完整十年真题解析几何全国高考理科数学doc.docx
《完整十年真题解析几何全国高考理科数学doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整十年真题解析几何全国高考理科数学doc.docx（42页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
完整十年真题解析几何全国高考理科数学doc
十年真题_解析几何_全国高考理科数学
真题
2008-21．（12分）
双曲线的中心为原点
O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点
F垂直于l1
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
的直线分别交
l1，l2
于A，B两点．已知
OA
、
、
成等差数列，且
BF与FA同向．
AB
OB
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为
4，求双曲线的方程．
2009-21．（12分）
如图，已知抛物线E:
y2
x与圆M:
（x4）2
y2
r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个
点。
（I）求r的取值范围：
（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线
A、B、C、D的交点p的坐标。
2010-21（12分）
已知抛物线C:
y2
4x的焦点为F，过点K（
1,0）的直线l与C相交于A、B两点，
点A关于x轴的对称点为D.
（Ⅰ）证明：
点F在直线BD上；
uuuruuur
8
（Ⅱ）设FAgFB
BDK的内切圆M的方程.
，求
9
1/13
十年真题_解析几何_全国高考理科数学
2011-20（12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,-1），B点在直线y=-3上，M点满
足MB//OA，MA?
AB=MB?
BA，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
2012-20（12分）
设抛物线C:
x22py（p0）的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，
FA为半径的圆F交l于B,D两点；
（1）若BFD900，ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程；
（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，
求坐标原点到m,n距离的比值。
2013-21（12分）
2
2
已知双曲线
C：
x2
y2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为
F1，F2，离心率为
3，直线y
a
b
＝2与C的两个交点间的距离为6.
（1）求a，b；
（2）设过F的直线l与C的左、右两支分别交于
A，B两点，且|AF|＝|BF|，证明：
|AF|，
2
1
1
2
|AB|，|BF2|成等比数列．
2014-20
已知点A（0，－2），椭圆E：
x
2
2
3，F是椭圆E的右焦点，
2
y2=1（a>b>0）的离心率为
a
b
2
直线AF的斜率为23，O为坐标原点.
3
2/13
十年真题_解析几何_全国高考理科数学
（1）求E的方程；
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
2015-20.（12
分）
C:
y
x2
在直角坐标系xoy
中，曲线
4与直线ykx
aa
0交于M,N两点，
（Ⅰ）当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点p，使得当k变动时，总有
OPM
OPN？
说明理由.
2016-20.（12分）
设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，
D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
2017-20．（12分）
已知椭圆C：
x
2
y2
1（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3
1,
3，P4
1,
3中
a
2
b2
2
2
恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，
证明：
l过定点．
3/13
十年真题_解析几何_全国高考理科数学
答案
2008-21
（Ⅰ）设OA
m
d，AB
m，OB
md
由勾股定理可得：
（md）2
m2
（m
d）2
得：
d
1m，tan
AOF
b，tan
AOB
tan2
AOF
AB
4
4
a
OA
3
2b
4
b
1
5
由倍角公式
a
，解得
b
2
3
a
则离心率e
．
1
2
2
a
（Ⅱ）过F直线方程为y
a（xc）,与双曲线方程
x2
y2
1联立
b
a2
b2
将a
2b，c
5b代入，化简有
152
x28
5x
21
0
4b
b
2
2
4
1
a
xx
2
1
a
（xx）2
4xx
b
1
b
1
2
1
2
32
5b
2
28b2
将数值代入，有
4
5
4
解得b
3
15
5
x2y2
故所求的双曲线方程为1。
369
2009-21
（I）这一问学生易下手。
将抛物线E:
y2
x与圆M:
（x
4）2
y2
r2（r0）的方程联立，
消去y2
，整理得x2
7x
16
r2
0．．．．．．．．．．．．．（＊）
抛物线
E:
y2
x与圆M
:
（x
4）2
y2
r2（r0）
相交于A、B、C、D四个点的
4/13
十年真题_解析几何_全国高考理科数学
充要条件是：
方程（＊）有两个不相等的正根即可
.易得r（
15
4）.考生利用数形结
2
合及函数和方程的思想来处理也可以．
（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。
因此利用设而不求、整体代入
的方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为
A（x1,x1）、B（x1,
x1）、C（x2,
x2）、D（x2,x2）。
则由（I）根据韦达定理有
x1
x2
7,x1x2
16
r2
，r
（
15,4）
2
则S
12|x2
x1|（x1
x2）
|x2
x1|（x1
x2）
2
S2
[（x1
x2）2
4x1x2]（x1
x2
2
x1x2）
（7
216
r2）（4r215）
令16r2
t，则S2
（7
2t）2（7
2t）
下面求S2
的最大值。
方法一：
利用三次均值求解。
三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有
时很方便。
它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值
类似。
S2
（7
2t）2（7
2t）
1（7
2t）（7
2t）（14
4t）
2
1
7
2t
7
2t
14
4t
）
3
1
28
）
3
2
（
3
2
（
3
当且仅当7
2t
14
4t，即t
7
时取最大值。
经检验此时r
（15,4）满足题意。
6
2
方法二：
利用求导处理，这是命题人的意图。
具体解法略。
下面来处理点
P的坐标。
设点
P的坐标为：
P（xp,0）
由A、P、C三点共线，则
x1
x2
x1
得xp
x1x2t
7
x1
x2
x1
xp
6
2010-21
设A（x1,y1），B（x2,y2），D（x1,y1），l的方程为xmy1（m0）.
5/13
十年真题_解析几何_全国高考理科数学
（Ⅰ）将x
my
1代入y2
4x并整理得
y2
4my40
从而y1
y2
4m,y1y2
4
直线BD的方程为
yy2
y2
y1（xx2）
x2
x1
即y
y2
4
（x
y2
2
）
y2
y1
4
令y
0，得x
y1y2
1
4
所以点F（1,0）
在直线BD上
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
x1
x2
（my1
1）（my2
1）4m2
2
x1x2
（my1
1）（my2
1）
1.
uur
uur
因为
FA
（x1
1,y1）,FB
（x2
1,y2），
uur
uur
1）y1y2x1x2（x1x2）1484m2
FAFB（x11）（x2
故
84m2
8
，
4
9
解得
m
3
所以l的方程为
3x4y30,3x4y30
又由（Ⅰ）知
y2
y1
（4m）2
44
4
7
3
故直线BD的斜率
4
3
，
y2
y1
7
因而直线BD的方程为3x
7y
30,3x
7y
3
0.
因为KF为BKD的平分线，故可设圆心
M（t,0）（
1
t1），M（t,0）到l及BD的
6/13
十年真题_解析几何_全国高考理科数学
3t13t1
距离分别为,.
54
3t
1
3t1
1，或t
9（舍去），
由
5
得t
4
9
故
3t1
2
.
圆M的半径r
5
3
所以圆M的方程为（x
1）2
y2
4
.
9
9
2011-20
（Ⅰ）设M（x,y）,
由已知得B（x,-3）,A（0,-1）.
uuur
）,
所以MA=（-x,-1-y
uuur
uuur
uuuruuur
uuur
MB=（0,-3-y）,
AB=（x,-2）.再由愿意得知（MA+MB）?
AB=0,即
（-x,-4-2y）?
（x,-2）=0.
所以曲线C的方程式为y=1x2-2.
4
（Ⅱ）设P（x0,y
0）为曲线C：
y=1x2-2
上一点，因为y'=1x,所以l的斜率为1x
0
1
4
2
2
因此直线l的方程为y
y0
x0（xx0），即x0x2y2y0x2
0。
2
则O点到l的距离d
|2y0
x02|.又y0
1x02
2，所以
x02
4
4
1
2
d2
x0
4
1（x02
4
4
）2,
x02
4
2
x02
4
当x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
2012-20
（1）由对称性知：
BFD是等腰直角
，斜边BD
2p
点A到准线l的距离d
FA
FB
2p
SABD
42
1
d
42
p2
BD
2
7/13
十年真题_解析几何_全国高考理科数学
圆F的方程为x2
（y
1）2
8
（2）由对称性设A（x0,x02
）（x0
0），则F（0,p）
2p
2
点A,B关于点F对称得：
B（
x0,p
x02
）
p
x02
p
x02
3p2
2p
2p
2
3p
3p
p
p
3p
得：
），直线m:
y
2
2x
x3y
0
A（3p,
2
2
2
3p
x2
2pyy
x2
y
x
3
x
3p切点P（3p,p）
2p
p
3
3
3
6
p
3
3p
）
x
3y
3
p0
直线n:
y
（x
3
6
6
3
坐标原点到m,n距离的比值为
3p:
3p
3。
2
6
2013-21
（1）解：
由题设知
c＝3，即a2
b2
＝9，故b2＝8a2.
a
a2
所以C的方程为
8x2－y2＝8a2.
将y＝2代入上式，求得
x
a2
1
.
2
由题设知，2
a2
1
6，解得a2＝1.
2
所以a＝1，b＝2
2.
（2）证明：
由
（1）知，F1（－3,0），F2（3,0），C的方程为8x2－y2＝8.①
由题意可设l的方程为y＝k（x－3），k<22，代入①并化简得（k2－8）x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
6k
2
9k2
8
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝
2
，x1·x2＝
k2
.
k
8
8
于是|AF1|＝x132
y12
8/13
十年真题_解析几何_全国高考理科数学
＝
x1
32
8x12
8
＝－（3x
1＋1），
1
x2
3
2
y2
2
|BF|＝
＝
x2
32
8x22
8＝3x2＋1.
由|AF1
|
1
得－（3x
1
2
1
2
2
＝|BF|
＋1）＝3x＋1，即x
＋x
＝.
3
故6k2
8
2，解得k2＝4，从而x1
·x2
＝
19
.
k2
3
5
9
由于|AF2|＝x132
y12
＝
x1
3
2
2
8
1
8x1
＝1－3x，
|BF2|＝x2
32
y22
＝
x2
32
8x22
8＝3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3（x1＋x2）＝4，|AF2|·|BF2|＝3（x1＋x2）－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
2014-20
【测量目标】考查圆锥曲线方程的求法及圆锥曲线的性质
【考查方式】根据条件写出椭圆方程及一条直线与椭圆相交围成面积最大时直线方程
【试题解析】
（1）设F（c，0），由条件知，2
2
3
，得c＝3.又c
3
，所以a＝2，
c
3
a
2
2
2
2
=1.故E的方程为
x
2
y
2
1.
（2）当l
⊥x轴时不合题意，故可设
l：
y＝kx－2，
b
=a－c
4
P（x1，y1），Q（x2，y2）.将y＝kx－2
代入x2
y2
1得（1＋4k2）x2－16kx＋12=0，当
4
=16（4k2－3）
0，即k2
3
时，x1,2
8k2
4k2
3，
4
4k2
1
从而|PQ|
k2
1|x
x|＝
4
k2
1?
4k2
3
.又点O到直线l的距离d＝
2
.所
1
2
4k2
1
k2
1
以△OPQ
的面积S△OPQ＝1
d·|PQ|＝.
4
4k2
3，设4k2
3＝t，则t>0，S△OPQ＝
2
4k2
1
9/13
十年真题_解析几何_全国高考理科数学
4t
4
4
.因为t＋4≥4，当且仅当
t＝2，即k＝±
7时等号成立，满足
>0，所以，
t2
4
t
2
t
t
当△OPQ的面积最大时，k＝±
7，l的方程为y＝
7
2
2
【难易程度】较难题
7
x－2或y＝－x－2.
2
2015-20
（I
）
有
题
设
可
得
M（2a,a）,N（2
升级会员 