③f′（x）＝0时，x＝－1或x＝2.
则函数f（x）的大致图象是（ ）
2．（2019·河北省九校第二次联考）函数y＝x＋
＋2lnx的单调递减区间是（ ）
A．（－3，1） B.（0，1）
C．（－1，3）D.（0，3）
3．（2019·南昌市第一次模拟测试）已知f（x）在R上连续可导，f′（x）为其导函数，且f（x）＝ex＋e－x－f′
（1）x·（ex－e－x），则f′
（2）＋f′（－2）－f′（0）f′
（1）＝（ ）
A．4e2＋4e－2B.4e2－4e－2
C．0D.4e2
4．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对（a，b）为（ ）
A．（－3，3）B.（－11，4）
C．（4，－11）D.（－3，3）或（4，－11）
5．（2019·洛阳市统考）已知a>0，曲线f（x）＝3x2－4ax与曲线g（x）＝2a2lnx－b有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为（ ）
A．0B.－
C．－
D.－
6．若函数f（x）＝ex－（m＋1）lnx＋2（m＋1）x－1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ）
A．（－e2，－e）B.
C.
D.（－∞，－e－1）
二、填空题
7．已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切（其中e为自然对数的底数），则实数a的值是________．
8．函数f（x）＝x2－lnx的最小值为________．
9．若函数f（x）＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
10．（2019·江西七校第一次联考）已知函数f（x）＝ex（x2－2x＋a）（其中a∈R，a为常数，e为自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设曲线y＝f（x）在（a，f（a））处的切线为l，当a∈[1，3]时，求直线l在y轴上截距的取值范围．
11．（2019·重庆市学业质量调研）已知函数f（x）＝（x－1）ex－ax2＋b＋
.
（1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）为增函数，且f（x）的图象与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围．
12．（2019·长春市质量监测
（一））已知函数f（x）＝lnx＋ax2－（2a＋1）x（其中常数a≠0）．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x＝1处取得极值，且在（0，e]上的最大值为1，求实数a的值．
B组
1．已知函数f（x）＝lnx－ax2＋x，a∈R.
（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性．
2．已知函数f（x）＝
，其中a>0.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线x－y－1＝0是曲线y＝f（x）的切线，求实数a的值；
（3）设g（x）＝xlnx－x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）
3．设函数f（x）＝ln（x＋a）－x.
（1）若直线l：
y＝－
x＋ln3－
是函数f（x）的图象的一条切线，求实数a的值；
（2）当a＝0时，关于x的方程f（x）＝x2－
x＋m在区间[1，3]上有解，求m的取值范围．
4．已知常数a≠0，f（x）＝alnx＋2x.
（1）当a＝－4时，求f（x）的极值；
（2）当f（x）的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．
第4讲 导数的综合应用
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2019
利用导数研究函数的极值、零点问题·T20
利用导数研究函数的单调性、零点以及曲线的公切线问题·T20
利用导数研究函数的单调性、最值问题·T20
2018
利用导数研究函数的单调性、函数极值与不等式证明·T21
函数的单调性、不等式的证明、函数的零点问题·T21
导数在研究不等式及极值问题的应用·T21
2017
利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题·T21
利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证明·T21
导数在研究函数单调性中的应用、不等式的放缩·T21
导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值（最值）是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题，是高考的热点和难点．
解答题的热点题型有：
（1）利用导数研究函数的单调性、极值、最值；
（2）利用导数证明不等式或探讨方程根；（3）利用导数求解参数的范围或值．
第1课时 导数与不等式
考点一单变量不等式的证明
[例1] （2019·湖北部分重点中学高三测试）设函数f（x）＝ax2－a－lnx，g（x）＝
－
，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：
当x>1时，g（x）>0；
（3）如果f（x）>g（x）在区间（1，＋∞）内恒成立，求实数a的取值范围．
1．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝λ（x2－1）（λ为常数）．
（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；
（2）若λ＝
，且x≥1，证明：
f（x）≤g（x）．
2．已知函数f（x）＝aex－blnx，曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为y＝
x＋1.
（1）求a，b；
（2）证明：
f（x）>0.
考点二双变量不等式的证明
[例2] 已知函数f（x）＝lnx－
ax2＋x，a∈R.
（1）当a＝0时，求函数f（x）的图象在（1，f
（1））处的切线方程；
（2）若a＝－2，正实数x1，x2满足f（x1）＋f（x2）＋x1x2＝0，证明：
x1＋x2≥
.
（2019·昆明市诊断测试）已知函数f（x）＝2lnx－x＋
.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若a>0，b>0，证明：
<
<
.
考点三不等式的恒成立问题
[例3] 已知函数f（x）＝xlnx，若对于所有x≥1都有f（x）≥ax－1，求实数a的取值范围．
（2019·江西省五校协作体试题）已知函数f（x）＝lnx－
a（x－1）（a∈R）．
（1）若a＝－2，求曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程；
（2）若不等式f（x）<0对任意的x∈（1，＋∞）恒成立，求实数a的取值范围．
[例4] 已知函数f（x）＝x－alnx，g（x）＝－
（a∈R）．若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）
已知a为实数，函数f（x）＝alnx＋x2－4x.
（1）若x＝3是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值；
（2）设g（x）＝（a－2）x，若存在x0∈
，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a的取值范围．
【课后专项练习】
1．已知函数f（x）＝xex＋2x＋a
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