近世代数复习思考题.docx
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近世代数复习思考题
近世代数复习思考题
一、基本概念与基本常识的记忆
（一）填空题
1.剩余类加群Z12有个生成元.
2、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是.
3.6阶循环群有个子群.
4、设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为———。
5.模8的剩余类环Z8的子环有个.
6.整数环Z的理想有个.
7、n次对称群Sn的阶是——————。
8、9-置换123456789分解为互不相交的循环之积是—
543961827
———。
9.剩余类环Z6的子环S={[0],[2],[4]}，则S的单位元是
10.Z24中的所有可逆元是：
.
11、凯莱定理的内容是：
任一个子群都同一个同构。
12.设G（a）为循环群，那么
（1）若a的阶为无限，则G同构于，
（2）若a的阶为n，则G同构于。
13.在整数环Z中，23=；
14、n次对称群Sn的阶是.
15.设A1,A2为群G的子群，则A1A2是群G的子群的充分必要条件
为。
16、除环的理想共有个。
17.剩余类环Z5的零因子个数等于.
18、在整数环Z中，由｛2，3｝生成的理想是.
19.剩余类环Z7的可逆元有个.
20、设Z11是整数模11的剩余类环，则Z11的特征是.
21.整环I=｛所有复数a+bi（a,b是整数）｝，则I的单位是
22.剩余类环Zn是域n是.
23、设Z7=｛0，1，2，3，4，5，6｝是整数模7的剩余类环，在Z7[x]中,（5x-4）（3x+2）=.
24.设G为群，aG，若a12，则a8。
25、设群G=｛e，a1，a2，⋯，an-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n=___.
26.设A=｛a,b,c｝，则A到A的一一映射共有个.
27、整数环Z的商域是.
28.整数加群Z有个生成元.
29、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么RI是一个域当且仅当I是————————。
30.已知12345为S5上的元素，则1＝。
312545
31.每一个有限群都与一个群同构。
32、设I是唯一分解环，则I[x]与唯一分解环的关系是
二、基本概念的理解与掌握。
（二）选择题
1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。
A.2
B.5
C.7
D.10
2.设A＝B＝R（实数集），
如果A到B的映射
：
x→x＋2，x∈R，
则是从A到B的（
）
A.满射而非单射
B.单射而非满射
C.一一映射
D.既非单射也非满射
3.设Z15是以15为模的剩余类加群，
那么，
Z15的子群共有
（）个。
A.2
B.4
C.6
D.8
4、G是12阶的有限群，H是G的子群，则
H的阶可能是（）
A5；B6；C
7；
D9.
5、下面的集合与运算构成群的是
（）
A{0，1}，运算为普通的乘法；
B{0，1}，运算为普通的加法;
C{-1，1}，运算为普通的乘法；
D{-1，1}，运算为普通的加法;
6、关于整环的叙述，下列正确的是（）
7、关于理想的叙述，下列不正确的是（）
A在环的同态满射下，理想的象是理想;
B在环的同态满射下，理想的逆象是理想
C除环只有两个理想，即零理想和单位理想
D环的最大理想就是该环本身.
8.整数环Z中，可逆元的个数是（）
A.1个B.2个C.4个D.无限个
9.设M2（R）=aba,b,c,d∈R，R为实数域按矩阵的加法和cd
乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是（）。
A.有单位元的交换环B.无单位元的交换环
C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环
a,当a为偶数时
10.设Z是整数集，σ（a）=a21，aZ，则σ是R的
a1,当a为奇数时
2
B.单射变换
（）.
A.满射变换
11、设A=｛所有实数x｝，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是（）.
A、x→10xB、x→2x
C、x→|x|D、x→-x.
12、设是正整数集Z上的二元运算，其中abmaxa,b（即取a与b中的最大者），那么在Z中（）
A、不适合交换律B、不适合结合律
C、存在单位元D、每个元都有逆元.
13.设S3=｛
（1），（12），（13），（23），（123），（132）｝，则S3中与元（123）不能交换的元的个数是（）
A、1B、2C、3D、4.
14、设G,为群，其中G是实数集，而乘法:
ababk，这里k为G中固定的常数。
那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是（）
A、0和x；B、1和0；C、k和x2k；D、k和（x2k）
15、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。
如果H6,那么G的阶G（）
A、6B、24C、10D、12
16.整数环Z中，可逆元的个数是（）.
A、1个B、2个C、4个D、无限个。
17、设f:
R1R2是环同态满射，f（a）b，那么下列错误的结论为（）
A、若a是零元，则b是零元
B、若a是单位元，则b是单位元
C、若a不是零因子，则b不是零因子
D、若R2是不交换的，则R1不交换
18、下列正确的命题是（）
A、欧氏环一定是唯一分解环
B、主理想环必是欧氏环
C、唯一分解环必是主理想环
D、唯一分解环必是欧氏环
19.下列法则，哪个是集A的代数运算（）.
A.A=N,ab=a+b-2B.A=Z,ab=ab
C.A=Q,ab=abD.A=R,ab=a+b+ab
20.设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下
映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是（）.
1
A.x→-xB.x→
D.3个
x
A.3个B.4个
C.5个D.6个
23、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2abxc1,acxxac，那么x（）
A.bc1a1；B.c1a1；C.a1bc1；D.b1ca。
24、设f:
G1G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）A.f的同态核是G1的不变子群;
B.G1的不变子群的象是G2的不变子群。
C.G1的子群的象是G2的子群；
D.G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；
25、设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。
如果
H6，那么G的阶G（）
A.6；B.24；C.10；D.12。
（三）判断题（每小题2分，共12分）
1、设A、B、D都是非空集合，则AB到D的每个映射都叫作二元运算。
（）
2、除环中的每一个元都有逆元。
（）
3、如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。
（）
4、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。
（）
5、域是交换的除环。
（）
6、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子。
（）
7、设f：
GG是群G到群G的同态满射，a∈G，则a与f（a）的阶相同。
（）
8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
（）
9、循环群的子群也是循环群。
（）
10、整环I中的两个元素a，b满足a整除b且b整除a，则a＝b。
（）
11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。
（）
12、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1。
（）
13、如果环R的阶2，那么R的单位元10。
（）
14、指数为2的子群不是不变子群。
（）
15、在整数环Z中，只有±1才是单位，因此在整数环Z中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。
（）
16、两个单位和的乘积也是一个单位。
（）
17、环K中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。
（）
18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。
（）
19、整环必是唯一分解环。
（）
20、在唯一分解环K中，p是K中的素元当且仅当p是K中的
不可约元。
（）
21、设K是唯一分解环，则K中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。
（）
22、整数环Z和环Qx都是主理想环。
（）
23、K是主理想环当且仅当K是唯一分解环。
（）
24、整数环Z、数域P上的一元多项式环Px和Gauss整环
Zi都是欧氏环。
（）
25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。
反之亦然。
（）
26、欧氏环主理想环唯一分解环有单位元的整环。
（）
27、设环R,,的加法群是循环群,那么环R必是交换环.（）
28、对于环R,若a是R的左零因子,则a必同时是R的右零因子.（）
29、剩余类Zm是无零因子环的充分必要条件是m为素数.（）
30、整数环是无零因子环，但它不是除环。
（）
0
31、S20C是M2C的子域.（）
202
32、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。
（）
33、理想必是子环,但子环未必是理想.（）
34、群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等.（）
35、有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。
（）
三、基本方法与技能掌握。
（四）计算题
1．设为整数加群,,求[Z:
H]?
解在Z中的陪集有:
,
,
所以,[Z:
H]5.
2、找出S3的所有子群。
解：
S3显然有以下子群：
本身；（
（1））=｛
（1）｝；（（12））=｛（12），
（1）｝；（（13））=｛（13），
（1）｝；（（23））=｛（23），
（1）｝；（（123））=｛（123），（132），
（1）｝
若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。
同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。
这个子群也必然
用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个
2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。
3．求Z18的所有子群。
解Z18的子群有
;
;
;
;
;
.
4．将表为对换的乘积.
解.
容易验证:
（42）（26）（12）（13）（27）（12）.
5．设按顺序排列的13张红心纸牌
A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K
经一次洗牌后牌的顺序变为
3,8,K,A,4,10,Q,J,5,7,6,2,9
问:
再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?
解每洗一次牌,就相当于对牌的顺序进行一次新的置换.由题意知,第一次洗牌所对应的置换为
则3次同样方式的洗牌所对应的置换为
6．在Z6中,计算:
（1）;
（2）;（3）;（4）.
解
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
7．试求高斯整环的单位。
解设（）为的单位,则存在,使得,于是
因为,所以.从而,,或
.因此可能的单位只有
显然它们都是的单位.所以恰有四个单位
8．试求Z12中的所有零因子与可逆元,并确定每个可逆元的逆元素.
解由定理可知:
（1）为Z12的全部零因子.
（2）为Z12的全部可逆元.直接计算可知,相应的逆元为
,,.9、找出模6的剩余类环Z6的所有理想。
解：
R=｛［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］｝。
若I是R的一个理想，那么I一定是加群R的一个子群。
但加群R是循环群，所以它的子群一定也是循环群，我们有
G1=（［0］）=｛［0］｝
G2=（［1］）=（［5］）=RG3=（［2］）=（［4］）=｛［0］，［2］，［4］｝
G4=（［3］）=｛［0］，［3］｝
易见，G1，G2，G3，G4都是R的理想，因而是R的所有理想。
10．在Z12中,解下列线性方程组:
解:
x
35
1
6
1
156
11
y
21
1
13
231
9
即,.
11．求Z18的所有子环
解设为Z18的任一子环,则是Z18的子加群,而为
有限阶循环群,从而也是循环群,且存在,,使得.的可能取值为1,2,3,6,9,12。
相应的子加群为
.
直接验证可知,以上六个子加群都关于剩余类的乘法封闭,所以它们都是Z18的子环.于是Z18恰有6个子环:
12.试求的所有理想.
解设为的任意理想,则为的子环，则
,且.
对任意的,,有
从而由理想的定义知,为的理想.由此知,的全部理想为且.
13、数域F上的多项式环Fx的理想（x21,x5x31）是怎样的一个
主理想
解由于x5x31x3x211，所以1x21,x5x31，于是得253
x21,x5x311F[x]。
14、在中,求的全部根.
解共有16个元素:
,,,将它们分别代入,可知
共有下列4个元素
为的根.
15．试举例说明，环Rx中的m次与n次多项式的乘积可能不是一个
m+n次多项式.
解例如，环Z6x中多项式
f（x）2x3x23x5与g（x）3x21
的乘积f（x）g（x）3x4x34x23x5就不是3+2次多项式.16.求出域Z3上的所有2次不可约多项式.
解经验算得知，Z3上的2次不可约多项式有三个，它们是：
x21,x2x1,x2x1.
17、指出下列哪些元素是给定的环的零因子
1 ,B0 -1，C1 2
01 04 2
（2）在Z12中,它的全部零因子是哪些.
（3）Z11中有零因子吗?
解
（1）|A||C|0A,C是零因子,但B不是.
（2）Z12中的零因子为[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]
（3）Z11中没有零因子.
18.求二阶方阵环M2（R）的中心.
解高等代数已经证明，n阶方阵A与任何n阶方阵可交换A
10
是纯量矩阵.因此M2（R）的中心CkkR.
20119．举例说明，非零因子的象可能会是零因子.
解：
设:
ZZ6是环同态满射,其中:
nn.则显然Z是整环，所以Z中没有零因子。
但在Z6中,2和3、4都是零因子.即2显然不是Z中的零因子,但22却是Z6中的零因子.这告诉我们:
非零因子的象可能会是零因子.
20.设R为偶数环.证明：
N4rrRR.
问：
N4是否成立？
N是由哪个偶数生成的主理想？
解：
4n,4mN,n,mR：
4n4m4（nm）N,nmR故（4n4m）N,另外nR,4rN,rR
（4r）n4（rn）N,rnR
n（4r）（n4）r（4n）r4（nr）N,nRnrR,
故n（4r）,（4r）nN.总之有N4rrRR.另方面，由于
N4rrR,16,8,0,8,16,,
且4N.而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即
N4rrR88r8nrR,nZ8nnZ，但是
44r4nrR,nZ4nnZ,8,4,0,4,8,
因此，N4.实际上是N84.21、举例说明，素理想不一定是极大理想。
解例如Zx是有单位元的交换环，容易证明x是它的一个素理想.而理想x,2真包含x且x,2Zx.从而知x是Zx的素理想但不是极大理想.
22、设H{
（1）,（12）},求S3关于H的所有左陪集以及右陪集.
解S3{
（1）,（12）,（13）,（23）,,（123）,（132）}
H的所有左陪集为:
（1）H（12）H{
（1）,（12）}H;
（13）H（123）H{（13）,（123）};（23）H（132）H{（23）,（132）}．
H的所有右陪集为:
H
（1）H（12）{
（1）,（12）};
H（13）H（132）{（13）,（132）};H（23）H（123）{（23）,（123）}.
四、综合应用能力。
（五）证明题
1．在群中,对任意,方程与都有唯一解.
证明令,那么,故为方程的
解。
又如为的任一解,即,则
这就证明了唯一性.
同理可证另一方程也有唯一解.
2．全体可逆的阶方阵的集合（）关于矩阵的乘法构成一个非交换群.这个群的单位元是单位矩阵
每个元素（即可逆矩阵）的逆元是的逆矩阵.证明
（1）设都是阶可逆矩阵,则,,从而
.所以也是阶可逆矩阵.这说明矩阵的乘法是的代数运算;
（2）因为矩阵的乘法满足结合律,所以的乘法也满足结合律;
（3）设为阶单位矩阵,则,故,且对任意的,有所以,是的单位元.
（4）设,则.从而可逆,设为的逆矩阵,则,故,且..
所以的逆矩阵为在中的逆元.因此,构成
群.由矩阵的乘法易知,当时是非交换群.
3．，。
那么H是S3的一个子群。
证明I.H对于G的乘法来说是闭的，
（1）
（1）=
（1），
（1）（12）=（12），（12）
（1）=（12），（12）（12）=
（1）；
II.结合律对于所有G的元都对，对于H的元也对；
V.
（1）
（1）=
（1），（12）（12）=
（1）。
4．一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分
而且必要条件是：
证明必要性。
H是G的非空子集且H的每一个元素的阶都有限。
若H是子群，则由子群的条件必有a,bHabH;
充分性。
由于H是G的非空子集，若a,bHabH;又H的每一个元素的阶都有限
aH,nN,aneaan1ea1an1H，综上知H是G的子群。
5．设是所有阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.
是所有行列式等于1的阶矩阵所组成的集合.则
是的子群.
证明首先,单位矩阵的行列式为1,所以非空.又对
任一阶方阵,如果,则,所以可逆,故
是的子集.又对任意的,有,所以.
这说明.从而由定理知,是的子群.6．群的任何两个子群的交集也是的子群.
证明
设为的两个子群,则
（1）,所以,即;
（2）任给,则,因此
;
（3）任给,那么,因此,所以.从而由定理2知,是的子群.
7．设为的子群.则在中左陪集的个数与右陪集的个数相同.
证明设,分别表示在中的左、右陪集所组成的集合.令
.
则是到的双射.事实上
（1）如果,那么,故,所以,
.于是,为到的映射.
（2）任给,有,因此,为满射.
（3）如果,那么,因此,从而得为双射.即在中左陪集的个数与右陪集的个数相同.8．有限群的任一元素的阶都是群的阶数的因子.
证明设G的元a的阶为n,则a生成一个阶是n的子群，由以上定理，n整除G的阶。
9．设与为群,是与的同构映射,则
（1）如果为的单位元,则为的单位元;
（2）任给,为的逆元,即
证明
（1）因为由消去律知,为的单位元.
（2）任给,
从而知为的逆元.所以,.
10．如果是交换群,则的每个子群都是的正规子群.证明因为为交换群,所以的每个左陪集也就是右陪集.
11．设为群的子群.若,那么.
证明任给,如果,那么.如果,那么与是在中的两个不同的左陪集,所以,同理,.因为,而,所以.同理
可证:
.从而.由此知.
证明
（1）,,,则所以,为的子群.
（2）任给,,则
所以,,从而.
13．群的任何两个正规子群的交还是的正规子群.
证明设与为的两个正规子群,,则为的子群.又任给,,则因为与都是的正规子群,所以
所以,.故.
14．设与是群,是到的同态映射.
（1）如果是的单位元,则是的单位元;
（2）对于任意的,是在中的逆元.即
证明
（1）因为是的单位元,设是的单位元,则
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