江高考）设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.
[自主解答]
（1）设数列{an}的公比为q，
由得或
所以或
所以或所以a1＋a10＝－7.
（2）∵2（an＋an＋2）＝5an＋1，∴2an＋2an·q2＝5an·q，
即2q2－5q＋2＝0，
解得q＝2或q＝（舍去）．
又∵a＝a10＝a5·q5，
∴a5＝q5＝25＝32.
∴32＝a1·q4，解得a1＝2.
∴an＝2×2n－1＝2n，故an＝2n.
（3）由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2作差可得a3＋a4＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，所以2q2－q－3＝0，
解得q＝或q＝－1（舍去）．
[答案]
（1）D
（2）2n （3）
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等比数列运算的通法
与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式an＝a1·qn－1（a1q≠0）及前n项和公式Sn＝中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q时，要注意应用q≠0验证求得的结果．
1．
（1）（2013·海淀模拟）在等数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则a7＝（ ）
A.B.
C.D.
（2）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
（1）选B 在等比数列{an}中，a＝a3a5，又a4＝a3a5，所以a4＝1，故q＝，所以a7＝.
（2）选B 显然公比q≠1，由题意得
解得或（舍去）
故S5＝＝＝.
等比数列的判定与证明
[例2] 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
（1）设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；
（2）在
（1）的条件下证明是等差数列，并求an.
[自主解答]
（1）证明：
∵由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，
∴b1＝a2－2a1＝3.
由Sn＋1＝4an＋2，①
知当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2，②
①－②得an＋1＝4an－4an－1，
∴an＋1－2an＝2（an－2an－1）．
又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1.
∴{bn}是首项b1＝3，公比q＝2的等比数列．
（2）由
（1）可得bn＝an＋1－2an＝3×2n－1，
∴－＝.
∴数列是首项为，公差为的等差数列．
∴＝＋（n－1）＝n－.
an＝（3n－1）×2n－2.
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等比数列的判定方法
（1）定义法：
若＝q（q为非零常数，n∈N*）或＝q（q为非零常数且n≥2，n∈N*），则{an}是等比数列．
（2）等比中项公式法：
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2（n∈N*），则数列{an}是等比数列．
（3）通项公式法：
若数列通项公式可写成an＝c·qn（c，q均是不为0的常数，n∈N*），则{an}是等比数列．
（4）前n项和公式法：
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k（k为常数且k≠0，q≠0,1），则{an}是等比数列．
注意：
前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.
2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：
数列是等比数列．
解：
（1）设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，有（7－d）（18＋d）＝100，解得d＝2或d＝－13（舍去）．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，
即5＝b1×22，解得b1＝.
所以{bn}是以为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝×2n－1＝5×2n－3.
（2）证明：
由
（1）得数列{bn}的前n项和Sn＝＝5×2n－2－，即Sn＋＝5×2n－2.
所以S1＋＝，＝＝2.
因此是以为首项，以2为公比的等比数列.
等比数列的性质及应用
[例3]
（1）在等比数列{an}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，则a41·a42·a43·a44＝________.
（2）已知数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，则S12＝________.
[自主解答]
（1）法一：
a1·a2·a3·a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1，①
a13·a14·a15·a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8，②
由②÷①，得＝q48＝8⇒q16＝2，
又a41·a42·a43·a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a·q166＝a·q6·q160＝（a·q6）·（q16）10＝1·210＝1024.
法二：
由性质可知，依次4项的积为等比数列，
设公比为q，T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a16＝8，∴T4＝T1·q3＝1·q3＝8，即q＝2.
∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·q10＝210＝1024.
（2）法一：
设等比数列{an}的公比为q，则＝＝q3＝，即q3＝2.
故S12＝（a1＋a2＋a3）＋（a4＋a5＋a6）＋（a7＋a8＋a9）＋（a10＋a11＋a12）＝（a1＋a2＋a3）＋（a1·q3＋a2·q3＋a3·q3）＋（a1·q6＋a2·q6＋a3·q6）＋（a1·q9＋a2·q9＋a3·q9）＝（a1＋a2＋a3）＋（a1＋a2＋a3）q3＋（a1＋a2＋a3）q6＋（a1＋a2＋a3）q9＝（a1＋a2＋a3）（1＋q3＋q6＋q9）＝3×（1＋2＋22＋23）＝45.
法二：
设等比数列{an}的公比为q，
则＝q3＝，即q3＝2.
因为S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝9，
S12－S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12，
所以＝＝
＝q6＝4.
所以S12＝5S6＝45.
[答案]
（1）1024
（2）45
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等比数列常见性质的应用
等比数列的性质可以分为三类：
①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
3．已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和．
解：
∵Sn＝2，其后2n项为S3n－Sn＝S3n－2＝12，
∴S3n＝14.
由等比数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
即（S2n－2）2＝2·（14－S2n）解得S2n＝－4，或S2n＝6.
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