和差倍年龄植树问题专练.docx

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和差倍年龄植树问题专练

和差倍、年龄、植树问题专练

一、知识地图

典型应用题

二、基础知识

（一）和差问题：

已知两个数的和及两个数的差，求这两个数。

方法①：

（和－差）÷2＝较小数，和-较小数=较大数

方法②：

（和＋差）÷2＝较大数，和-较大数=较小数

例如：

两个数的和是15，差是5，求这两个数。

方法：

（15-5）÷2＝5，（15+5）÷2＝10。

（二）和倍问题：

已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。

方法：

和÷（倍数＋1）＝1倍数（较小数）

1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）

或和－1倍数（较小数）＝几倍数（较大数）

例如：

两个数的和为50，大数是小数的4倍，求这两个数。

方法：

50÷（4＋1）＝1010×4＝40

（三）差倍问题：

已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。

方法：

差÷（倍数－1）＝1倍数（较小数）

1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）

或和－1倍数（较小数）＝几倍数（较大数）

例如：

两个数的差为80，大数是小数的5倍，求这两个数。

方法：

80÷（5－1）＝2020×5＝100

（四）年龄问题

关键①：

年龄差不变

例如：

今年爸爸比儿子大30岁，明年爸爸比儿子大几岁？

答：

还是30岁，爸爸长1岁，儿子也长1岁。

明年父子年龄差＝明年爸爸的年龄－明年儿子的年龄

＝（今年爸爸的年龄＋1）－（今年儿子的年龄+1）

＝今年爸爸的年龄＋1－今年儿子的年龄－1

＝今年爸爸的年龄－今年儿子的年龄

＝30（岁）

关键②：

年龄的倍数关系是变化的。

例如：

今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，明年父亲的年龄还是儿子年龄的3倍吗？

答：

不是，设今年儿子10岁，设今年父亲30岁，那么明年儿子11岁，父亲31岁，31÷11＝2…9，不是3倍。

（五）植树与方阵问题

一、不封闭型（直线）植树问题

（1）直线两端植树：

棵数=段数+1=全长÷株距+1；

全长=株距×（棵数-1）；

株距=全长÷（棵数-1）；

例如：

学而思学校附近有一条2000米的公路，在路两边每相隔50米种一棵树，两端都种，需要多少棵树？

分析：

（2000÷50+1）×2=82（棵）

（2）直线一端植树：

全长=株距×棵数；

棵数=全长÷株距；

株距=全长÷棵数；

例如：

小熊家门口有一条小路长50米，从门口开始在小路的一旁每隔5米栽一棵树，问一共栽了多少棵树？

分析：

门口不可能植树，所以这是一个一端种树一端不种的情况，棵树等于段数，所以一共栽树：

50÷5=10（棵）。

（3）直线两端都不植树：

棵数=段数-1=全长÷株距-1；

株距=全长÷（棵数+1）；

例如：

学而思学校两栋教学楼之间有一排白杨树，一共有18棵，每两棵树之间以及树与教学楼的距离都是3米，请问这两栋教学楼之间的距离是多少米？

分析：

因为两端就是教学楼，不可能种树，所以教学楼之间一共有19个间隔，所以这两栋教学楼之间的距离是3×19＝57（米）。

二、封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题

棵数＝总距离÷棵距；

总距离＝棵数×棵距；

棵距＝总距离÷棵数。

例如：

小同家有一个圆形果园，周长是1500米，沿圆周每隔6米栽一棵苹果树，每两棵苹果树之间栽一棵桃树，问：

果园周围共栽种果树多少棵？

分析：

果园一周全长1500米，每隔6米栽一颗苹果树，说明果园的圆周以6米为一段，可以分成1500÷6＝250（段），由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数等于棵数，苹果树有250棵；每两棵苹果树之间栽种一棵桃树，也就是有250棵桃树，所以，苹果树与桃树一共有：

250+250=500（棵）。

3．方阵问题

在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所谓的“方阵”。

例如：

某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。

问方阵外层每边有多少人？

这个方阵共有五年级学生多少人？

分析：

每边人数=四周人数÷4+1，

方阵最外层每边人数：

60÷4＋1=16（人），

整个方阵共有学生人数：

16×16=256（人）。

经典透析

【例1】（☆☆☆）一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得两数的和624.18，则原来的小数是多少？

[审题要点]本题属于和倍问题。

关键是抓住小数点向左移一位，原数就缩小10倍；小数点向右移一位，原数就扩大10倍。

[详解过程]小数点向右移一位所得数是向左移一位所得数的100倍，有624.18÷（100＋1）＝6.18，6.18×10＝61.8，即原数是61.8。

【例2】（☆☆☆）某校原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，参加室内，室外活动的一共有多少人？

[审题要点]本题属于差倍问题

[详解过程]为了清晰地反映数量的变化及倍数关系，我们画出线段图如下：

把室内50人调到室外，则室外人数比室内人数多480＋50×2＝580（人），又因为室外人数是室内人数的5倍，也就是多4倍，所以现在室内人数为580÷（5－1）＝145（人），一共有145×（1＋5）＝870（人）。

【例3】（☆☆☆）小新用20元钱买了5支圆珠笔和12本练习本，剩下的钱若买一支圆珠笔少4角；若买一本练习本还少6角，问一支圆珠笔的价钱是。

[审题要点]和倍、差倍问题的综合运用

[详解过程]练习本和圆珠笔的差价为2角。

而20元加上4角能买6只圆珠笔和12本练习本。

所以如果用20+0.4+0.2×6=21.6元能买18本练习本，每本的价钱为21.6÷18=1.2元，所以圆珠笔的价钱为1.2-0.2=1元。

【例4】（☆☆☆）四个人年龄之和是87岁，最小的一个12岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大7岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少？

[审题要点]把年龄最小的人与年龄最大的人的年龄之和看成一个数，把另外两个人年龄之和也看成一个数。

问题就转化为典型的和差同题。

[详解过程]最小的一个与最大的人年龄之和是：

（87＋7）÷2＝47（岁）。

最小的12岁，因此最大的年龄：

47－12＝35（岁）。

【例5】甲对乙说：

“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半。

”乙对甲说：

“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7。

”问：

甲、乙二人现在各多少岁？

[审题要点]甲乙年龄差不变、从已知条件中看出甲比乙年龄大。

[详解过程]为了清晰地反映等量关系，我们画出线段图如下：

从图中可以得到年龄差是7岁，所以，乙现在年龄：

7×3＝21（岁），甲现在年龄：

7×4＝28（岁）。

【例6】老陈有几个儿子，老陈的年龄是儿子们年龄和的4.5倍，而1年前，老陈的年龄是他的几个儿子年龄和的7倍，4年后，老陈的年龄就只有他几个儿子的年龄和的2倍，那么老陈有几个儿子？

[审题要点]借助于方程法解决

[详解过程]设老陈有n个儿子，则今年老陈的年龄是儿子们平均年龄的4.5n倍，而1年前老陈的年龄是儿子们平均年龄的7n倍，4年后，老陈的年龄是他的几个儿子的平均年龄的2n倍，由于老陈的年龄与儿子们的平均年龄之差是固定的，所以我们以老陈的年龄与儿子们的平均年龄之差为标准，设为

，则今年儿子们平均年龄

，4年后儿子们的平均年龄

，得到方程式：

-

=

（

-

），解得

。

另解：

老陈有n个儿子今年儿子们的年龄和为k岁，则4.5k-1=（k-n）×7⑴

4.5k+4=（k+4n）×2⑵，解得：

k=8，n=3。

【例7】在学而思学校内一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，这条路有多长？

后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，一共补种了多少棵？

[审题要点]加长部分、求得是补种几棵树

[详解过程]小路原来的长度：

5×（21－1）＝100（米），加长后一侧应种的树的棵数：

（100＋30）÷5＋1＝27（棵），应补的棵数：

27－21＝6（棵）。

【例8】把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚。

然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。

问：

每条边上白棋子有多少枚？

[审题要点]每个角上有一枚，求出实际每条边几枚

[详解过程]一共有50枚棋子，放在5条边上，所以平均每条边上放50÷5=10枚黑棋子，又因为每个角上都有一枚棋子，所以实际上每条边上有10+1=11枚黑棋子。

11枚黑棋子之间有10个间隔，所以白棋子数是10×2=20（枚）。

【例9】

一个实心正六边形阵，每条边有16人，那么一共有人；最外面一层有人；从外向内数第2层每条边有人，共人；最外面三层有人；每条边增加1人，这一层增加人；原正六边形方阵再增加一层能增加人；

[审题要点]找规律

[详解过程]从内往外，第一层1人，第二层每边2人，共6人；第三层每边3人，共12人；第四层每边4人，共18人；…；第十四层每边14人，共78人；第十五层每边15人，共84人；第十六层每边16人，共90人。

原实心正方形阵共有1+6+12+…+90=721人。

从外往内数第二层就是从内往外数第十五层，每边15人，共（15-1）×6=84人。

最外面三层有90+84+78=252人。

每条边增加1人，这一层增加6人。

原六边形方阵再增加一层能增加（17-1）×6=96人。

三、拓展训练

1.姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术，英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？

[初级点拨]本题属于典型的和差问题，只是“差”没有直接告诉我们，绕了个小弯。

[深度提示]根据条件，做英语的时间大于算术的时间。

[全解过程]因为“姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟”，所以妹妹做英语比算术多用了48－42＝6（分钟）。

画线段图：

（44－6）÷2＝19（分钟）算术

（44＋6）÷2＝25（分钟）英语

答：

妹做英语用25分钟。

2.在一次期中考试中，小强的英语成绩和数学成绩之和是194分，他的数学成绩和语文成绩之和是186分，而语文成绩和英语成绩之和是180分，那么，小强的英语、数学和语文成绩到底各是多少？

[初级点拨]由条件知：

英语成绩+数学成绩=194，数学成绩+语文成绩=186，语文成绩+英语成绩=180，

[深度提示]将三个式子相加

[全解过程]由条件知：

英语成绩+数学成绩=194，数学成绩+语文成绩=186，语文成绩+英语成绩=180，将三个式子相加，2（英语成绩+数学成绩+语文成绩）=560（分），所以英语成绩+数学成绩+语文成绩=560÷2=280（分），用总成绩减去英语成绩和数学成绩之和就是语文成绩：

280-194=86（分），同理，英语成绩：

280-186=94（分），数学成绩：

280-180=100（分）

3.某学校计划栽种杨树、柳树和槐树共200棵，当种了一半的杨树和10棵柳树之后，又临时运来了6棵槐树，这时剩下的三种树的棵树恰好相等，问原计划要栽种这三种树各多少棵？

[初级点拨]如果没有栽种之前运走10棵柳树，并且运来6棵槐树，那么树的总数就是：

200-10+6=196（棵）。

[深度提示]柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半。

[全解过程]为了清晰地反映数量关系，我们画出线段图如下：

树的总数就是：

200-10+6=196（棵），柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半，令杨树的一半为一倍数，即为：

195÷（2+1+1）=196÷4=49（棵），所以计划种杨树：

49×2=98（棵），柳树：

49+10=59（棵），槐树：

49-6=43（棵）。

4.今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和？

[初级点拨]今年爷爷与三个孙子的年龄差

[深度提示]每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄增加几岁

[全解过程]三个孙子年龄的和为27＋23＋16＝66（岁），爷爷比他们三人的年龄的和多78－66＝12（岁），每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄多增加3－1＝2（岁）。

因而，经过12÷2＝6（年）后，爷爷的年龄是三个孙子年龄的和。

5.甲对乙说：

“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你才5岁。

”乙对甲说：

“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你将50岁。

”问：

甲、乙二人现在各多少岁？

[初级点拨]年龄差不变

[深度提示]每一次两人变化的年龄都相等，且是年龄差

[全解过程]根据题意画出示意图：

因为年龄差是不变的量，甲乙二人的年龄差=（50-5）÷3=15（岁），乙现在的岁数是：

15+5=20（岁），甲现在的岁数是：

20+15=35（岁）

6.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。

四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。

问：

现在各人的年龄是多少？

[初级点拨]年龄差不变

[深度提示]为什么少了1岁？

[全解过程]73－58＝15≠4×4，四个人四年应该增长4×4＝16岁，但实际上只增长了15岁，为什么少了1岁呢？

因为在4年前，弟弟还没有出生，所以弟弟今年应该是3岁。

姐姐是3＋2＝5岁，父母今年的年龄和是73－3－5＝65岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（65＋3）÷2＝34岁，母亲是65－34＝31岁。

7.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶，他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年多少岁？

[初级点拨]求出两年之后25位老人的平均年龄

[深度提示]奇数个数的平均数是中间数

[全解过程]两年之后25位老人的平均年龄为2000÷25=80（岁），其中年龄最大的老人为80+12=92（岁），年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90（岁）。

8.大头儿子和小头爸爸两个人比赛跑楼梯，他们从一层开始比赛，大头儿子到四层时，小头爸爸到三层，如此算来，大头儿子到16层时，小头爸爸跑到了几层？

[初级点拨]不封闭型植树问题

[深度提示]“两端都种树”，间隔数=棵树-1

[全解过程]大头儿子跑了三个楼层间隔，爸爸跑了两个楼层间隔，到16层需要跑15个楼层间隔，所以小头爸爸跑了15÷3×2+1＝10＋1＝11（层）。

9.如图是某个小区的街道图，街道将整个小区划分为相同的4块正方形，每个正方形的边长为110米，街道的宽为10米，现在要在所有的街道两边每隔10米栽种一棵树，每个拐角都栽树，求这个小区一共要栽树多少棵？

[初级点拨]分解图形

[深度提示]每个拐角都栽树

[全解过程]整个小区种植的树实际上可看成4个边长为110米的小正方形和一个边长为10+110+10+110+10=250米的正方形。

所以一共需要栽树（110×4÷10）×4+（250×4÷10）=276棵树。

10.正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米。

甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如右图），甲的速度是乙的2倍，甲在拐了两个弯之后的第5棵树与乙相遇（把角上的树看作第一棵树）。

操场四周栽了多少棵树？

[初级点拨]封闭型植树问题

[深度提示]时间一定，路程比等于速度比

[全解过程]甲走了两个边长加上4个间距，乙走了两个边长减去4个间距，所以甲比乙多走了8个间距，而甲的速度是乙的2倍，所以走的路程也是乙的两倍，所以乙走了8个间距，所以一圈一共有8+8×2=24个间距，所以操场一圈一共有24个间距。

操场四周一共栽了24棵树。

11.北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进。

排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？

[初级点拨]不封闭型植树问题

[深度提示]相当于已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长

[全解过程]相当于植树问题中已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长相当。

注意段数比树的株数少1。

所以，

（1）每队的人数是：

　　60000÷25＝2400（人）

（2）每队可以分成的排数是：

　　2400÷12＝200（排）

　　（3）200排的全长米数是：

　　1×（200-1）＝199（米）

　　（4）25个队的全长米数是：

　　199×25＝4975（米）

　　（5）25个队之间的距离总米数是：

4×（25-1）＝96（米）

　　（6）游行队伍的全长是：

　　4975＋96＝5071（米）