和差倍年龄植树问题专练.docx

1、和差倍年龄植树问题专练和差倍、年龄、植树问题专练一、 知识地图典型应用题二、 基础知识（一） 和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这两个数。方法：（和差）2较小数，和-较小数=较大数方法：（和差）2较大数，和-较大数=较小数例如：两个数的和是15，差是5，求这两个数。方法：（15-5）25，（15+5）210。（二） 和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。 方法：和（倍数1）1倍数（较小数）1倍数（较小数）倍数几倍数（较大数）或 和1倍数（较小数）几倍数（较大数）例如：两个数的和为50，大数是小数的4倍，求这两个数。方法：50（41）10 10440（三）差倍问题：已知

2、两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。方法：差（倍数1）1倍数（较小数）1倍数（较小数）倍数几倍数（较大数）或 和1倍数（较小数）几倍数（较大数）例如：两个数的差为80，大数是小数的5倍，求这两个数。方法：80（51）20 205100（四）年龄问题关键：年龄差不变例如：今年爸爸比儿子大30岁，明年爸爸比儿子大几岁？答：还是30岁，爸爸长1岁，儿子也长1岁。明年父子年龄差明年爸爸的年龄明年儿子的年龄（今年爸爸的年龄1）（今年儿子的年龄+1） 今年爸爸的年龄1今年儿子的年龄1 今年爸爸的年龄今年儿子的年龄 30（岁） 关键：年龄的倍数关系是变化的。例如：今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，明年父

3、亲的年龄还是儿子年龄的3倍吗？答：不是，设今年儿子10岁，设今年父亲30岁，那么明年儿子11岁，父亲31岁， 311129，不是3倍。（五）植树与方阵问题一、 不封闭型（直线）植树问题（1） 直线两端植树： 棵数=段数+1=全长株距+1；全长=株距（棵数-1）；株距=全长（棵数-1）；例如：学而思学校附近有一条2000米的公路，在路两边每相隔50米种一棵树，两端都种，需要多少棵树？分析：（200050+1）2=82（棵）（2） 直线一端植树： 全长=株距棵数；棵数=全长株距；株距=全长棵数；例如：小熊家门口有一条小路长50米，从门口开始在小路的一旁每隔5米栽一棵树，问一共栽了多少棵树？分析：门

4、口不可能植树，所以这是一个一端种树一端不种的情况，棵树等于段数，所以一共栽树：505=10（棵）。（3） 直线两端都不植树： 棵数=段数-1=全长株距-1；株距=全长（棵数+1）；例如：学而思学校两栋教学楼之间有一排白杨树，一共有18棵，每两棵树之间以及树与教学楼的距离都是3米，请问这两栋教学楼之间的距离是多少米？ 分析：因为两端就是教学楼，不可能种树，所以教学楼之间一共有19个间隔，所以这两栋教学楼之间的距离是31957（米）。二、 封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题棵数总距离棵距； 总距离棵数棵距； 棵距总距离棵数。例如：小同家有一个圆形果园，周长是1500米，沿圆周每隔6米栽一棵苹果

5、树，每两棵苹果树之间栽一棵桃树，问：果园周围共栽种果树多少棵？分析：果园一周全长1500米，每隔6米栽一颗苹果树，说明果园的圆周以6米为一段，可以分成15006250（段），由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数等于棵数，苹果树有250棵；每两棵苹果树之间栽种一棵桃树，也就是有250棵桃树，所以，苹果树与桃树一共有：250+250=500（棵）。3 方阵问题在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所谓的“方阵”。例如：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？分析：每边人数=四周人数4

6、+1，方阵最外层每边人数：6041=16（人），整个方阵共有学生人数：1616=256（人）。经典透析【例1】 （）一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得两数的和624.18，则原来的小数是多少？审题要点 本题属于和倍问题。关键是抓住小数点向左移一位，原数就缩小10倍；小数点向右移一位，原数就扩大10倍。详解过程 小数点向右移一位所得数是向左移一位所得数的100倍，有624.18（1001）6.18，6.181061.8，即原数是61.8。【例2】 （）某校原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，参加室内，室

7、外活动的一共有多少人？审题要点 本题属于差倍问题详解过程 为了清晰地反映数量的变化及倍数关系，我们画出线段图如下：把室内50人调到室外，则室外人数比室内人数多480502580（人），又因为室外人数是室内人数的5倍，也就是多4倍，所以现在室内人数为580（51）145（人），一共有145（15）870（人）。【例3】 （）小新用20元钱买了5支圆珠笔和12本练习本，剩下的钱若买一支圆珠笔少4角；若买一本练习本还少6角，问一支圆珠笔的价钱是 。审题要点 和倍、差倍问题的综合运用详解过程 练习本和圆珠笔的差价为2角。而20元加上4角能买6只圆珠笔和12本练习本。所以如果用20+0.4+0.26=2

8、1.6元能买18本练习本，每本的价钱为21.618=1.2元，所以圆珠笔的价钱为1.2-0.2=1元。 【例4】 （）四个人年龄之和是87岁，最小的一个12岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大7岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少？ 审题要点 把年龄最小的人与年龄最大的人的年龄之和看成一个数，把另外两个人年龄之和也看成一个数。问题就转化为典型的和差同题。详解过程 最小的一个与最大的人年龄之和是：（877）247（岁）。最小的12岁，因此最大的年龄：471235（岁）。【例5】 甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半。”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，

9、你的岁数是我今年岁数的2倍减7。”问：甲、乙二人现在各多少岁？审题要点 甲乙年龄差不变、从已知条件中看出甲比乙年龄大。详解过程 为了清晰地反映等量关系，我们画出线段图如下： 从图中可以得到年龄差是7岁，所以，乙现在年龄： 7321（岁），甲现在年龄： 7428（岁）。【例6】 老陈有几个儿子，老陈的年龄是儿子们年龄和的4.5倍，而1年前，老陈的年龄是他的几个儿子年龄和的7倍，4年后，老陈的年龄就只有他几个儿子的年龄和的2倍，那么老陈有几个儿子？审题要点 借助于方程法解决详解过程 设老陈有n个儿子，则今年老陈的年龄是儿子们平均年龄的4.5n倍，而1年前老陈的年龄是儿子们平均年龄的7n倍，4年后，

10、老陈的年龄是他的几个儿子的平均年龄的2n倍，由于老陈的年龄与儿子们的平均年龄之差是固定的，所以我们以老陈的年龄与儿子们的平均年龄之差为标准，设为，则今年儿子们平均年龄，4年后儿子们的平均年龄，得到方程式： -=（-），解得。另解：老陈有n个儿子今年儿子们的年龄和为k岁，则4.5k-1=（k-n）7 4.5k+4=（k+4 n）2 ， 解得：k=8，n=3。 【例7】 在学而思学校内一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，这条路有多长？后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，一共补种了多少棵？审题要点 加长部分、求得是补种几棵树详解过程 小路原来的长度：5（211）100（米），

11、 加长后一侧应种的树的棵数：（10030）5127（棵），应补的棵数：27216（棵）。【例8】 把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚。然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。问：每条边上白棋子有多少枚？审题要点 每个角上有一枚，求出实际每条边几枚详解过程 一共有50枚棋子，放在5条边上，所以平均每条边上放505=10枚黑棋子，又因为每个角上都有一枚棋子，所以实际上每条边上有10+1=11枚黑棋子。11枚黑棋子之间有10个间隔，所以白棋子数是102=20（枚）。【例9】 一个实心正六边形阵，每条边有16人，那么一共有 人；最外面一层有 人；从外向

12、内数第2层每条边有 人，共 人；最外面三层有 人；每条边增加1人，这一层增加 人；原正六边形方阵再增加一层能增加 人；审题要点 找规律详解过程 从内往外，第一层1人，第二层每边2人，共6人；第三层每边3人，共12人；第四层每边4人，共18人；第十四层每边14人，共78人；第十五层每边15人，共84人；第十六层每边16人，共90人。原实心正方形阵共有1+6+12+90=721人。 从外往内数第二层就是从内往外数第十五层，每边15人，共（15-1）6=84人。最外面三层有90+84+78=252人。每条边增加1人，这一层增加6人。原六边形方阵再增加一层能增加（17-1）6=96人。三、 拓展训练1

13、. 姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术，英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？初级点拨 本题属于典型的和差问题，只是“差”没有直接告诉我们，绕了个小弯。深度提示 根据条件，做英语的时间大于算术的时间。全解过程 因为“姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟”，所以妹妹做英语比算术多用了48426（分钟）。画线段图：（446）219（分钟） 算术（446）225（分钟） 英语答：妹做英语用25分钟。2. 在一次期中考试中，小强的英语成绩和数学成绩之和是194分，他的数学成绩和语文成

14、绩之和是186分，而语文成绩和英语成绩之和是180分，那么，小强的英语、数学和语文成绩到底各是多少？初级点拨 由条件知：英语成绩+数学成绩=194，数学成绩+语文成绩=186，语文成绩+英语成绩=180，深度提示 将三个式子相加全解过程 由条件知：英语成绩+数学成绩=194，数学成绩+语文成绩=186，语文成绩+英语成绩=180，将三个式子相加，2（英语成绩+数学成绩+语文成绩）=560（分），所以英语成绩+数学成绩+语文成绩=5602=280（分），用总成绩减去英语成绩和数学成绩之和就是语文成绩：280-194=86（分），同理，英语成绩：280-186=94（分），数学成绩：280-180

15、=100（分）3. 某学校计划栽种杨树、柳树和槐树共200棵，当种了一半的杨树和10棵柳树之后，又临时运来了6棵槐树，这时剩下的三种树的棵树恰好相等，问原计划要栽种这三种树各多少棵？初级点拨 如果没有栽种之前运走10棵柳树，并且运来6棵槐树，那么树的总数就是：200-10+6=196（棵）。深度提示 柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半。全解过程 为了清晰地反映数量关系，我们画出线段图如下：树的总数就是：200-10+6=196（棵），柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半，令杨树的一半为一倍数，即为：195（2+1+1）=1964=49（棵），所以计划种杨树：492=98（棵），柳

16、树：49+10=59（棵），槐树：49-6=43（棵）。4. 今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和？ 初级点拨 今年爷爷与三个孙子的年龄差深度提示 每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄增加几岁全解过程 三个孙子年龄的和为27231666（岁），爷爷比他们三人的年龄的和多786612（岁），每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄多增加312（岁）。因而，经过1226（年）后，爷爷的年龄是三个孙子年龄的和。5. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你才5岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你将50岁。”问：甲、乙二

17、人现在各多少岁？初级点拨 年龄差不变深度提示 每一次两人变化的年龄都相等，且是年龄差全解过程 根据题意画出示意图：因为年龄差是不变的量，甲乙二人的年龄差=（50-5）3=15（岁），乙现在的岁数是：15+5=20（岁），甲现在的岁数是：20+15=35（岁）6. 全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。问：现在各人的年龄是多少？初级点拨 年龄差不变深度提示 为什么少了1岁？全解过程 73581544，四个人四年应该增长4416岁，但实际上只增长了15岁，为什么少了1岁呢？因为在4年前，弟弟还没有出生，所以弟弟今年应该是3岁。姐姐是325岁

18、，父母今年的年龄和是733565岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（653）234岁，母亲是653431岁。7. “重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶，他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年多少岁？ 初级点拨 求出两年之后25位老人的平均年龄深度提示 奇数个数的平均数是中间数全解过程 两年之后25位老人的平均年龄为200025=80（岁），其中年龄最大的老人为80+12=92（岁），年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90（岁）。8.大头儿子和小头爸爸两个人比赛跑楼梯，他们从一层开始比赛，大头儿子到四层时，小头爸爸到三层，

19、如此算来，大头儿子到16层时，小头爸爸跑到了几层？初级点拨 不封闭型植树问题深度提示 “两端都种树”，间隔数=棵树-1全解过程 大头儿子跑了三个楼层间隔，爸爸跑了两个楼层间隔，到16层需要跑15个楼层间隔，所以小头爸爸跑了1532+110111（层）。9.如图是某个小区的街道图，街道将整个小区划分为相同的4块正方形，每个正方形的边长为110米，街道的宽为10米，现在要在所有的街道两边每隔10米栽种一棵树，每个拐角都栽树，求这个小区一共要栽树多少棵？初级点拨 分解图形深度提示 每个拐角都栽树全解过程 整个小区种植的树实际上可看成4个边长为110米的小正方形和一个边长为10+110+10+110+

20、10=250米的正方形。所以一共需要栽树（110410）4+（250410）=276棵树。10.正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米。甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如右图），甲的速度是乙的2倍，甲在拐了两个弯之后的第5棵树与乙相遇（把角上的树看作第一棵树）。操场四周栽了多少棵树？初级点拨 封闭型植树问题深度提示 时间一定，路程比等于速度比全解过程 甲走了两个边长加上4个间距，乙走了两个边长减去4个间距，所以甲比乙多走了8个间距，而甲的速度是乙的2倍，所以走的路程也是乙的两倍，所以乙走了8个间距，所以一圈一共有8+82=24个间距，所以操场一圈一共有24个间

21、距。操场四周一共栽了24棵树。11.北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进。排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？初级点拨 不封闭型植树问题深度提示 相当于已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长全解过程 相当于植树问题中已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长相当。注意段数比树的株数少1。所以， （1）每队的人数是： 60000252400（人） （2）每队可以分成的排数是： 240012200（排） （3）200排的全长米数是： 1（200-1）199（米） （4）25个队的全长米数是： 199254975（米） （5）25个队之间的距离总米数是：4（25-1）96（米） （6）游行队伍的全长是： 4975965071（米）