打包下载高中数学人教版必修3 13算法案例 作业共5套Word版含答案.docx
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打包下载高中数学人教版必修313算法案例作业共5套Word版含答案
§1.3 算法案例
一、基础过关
1．自然数8251和6105的最大公约数为（ ）
A．37 B．23 C．47 D．111
2．五次多项式f（x）＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－
，用秦九韶算法求f（－2）等于（ ）
A．－
B.
C.
D．－
3．下列哪组的最大公约数与1855,1120的最大公约数不同（ ）
A．1120,735B．385,350
C．385,735D．1855,325
4．用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是（ ）
A．2B．3
C．4D．5
5．用更相减损之术求36和134的最大公约数，第一步应为______________．
6．我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是割圆术、更相减损之术、秦九韶算法等，其功能与欧几里得算法相同的是______________．
7．求210与98的最大公约数．
8．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．
二、能力提升
9．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为（ ）
A．10B．9
C．12D．8
10．已知f（x）＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为（ ）
A．27B．11
C．109D．36
11．用秦九韶算法求多项式f（x）＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为________．
12．求三个数168,54,264的最大公约数．
三、探究与拓展
13．用秦九韶算法求f（x）＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8中x＝5时f（x）的值．
§1.3 算法案例答案
1．A 2.A 3.D 4.C
5．134－36＝98
6．更相减损之术
7．解 ∵（210,98）
→（112,98）→（14,98）
→（84,14）→（70,14）
→（56,14）→（42,14）
→（28,14）→（14,14），
∴210与98的最大公约数为14.
8．解 将f（x）改写为
f（x）＝（（（（（x－12）x＋60）x－160）x＋240）x－192）x＋64.
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值
v0＝1，
v1＝1×2－12＝－10，
v2＝－10×2＋60＝40，
v3＝40×2－160＝－80，
v4＝－80×2＋240＝80，
v5＝80×2－192＝－32，
v6＝－32×2＋64＝0.
∴f
（2）＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
9．C [∵f（x）＝（（（（（6x＋5）x＋4）x＋3）x＋2）x＋1）x＋7，
∴加法6次，乘法6次，
∴6＋6＝12（次），故选C.]
10．D [将函数式化成如下形式，
f（x）＝（（（（x＋0）x＋2）x＋3）x＋1）x＋1.
由内向外依次计算：
v0＝1，
v1＝1×3＋0＝3，
v2＝3×3＋2＝11，
v3＝11×3＋3＝36，
v4＝36×3＋1＝109，
v5＝109×3＋1＝328.]
11．220
解析 v4＝（（（a6x＋a5）x＋a4）x＋a3）x＋a2，把a6＝3，a5＝5，a4＝6，a3＝79，a2＝－8，x＝－4代入可得v4＝220.
12．解 ∵（168,54）→（114,54）→（60,54）→（6,54）→（6,48）→（6,42）→（6,36）→（6,30）→（6,24）→（6,18）→（6,12）→（6,6），
∴168和54的最大公约数为6.
∵（54,264）→（210,54）→（156,54）→（102,54）→（54,48）→（48,6）→（42,6）→…→（6,6），
∴54和264的最大公约数为6.
故168,54,264的最大公约数为6.
13．解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f（x）＝（（（（5x＋2）x＋3.5）x＋（－2.6））x＋1.7）x－0.8，按从内向外的顺序依次计算一次多项式x＝5时的值．
v0＝5，
v1＝5×5＋2＝27，
v2＝27×5＋3.5＝138.5，
v3＝138.5×5－2.6＝689.9，
v4＝689.9×5＋1.7＝3451.2，
v5＝3451.2×5－0.8＝17255.2.
所以当x＝5时，
f（x）的值为17255.2.
1.3算法案例
辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
1.利用秦九韶算法求f（x）=1+2x+3x2+…+6x5当x=2时的值时,下列说法正确的是（ ）
A.先求1+2×2
B.先求6×2+5,第二步求2×（6×2+5）+4
C.f
（2）=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25直接运算求解
D.以上都不对
解析:
利用秦九韶算法应先算anx+an-1,再算（anx+an-1）x+an-2.
答案:
B
2.用更相减损术求117和182的最大公约数时,需做减法的次数是（ ）
A.5B.6C.7D.8
解析:
182-117=65,117-65=52,65-52=13,52-13=39,39-13=26,26-13=13,共做6次减法.
答案:
B
3.1037和425的最大公约数是（ ）
A.51B.17C.9D.3
解析:
用辗转相除法计算如下:
1037=425×2+187,425=187×2+51,187=51×3+34,51=34×1+17,34=17×2.
所以1037和425的最大公约数是17.
答案:
B
4.用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4的值时,v4的值为（ ）
A.-57B.220C.-845D.3392
解析:
由秦九韶算法有:
v0=3,v1=v0x+5=-7,v2=-7x+6=34,v3=34x+79=-57,v4=-57x-8=220.
答案:
B
5.三个数175,100,75的最大公约数是（ ）
A.5B.25C.75D.50
解析:
先求175与100的最大公约数:
175=100×1+75,
100=75×1+25,
75=25×3.
则175与100的最大公约数是25.
以下再求25与75的最大公约数:
75-25=50,50-25=25.
故25是75和25的最大公约数,也就是175,100,75的最大公约数.
答案:
B
6.3141与1278的最大公约数为 .
解析:
用辗转相除计算:
3141=1278×2+585,1278=585×2+108,585=108×5+45,108=45×2+18,45=18×2+9,18=9×2.
所以3141与1278的最大公约数为9.
答案:
9
7.已知多项式p（x）=3x5+9x4+x3+kx2+4x+11,当x=3时的值为1616,则k= .
解析:
p（x）=（（（（3x+9）x+1）x+k）x+4）x+11,
p（3）=（（（（3×3+9）3+1）3+k）3+4）×3+11=1616.
所以k=12.
答案:
12
8.有甲、乙、丙三种溶液分别重147g,343g,133g,现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的质量相同,则每瓶最多装 g.
解析:
先求147与343的最大公约数:
343-147=196,
196-147=49,
147-49=98,
98-49=49.
所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数:
133-49=84,
84-49=35,
49-35=14,
35-14=21,
21-14=7,
14-7=7.
所以147,343,133的最大公约数为7,
即每瓶最多装7g.
答案:
7
9.求1356和2400的最小公倍数.
解:
2400=1356×1+1044,
1356=1044×1+312,
1044=312×3+108,
312=108×2+96,
108=96×1+12,
96=12×8.
所以1356与2400的最大公约数为12.
则1356与2400的最小公倍数为（1356×2400）÷12=271200.
10.用秦九韶算法求当x=2时多项式f（x）=8x7+5x6+3x4+2x+1的值.
解:
根据秦九韶算法,把多项式改写成如下的形式:
f（x）=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1=（（（（（（8x+5）x+0）x+3）x+0）x+0）x+2）x+1.
按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值,
v0=8;
v1=8×2+5=21;
v2=21×2+0=42;
v3=42×2+3=87;
v4=87×2+0=174;
v5=174×2+0=348;
v6=348×2+2=698;
v7=698×2+1=1397.
故当x=2时,多项式的值为1397.
1.3算法案例
基础巩固
一、选择题
1．下列写法正确的是（ ）
A．751（16） B．751（7）
C．095（12）D．901
（2）
[答案] A
2．（2015·莆田高一检测）将五进制数1234（5）化为十进制数为（ ）
A．14214B．26
C．41241D．194
[答案] D
3．把十进制数258化为十六进制数为（ ）
A．96（16）B．98（16）
C．100（16）D．102（16）
[答案] D
4．（2015·大庆高一检测）把89化为五进制数，则此数为（ ）
A．322（5）B．322（5）
C．324（5）D．325（5）
[答案] C
5．下列各数中，最小的是（ ）
A．101010
（2）B．111（5）
C．32（8）D．54（6）
[答案] C
[解析] 101010
（2）＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＝1×21＋0×22＝42，
111（5）＝1×52＋1×51＋1×50＝31，
32（8）＝3×81＋2×80＝26，
54（6）＝5×61＋4×60＝34.
又42＞34＞31＞26，故最小的是32（8）．
6．下列与二进制数1001101
（2）相等的是（ ）
A．115（8）B．113（8）
C．114（8）D．116（8）
[答案] A
[解析] 先化为十进制数：
1001101
（2）＝1×26＋1×23＋1×22＋1×20＝77，再化为八进制．
所以77＝115（8），
所以1001101
（2）＝115（8）．
二、填空题
7．
（1）十进制数化为k进制数是采取________，即用k连续去除十进制数所得的商，最后将余数________写出．
（2）k进制数化为十进制数是把k进制数写成________________的形式，再计算出结果即可．
[答案]
（1）除k取余法 倒排
（2）各位上的数字与k的幂的乘积之和
8．103（5）化为十进制数为________．
[答案] 28
[解析] 103（5）＝1×52＋0×51＋3×50＝28.
三、解答题
9．已知44（k）＝36，把67（k）转化为十进制数．
[解析] 由题意得36＝4×k1＋4×k0，则k＝8.
故67（k）＝67（8）＝6×81＋7×80＝55.
10．把八进制数2011（8）化为五进制数．
[探究]
→
→
[解析] 2011（8）＝2×83＋0×82＋1×81＋1×80＝1024＋0＋8＋1＝1033.
∴2011（8）＝13113（5）．
[规律总结] 把一个非十进制数转化为另一个非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后把十进制数再转化为另一个非十进制数．
能力提升
一、选择题
1．（2015·甘肃兰州期中）已知10b1
（2）＝a02（3），则a＋b的值为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
[答案] C
[解析] 10b1
（2）＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02（3）＝a×32＋2＝9a＋2，
∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.∵a∈{1,2}，b∈{0,1}，
∴当a＝1，b＝1时符合题意，当a＝2，b＝
时不合题意，
∴a＝1，b＝1，即a＋b＝2，故选C.
2．在八进制中12（8）＋7（8）＝21（8），则12（8）×7（8）的值为（ ）
A．104（8）B．106（8）
C．70（8）D．74（8）
[答案] B
[解析] 12（8）＝1×81＋2×80＝10（10），
7（8）＝7×80＝7（10），
12（8）×7（8）＝70（10）．
故70（10）＝106（8）．即12（8）×7（8）＝106（8）．
3．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如用十六进制表示：
E＋D＝1B，则A×B等于（ ）
A．6EB．72
C．5FD．B0
[答案] A
[解析] 在十六进制中，E＋D＝1B的意义是：
14＋13＝27＝16＋11.在十进制中，A×B＝10×11＝110.又110＝16×6＋14，故在十六进制中，A×B＝6E.
4．（2015·深圳模拟）如图是将二进制数11111
（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）
A．i≤5B．i≤4
C．i>5D．i>4
[答案] D
二、填空题
5．21（7）＋13（4）＝________.
[答案] 22
[解析] 21（7）＝2×71＋1×70＝15,13（4）＝1×41＋3×40＝7，则21（7）＋13（4）＝15＋7＝22.
6．若k进制数132（k）与二进制数11110
（2）相等．则k＝________.
[答案] 4
[解析] 将这两个数都转化为十进制数，132（k）＝k2＋3k＋2,11110
（2）＝24＋23＋22＋21＝30，
∴k2＋3k＋2＝30，解之得k＝4或k＝－7（舍去）．
[规律总结] 在k进制中，共有k个数字符号．它们是0,1,2,3，…，（k－1）．如十进制有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字符号．五进制中有0,1,2,3,4五个数字符号．
三、解答题
7．若10y1
（2）＝x02（3），求数字x，y的值及与此两数等值的十进制数．
[分析] 由二进制及三进制可知，y∈{0,1}，x∈{1,2}，将二进制数和三进制数都转化为十进制数，再由两数相等及x、y的取值范围可得出x、y的值．
[解析] ∵10y1
（2）＝x02（3），
∴1×23＋0×22＋y×2＋1＝x×32＋0×3＋2，
将上式整理得9x－2y＝7，
由进位制的性质知，
x∈{1,2}，y∈{0,1}，
当y＝0时，x＝
（舍），
当y＝1时，x＝1.
∴x＝y＝1，已知数为102（3）＝1011
（2），
与它们相等的十进制数为
1×32＋0×3＋2＝11.
8．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内报告，如下图，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？
[解析] 由题图可知这组烽台表示的二进制数为11011
（2），它表示的十进制数为11011
（2）＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，由于二进制数对应的十进制数的单位是1000，所以入侵的数量为27×1000＝27000.
§1.3 算法案例
课时目标 通过三种算法案例：
辗转相除法与更相减损术，秦九韶算法，进位制，进一步体会算法的思想，提高算法设计水平，体会中国古代数学对世界的贡献．
1．辗转相除法
（1）辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
（2）辗转相除法的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝0，则m、n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
2．更相减损术
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
3．秦九韶算法
把一个n次多项式f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：
（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0，
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
…
vn＝vn－1x＋a0
这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值．
4．进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.
把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．
一、选择题
1．下列说法中正确的个数为（ ）
（1）辗转相除法也叫欧几里得算法；
（2）辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；
（3）求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；
（4）编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．
A．1B．2C．3D．4
答案 C
解析
（1）、
（2）、（4）正确，（3）错误．
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案 C
解析 由于294和84都是偶数，
所以用2约简：
294÷2＝147，
84÷2＝42，
又由于147不是偶数，
所以147－42＝105，
105－42＝63，
63－42＝21，
42－21＝21，
故需做4次减法，故选C.
3．1037和425的最大公约数是（ ）
A．51B．17C．9D．3
答案 B
解析 ∵1037＝425×2＋187，
425＝187×2＋51，
187＝51×3＋34，
51＝34×1＋17，
34＝17×2，
即1037和425的最大公约数是17.
4．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为（ ）
A．10B．9C．12D．8
答案 C
解析 f（x）＝（（（（（6x＋5）x＋4）x＋3）x＋2）x＋1）x＋7
∴加法6次，乘法6次，
∴6＋6＝12（次），故选C.
5．已知f（x）＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为（ ）
A．27B．11C．109D．36
答案 D
解析 将函数式化成如下形式．
f（x）＝（（（x＋0）x＋2）x＋3）x＋1）x＋1
由内向外依次计算：
v0＝1，
v1＝1×3＋0＝3，
v2＝3×3＋2＝11，
v3＝11×3＋3＝36，
v4＝36×3＋1＝109，
v5＝109×3＋1＝328.
6．下列有可能是4进制数的是（ ）
A．5123B．6542C．3103D．4312
答案 C
解析 4进制数每位上的数字一定小于4，故选C.
二、填空题
7．辗转相除法程序中有一空请填上．
答案 aMODb
解析 MOD用来表示a除以b的余数．
8．更相减损术程序中有两空请填上．
答案 a＝b b＝r
9．已知三个数12（16），25（7），33（4），将它们按由小到大的顺序排列为________．
答案 33（4）<12（16）<25（7）
解析 将三个数都化为十进制数．
12（16）＝1×16＋2＝18，
25（7）＝2×7＋5＝19，
33（4）＝3×4＋3＝15，
∴33（4）<12（16）<25（7）．
三、解答题
10．用两种方法求210与98的最大公约数．
解 用辗转相除法：
210＝98×2＋14，
98＝14×7.
∴210与98的最大公约数为14.
用更相减损术：
∵210与98都是偶数，用2约简得
105和49，
105－49＝56,56－49＝7，
49－7＝42,42－7＝35，
35－7＝28,28－7＝21，
21－7＝14,14－7＝7.
∴210与98的最大公约数为2×7＝14.
11．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．
解 将f（x）改写为
f（x）＝（（（（（x－12）x＋60）x－160）x＋240）x－192）x＋64
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值
v0＝1，
v1＝1×2－12＝－10，
v2＝－10×2＋60＝40，
v3＝40×2－160＝－80，
v4＝－80×2＋240＝80，
v5＝80×2－192＝－32，
v6＝－32×2＋64＝0.
∴f
（2）＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
能力提升
12．把111化为五进制数．
解
∴111化为五进制数为421（5）．
13．把10231（5）化为四进制数．
解 先化成十进制数．
10231（5）＝1×54＋0×53＋2×52＋3×51＋1
＝625＋50＋15＋1
＝691
再化为四进制数
∴10231（5）＝22303（4）.
反思感悟
1．辗转相除法与更相减损术的区别和联系
（1）都是求最大公约数的方法．
（2）二者的实质都是递归的过程．
（3）二者都要用循环结构来实现．
2．秦九韶算法的特点
秦九韶算法的特点在于把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，即把求f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值转化为求递推公式：
这样可以最多计算n次乘法和n次加法即可得多项式的值，和直接代入多项式相比减少了乘法的运算次数，提高了运算效率．
3．十进制与其他进制的转化
（1）将k进制转化为十进制的方法：
先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积的形式，再按十进制的运算规则计算．
（2）将十进制化成k进制的方法：
用除k取余法，用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k进制数．
第一章 1.3 第1课时
基础巩固
一、选择题
1．（2015·遵义高一检测）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）
A．3 B．9
C．17D．
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