完整word初中数学几何定理符号语言.docx
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完整word初中数学几何定理符号语言
初中数学“图形与几何”内容
1、基本事实:
经过两点有且只有一条直线 。
(两点确定一条直线)
2、基本事实:
两点之间线段最短。
3、补角性质:
同角或等角的补角相等 。
几何语言:
∵∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°∴∠B=∠C(同角的补角相等)
∵∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,∠A=∠C∴∠B=∠D(等角的补角相等)
4、余角性质:
同角或等角的余角相等。
几何语言:
∵∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°∴∠B=∠C(同角的余角相等)
∵∠A+∠B=90°,∠C+∠D=90°,∠A=∠C∴∠B=∠D(等角的余角相等
5、对顶角性质:
对顶角相等。
6、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
(垂线段最短)
8、(基本事实)平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
9、如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
几何语言:
∵a∥b,a∥c∴b∥c
10、两条直线平行的判定方法:
几何语言:
如图所示
(1)同位角相等,两直线平行。
∵∠1=∠2∴a∥b
(2)内错角相等,两直线平行。
∵∠3=∠4∴a∥b
(3)同旁内角互补,两直线平行。
∵∠5+∠6=180°∴a∥b
11、平行线性质:
几何语言:
如图所示
(1)两直线平行,同位角相等。
∵a∥b∴∠1=∠2
(2)两直线平行,内错角相等。
∵a∥b∴∠3=∠4
(3)两直线平行,同旁内角互补。
∵a∥b∴∠5+∠6=180°
12、平移:
(1)把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
(2)新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行且相等。
13、三角形三边关系定理:
三角形两边的和大于第三边。
14 、三角形三边关系推论:
三角形中任意两边之差小于第三边。
15、三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°。
16、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
17、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
18、多边形内角和 :
n边形的内角的和等于(n-2)×180°。
19、多边形的外角和等于360°。
20、全等三角形的性质:
全等三角形的对应边、对应角相等。
几何语言:
如图所示
∵△ABC≌△DEF
∴∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,AB=DE,BC=EF,AC=DF
21、全等三角形的判定方法:
(1)边边边:
三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)
几何语言:
如图所示
∵AB=DE,BC=EF,AC=DF∴△ABC≌△DEF
(2)边角边:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)
几何语言:
如图所示
∵AB=DE,∠A=∠D,AC=DF∴△ABC≌△DEF
(3)角边角:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)
几何语言:
如图所示
∵∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF
(4)角角边:
两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
几何语言:
如图所示
∵∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF∴△ABC≌△DEF
(5)斜边、直角边:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)
几何语言:
如图所示
∵AB=DE,BC=EF(AB=DE,AC=DF)
∴△ABC≌△DEF
22、角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
23、推论:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
24、轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线。
25 、线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
26、推论:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
27、轴对称:
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同;
(2)新图形式的每一点,都是原图形上的某一点关于直线的对称点;
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
28、用坐标表示轴对称:
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。
29、等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
几何语言:
如图所示,在△ABC中
∵AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角)
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
30、等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)
几何语言:
如图所示,在△ABC中
∵∠B=∠C
∴AB=AC(等角对等边)
31、等边三角形的性质定理:
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。
32、等边三角形的判定定理:
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形。
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
33、直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言:
如图所示
∵∠C=90°,∠B=30°
∴AC=
AB(或者AB=2AC)
34、勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2。
35、勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
36、平行四边形的性质:
(1)平行四边形的对边平行。
(2)平行四边形的对边相等。
(3)平行四边形的对角相等。
(4)平行四边形的对角线互相平分。
(性质)几何语言:
如图所示,
(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD,AD∥BC
(2)∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC
(3)∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD
(4)∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC,OB=OD
37、平行四边形的判定方法:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(定义)
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(练习题中)
(判定)几何语言:
如图所示,
(1)∵AB∥CD,AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形
(2)∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形
(3)∵OA=OC,OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形
(4)∵AB
CD(或AD
BC)∴四边形ABCD是平行四边形
(5)∵∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD∴四边形ABCD是平行四边形
38、三角形的中位线定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。
几何语言:
如图所示,在△ABC中
∵D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=
BC
39、两条平行线间的任何一组平行线段相等。
40、矩形的性质:
(平行四边形具有的性质都具有)
(1)矩形的四个角都是直角。
(2)矩形的对角线相等。
41、直角三角形的性质:
(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(2)直角三角形的两个锐角互余。
42、矩形的判定方法:
(1)有一个是直角的平行四边形是矩形。
(定义)
(2)有三个角是直角的四边形是矩形。
(3)对角线相等的平行四边形是矩形。
43、菱形的性质:
(平行四边形具有的性质都具有)
(1)菱形的四条边都相等。
(2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
44、菱形的判定方法:
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(定义)
(2)四边相等的四边形是菱形。
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
45、菱形的面积=对角线(AC、BD)乘积的一半,即S=
(AC×BD)。
46、正方形的性质:
(矩形、菱形具有的性质都具有)
(1)正方形的四个角都是直角,四条边都相等。
(2)正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,
每条对角线平分一组对角。
(性质)几何语言:
如图所示,
(1)∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
(2)∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,OA=OB=OC=OD,∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA=45°
47、正方形的判定:
(方法很多,只举三例)
47、正方形的判定:
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。
(2)有一个内角是直角的菱形是正方形。
(3)对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
(判定)几何语言:
如图所示,
(1)∵四边形ABCD是矩形,AB=BC∴四边形ABCD是正方形
(2)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°∴四边形ABCD是正方形
(3)∵AC⊥BD,OA=OB=OC=OD∴四边形ABCD是矩形
(性质)几何语言:
如图所示,
(1)∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠DCB,∠DAB=∠ADC
(2)∵四边形ABCD是等腰梯形∴AC=BD
(判定)几何语言:
如图所示,在梯形ABCD中,
(1)∵AB=CD∴四边形ABCD是等腰梯形
(2)∵∠ABC=∠DCB(或∠DAB=∠ADC)∴四边形ABCD是等腰梯形
(3)∵AC=BD∴四边形ABCD是等腰梯形
48、等腰梯形的性质:
(1)等腰梯形在同一底上的两个角相等。
(2)等腰梯形的两条对角线相等。
49、等腰梯形的判定方法:
(1)两腰相等的梯形是等腰梯形。
(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。
(教材中没有)
50、重心:
线段的重心是它的中点;
三角形的重心是三条中线的交点;
平行四边形的重心是对角线的交点。
51、旋转:
(1)定义:
把一个图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫图形的旋转。
(2)性质:
对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前后的图形全等。
52、中心对称:
(1)定义:
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
(2)性质:
中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分;中心对称的两个图形是全等图形。
53、中心对称图形:
(1)定义:
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。
(2)中心对称图形的举例。
54、关于原点对称的点的坐标:
点P(x,y)关于原点的对称点为P´(-x,-y)。
55、垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
56、推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
注:
(1)上述定理中,共有五个条件,即:
①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧,这五个条件中知其中二个可得另外三个。
(2)相关计算:
垂径定理的基本图形中,若半径OC、弦心距OE、弦CD(或弦的一半)、弓形高BE这四个量,知其中二个可求得另外二个。
所以在相关题目中,可根据具体情况作出相应的辅助线。
具体公式为:
BE+OE=OB,OC2+CE2=OC2。
57、弧、弦、圆心角定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等(或所对弦的弦心距相等)。
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦(或两弦的弦心距)中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。
58、圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
59、圆周角定理的推论:
(推论)几何语言:
如图所示,在⊙O中,
①∵AB是直径(或弧AB是半圆)∴∠C=90°
②∵∠C=90°∴AB是直径
(1)①半圆(或直径)所对的圆周角是直角;②90°的圆周角所对的弦是直径。
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等。
60、圆内接四边形的性质:
圆内接四边形的对角互补。
61、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
62、切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(常用辅助线:
连半径,证垂直;作垂直,等半径。
)
63、切线的性质:
圆的切线垂直于过切点的半径。
(辅助线:
作过切点的半径)
64、切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
附几个特殊图形:
65、点和圆、直线和圆、圆和圆各种位置关系的数量关系及判断方法:
位置关系名称
公共点个数
数量关系
说明
点和圆
点在圆外
无
d>r
d:
点到圆心的距离
r:
圆的半径
点在圆上
d=r
点在圆内
d直线和圆
相离
0个
d>r
d:
直线到圆心的距离
r:
圆的半径
相切
只有1个
d=r
相交
2个
d圆和圆
外离
0个
d>r1+r2
d:
圆心距
r1、r2:
圆的半径
(r1外切
只有1个
d=r1+r2
相交
2个
r2-r1内切
只有1个
d=r2-r1
内含
0个
d66、三角形的外心和内心:
(1)锐角三角形的外心在三角形内,直角三角形的外心在斜边的中点处,钝角三
角形的外心在三角形外。
(2)三角形的外心是三边的垂直平分线的交点,到三角形三个顶点的距离相等;
(3)三角形的内心是三个内角角平分线的交点,到三角形三边的距离相等。
67、正多边形:
68、弧长公式:
L=nπR/180(n:
圆心角度数;R:
半径)
69、扇形面积:
S扇形=nπR/360=LR/2(n:
圆心角度数;R:
半径;L:
弧长)
70、求阴影部分的面积:
认真观察图形,注意图形特征。
71、圆锥与扇形的关系:
(1)圆锥的母线(PB)是其侧面展开图扇形的半径;
圆锥的底面圆周长是其侧面展开图扇形的弧长。
(2)圆锥的母线(PB)、圆锥的高(PO)、底面圆半
径(OB)构成一个直角三角形。
72、圆的两条平行弦所夹的弧相等。
73、与半径相等的弦所对的圆心角是60°。
74、相似多边形的性质:
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等。
(以相似三角形为例)
几何语言:
如左图所示:
∵△ABC∽△DEF
∴∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,==
75、相似比为1时,相似的两个图形全等。
76、平行线分线段成比例定理:
①三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等。
应用于三角形中,会出现以下两种情况:
②平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等。
77、三角形相似的判定方法:
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
几何语言:
如图所示:
∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC
(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
几何语言:
如图所示:
(2)∵==∴△ABC∽△DEF
(3)∵=,∠B=∠E∴△ABC∽△DEF
(4)∵∠A=∠D,∠B=∠E∴△ABC∽△DEF
第(3)(4)还有其它情况,也成立。
(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
78、相似直角三角形的判定方法:
①一般三角形相似的判定方法也适用。
②满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。
几何语言:
如图所示:
②∵=(或=)
∴△ABC∽△DEF
79、相似多边形(三角形)的相关量的比:
①相似多边形(三角形)周长的比等于相似比;相似三角形对应高线的比、对应边上的中线的比、对应角的角平分线的比都等于相似比。
②相似多边形(三角形)面积的比等于相似比的平方。
78、在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或—k。
80、锐角三角函数:
(1)定义:
如右图,sinA=cosB=
,sinB=cosA=
,tanA=
,tanB=
。
(2)特殊角的三角函数值:
30°
45°
60°
(正弦)sin
(余弦)cos
(正切)tan
1
81、解直角三角形:
(1)定义:
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程。
(元素指三边和两个锐角)
(2)求解过程中,用到的关系:
①三边关系:
a2+b2=c2(勾股定理);②两锐角之间的关系:
∠A+∠B=90°;③边角之间的关系:
sinA=cosB=
,sinB=cosA=
,tanA=
,tanB=
。
(3)用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形问题);
→根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;
→得到数学问题的答案;
→得到实际问题的答案。
82、投影与视图:
(1)平行投影、中心投影、正投影:
①定义:
由平行光线形成的投影是平行投影;由同一点(点光源)发出的光线形成的投影是中心投影;投影线垂直于投影面产生的投影是正投影。
②当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。
(2)三视图:
①三视图分别为主视图、左视图、俯视图;(在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图;在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图;在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视图。
)
②三种视图的位置如右图:
③画几何体的三视图时,要注意“长对正、高平齐、宽相等”(主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等),还要注意看得见部分的轮廓线画成实线,因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓画成虚线。
④根据三视图说出立体图形的名称:
要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面,然后再综合起来考虑整体图形。
常用辅助线:
1、连接AB。
2、过点A作AD⊥BC于D。