运筹学复习题及答案.docx
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运筹学复习题及答案
运筹学复习题及答案
一、一个毛纺厂用羊毛和涤纶生产A、B、C混纺毛料，生产1单位A、B、C分别需要羊毛和涤纶3、2；1、1；4、4单位，三种产品的单位利润分别为4、1、5。
每月购进的原料限额羊毛为8000单位，涤纶为3000单位，问此毛纺厂如何安排生产能获得最大利润？
（要求：
建立该问题的数学模型）解：
设生产混纺毛料ABC各x1、x2、x3单位
maxz＝x1+x2+5x3
3x1+x2+4x3≤8000
2x1+x2+4x3≤3000
x1,x2,x3≥0
二、写出下述线性规划问题的对偶问题
maxs=2x1+3x2-5x3+x4
x1+x2-3x3+x4≥5
2x1+2x3-x4≤4
x2+x3+x4=6
x1,x2,x3≥0；x4无约束
解：
先将原问题标准化为：
maxs=2x1+3x2-5x3+x4
-x1-x2+3x3-x4≤-5
2x1+2x3-x4≤4
x2+x3+x4=6
x1,x2,x3≥0；x4无约束
则对偶问题为：
minz=-5y1+4y2+6y3
-y1+2y2≥2
-y1+y2≥3
3y1+2y2+y3≥-5
-y1-y2+y3=1
y1,y2≥0,y3无约束
三、求下述线性规划问题
minS=2x1＋3x2－5x3
x1＋x2－3x3≥5
2x1＋2x3≤4
x1，x2，x3≥0
解：
引入松弛变量x4，x5，原问题化为标准型：
maxZ=-S=-2x1-3x2+5x3
x1＋x2－3x3－x4=5
2x1＋2x3+x5=4
=（P2,P1）,
x1，x2，x3,x4,x5≥0对应基B0＝（P2,P5）的单纯形表为
5
1
1
-3
-1
0
T（B0）=
4
2
0
2
0
1
15
1
0
-4
-3
0
x1的检验数为正，x1进基，由min{5/1,4/2}=4/2知，x5出基，迭代得新基对应的单纯形表为
3
0
1
-4
-1
-1/2
T（B1）=
2
1
0
1
0
1/2
13
0
0
-5
-3
-1/2
至此，检验数全为非正，已为最优单纯形表。
对应的最优解为：
x1=2,x2=3,x3=x4=x5=0,maxz=-13,故原问题的最优解为：
x1=2,x2=3,x3=0,mins=13。
解：
引入松弛变量
四、利用大M法求解下面线性规划问题:
max
s
x1
2x2
x3
2x1
x2x3
4
s.t.
x1
2x2
6
x1
x2,x3
0
x4和人工变量x5，构造如下规划：
maxs
x12x2
x3
Mx
2x1x2x3x4
x1,x2,x3,x4,x5
对应基B0＝（P4,P5）的单纯形表为
T（B0）
4
－21110
6
120
1
0
6
-1+M
2+2M
1
0
M
0
16
05112
T（B1）
=
6
12001
6
04101-M
x1的检验数为-1+M>0，x1进基，由min{6/1}=6/1知，x5出基，迭代得新基B1=（P4,P1）,对应的单纯形表为
由min{16/1}=16/1知，x4出基，
迭代得新基
x3的检验数为1>0，x3进基，对应的单纯形表为
B2=（P3,P1）,
16
0
5
1
12
T（B2）
6
1
2
0
01
-1
0
-1
0
-1
0
-1-M
至此，检验数全为非正，已为最优单纯形表。
对应的最优解为：
x1=6,x2=0,x3=16,x4=x5=0,最优值maxz=10。
五、已知线性规划问题（L）:
min
s
x1
2x2
3x3
2x1
x2
2x3
6
s.t.
x1
3x2
2x3
8
x1,x2,x30
（1）写出该问题的对偶表,从而给出其对偶问题（D）.
（2）用对偶单纯形法求解问题.
解：
（1）该问题的对偶表
x1
x2
x3
Min
Max
1
2
3
cb
2
1
2
6
y1
1
3
2
8
y2
其对偶问题（D）为
maxZ=6y1+8y2
2y1+y2≤1y1+3y2≤22y1+2y2≤3
1,y2≥0
x4、x5，构造如下规划：
maxZ
S
x1
2x23x3
2x1
x2
2x3x4
6
s.t.
x1
3x2
2x3x5
8
x1,
x2,x
3,x4,x50
对应基B0＝
（P4,P5）
的单纯形表为
（2）用对偶单纯形法求解问题.引入松弛变量
－6
-2-1-210
T（B0）=
－8
-1-3-201
0
-1-2-300
检验数全为非正，基变量x4＝－6，x4出基,利用偶单纯形法，由min{－1/－2，－
2/-1,-3/-2}=－1/－2知，x1进基，迭代得新基B1=（P1,P5）,对应的单纯形表为
3
11/21-1/20
T（B1）=
－5
0-5/2-1-1/21
3
0-3/2-2-1/20
x2进基，迭代得新基B2=（P1,P2）,对应的单
基变量x5＝－5，x5出基,利用偶单纯形法知，纯形表为x1=x2=2,x3=0,最优值minS=6.
六、某运输问题的产销平衡表和运价表如下，试用表上作业法求最优调运方案
销地
产地
B1
B2
B3
产量
A1
1
2
6
7
A2
0
4
2
12
A3
3
1
5
11
销量
10
10
10
30
解：
由最小元素法得初始运输方案
B1
B2
B3
产量
A1
7
7
A2
10
2
12
A3
10
1
11
销量
10
10
10
30
总运费S=0×10＋1×10＋6×7＋2×2＋5×1=61
经计算λ11＝（6＋0）－（2＋1）＝3>0,调整量Δ=min（7,10）＝7，经调整，得新运输方案：
B1
B2
B3
产量
A1
7
7
A2
3
9
12
A3
10
1
11
销量
10
10
10
30
总运费S=61－3×7＝40至此，所有检验数均以非正，该运输方案已为最优。
即：
A1运到B17个单位；A2运到B13个单位；A2运到B39个单位
A3运到B210个单位；A3运到B31个单位；总运费S＝40个单位
七、某极大化整数规划对应的线性规划的最优单纯形表如下：
5/2
0
1
1/2
-1/2
13/4
1
0
-1/4
3/4
-69/4
0
0
-3/4
-3/4
试建立割平面方程并求原整数规划的最优解。
解：
由x2=5/2为非整数，对应方程为：
5/2=x2+1/2x3-1/2x4即：
x2－x4-2=1/2-（1/2x3+1/2x4）,得Gomery割平面：
1/2-（1/2x3+1/2x4）<0引入松弛变量x5,添加约束：
-1/2x3-1/2x4＋x5=－1/2,由表
5/2
0
1
1/2
-1/2
0
13/4
1
0
-1/4
3/4
0
-1/2
0
0
-1/2
-1/2
1
-69/4
0
0
-3/4
-3/4
0
利用对偶单纯形法迭代得到
新单纯形
表：
2
0
1
0
-1
1
7/2
1
0
0
1
-1/2
1
0
0
1
1
-2
-33/2
0
0
0
0
-3/2
由7/2=x1+x4-1/2x5,得Gomery割平面：
1/2-1/2x5+<0
引入松弛变量x6,添加约束：
-1/2x5＋x6=－1/2,由表
2
0
1
0
-1
1
0
7/2
1
0
0
1
-1/2
0
1
0
0
1
1
-2
0
-1/2
0
0
0
0
-1/2
1
-33/2
0
0
0
0
-3/2
0
利用对偶单纯形法迭代
得到新单
纯形表：
1
0
1
0
-1
0
-2
4
1
0
0
1
0
-1
3
0
0
1
1
0
-4
1
0
0
0
0
1
-2
-15
0
0
0
0
0
-3
至此，已得到整数解：
x1=4,x2=1,x3=3,x4=0,最优值为15。
八、线性规划问题如下：
maxs=-x1+2x2
1/3
1/3
2
10/3
-2/3
1/3
8
4/3
B-1b=
B-1
1/31/3
x1＝4/3,x2=10/3,对应的最优值为16/3。
（4）设c2的摄动量为δ，最优基不变。
此时，C=（-1,2+δ,0,0）,CB=（2+δ,-1）,由C-CBB-1A≤0,得4＋δ≥01＋δ≥0
因此δ≥－1，即c2＝2+δ≥1，故当c2在［1,+∞）变化时,最优基不变,生产计划不变.
九、某物资的产销平衡表及运价表如下，求总运费最省的调运方案。
平衡表运价表（百元/吨）
销地
产量
产地
B1B2B3B4
（吨）
B1B2B3B4
A1
3
2598
A2
5
1926
A3
7
7543
销量（吨）
6324
15
解:
利用最小元素法得到初始可行解（运输方案）
销地
产地
B1B2B3B4
产量
（吨）
A1
12
3
A2
5
5
A3
124
7
销量（吨）
6324
15
对应的总运费s0=1×2+2×5＋5×1＋1×5＋2×4＋4×3=42（百元）
检验数λ23=c23-（u2+v3）=2-（4-1）=-1,表中不是最优运输方案,需调整,调整量为=min={2,2,5}=2,新运输方案为
销地
产量
产地
B1B2B3B4
（吨）
迭代得到新基B1＝
迭代得到新基B2＝
A1
30
3
A2
32
5
A3
3
4
7
销量（吨）
632
4
15
对应的总运费s1=3×2+0×5＋3×1＋3×5＋2×2＋4×3=40（百元
2=40（百元）
利用位势法计算检验数
λij=cij-（ui+vj）,如下:
B1B2
B3B4
ui
A1
55
0
A2
5
4
-1
A3
52
0
vj
253
3
此时,检验数全为非负,
表中已是最优运输方案
总运费为40百元
十、利用割平面法
求下面问题:
max
s2
x1x
2
x1
x2
6
s.t.
x1
4x2
3
x1
x2
0且均为整数
解：
引入松弛变量
x3，
x4，构造辅助
LP：
maxs2
x1
x2
x
1
x2x3
6
s.t.x1
4
x2x4
3
x
1,x2
x3,x4
0
对应基
的单纯形表
B0＝
）或s1=s0+λ23δ=42-1×
T（B0）=
6
3
1110
1－401
0
2100
P3P1）,对应的单纯形表为
3
051－1
T（B1）=
3
1－401
－6
090－2
P2P1）,对应的单纯形表为：
检验数已经全为非正，得到辅助划问题的解.对应第二个方程的2/5－（4/5x3＋1/5x5）<0引入松弛变量x5,添加约束：
-4/5x3-1/5x4＋x5=－1/5,由表
3/5
0
1
1/5
－1/5
0
27/5
1
0
4/5
1/5
0
-2/5
0
0
-4/5
-1/5
1
－57/5
0
0
-9/5
－1/5
0
利用对偶单纯形法迭代得到新单纯形表：
1
0
1
1
0
－1
5
1
0
0
0
1
2
0
0
－4
1
－5
－11
0
0
－1
0
－1
至此，得到原整数规划的最优解：
x1＝5，x2＝1，最优值为maxS=11.
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