高一数学集合知识点总结新整理.docx

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高一数学集合知识点总结新整理

高一数学集合知识点总结-新整理

　　一.知识归纳：

　　1.集合的有关概念.。

　　1）集合（集）：

某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）.其中每一个对象叫元素

　　注意：

①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似.。

　　②集合中的元素具有确定性（a?

a和a?

a，二者必居其一）、互异性（若a?

a，b?

a，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）.。

　　③集合具有两方面的意义，即：

凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

　　2）集合的表示方法：

常用的有列举法、描述法和图文法

　　3）集合的分类：

有限集，无限集，空集.。

　　4）常用数集：

n，z，q，r，n*

　　2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念.。

　　1）子集：

若对x∈a都有x∈b，则ab（或ab）;

　　2）真子集：

ab且存在x0∈b但x0a;记为ab（或，且）

　　3）交集：

a∩b={x|x∈a且x∈b}

　　4）并集：

a∪b={x|x∈a或x∈b}

　　5）补集：

cua={x|xa但x∈u}

　　注意：

①?

a，若a≠?

，则?

a;

　　②若，，则;

　　③若且，则a=b（等集）

　　3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：

（1）与、?

的区别;

（2）与的区别;（3）与的区别.。

　　4.有关子集的几个等价关系

　　①a∩b=aab;②a∪b=bab;③abcuacub;

　　④a∩cub=空集cuab;⑤cua∪b=iab.。

　　5.交、并集运算的性质

　　①a∩a=a，a∩?

=?

，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪?

=a，a∪b=b∪a;

　　③cu（a∪b）=cua∩cub，cu（a∩b）=cua∪cub;

　　6.有限子集的个数：

设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集.。

　　二.例题讲解：

　　【例1】已知集合m={x|x=m+,m∈z},n={x|x=,n∈z},p={x|x=,p∈z}，则m,n,p满足关系

　　a）m=npb）mn=pc）mnpd）npm

　　分析一：

从判断元素的共性与区别入手.。

　　解答一：

对于集合m：

{x|x=,m∈z};对于集合n：

{x|x=,n∈z}

　　对于集合p：

{x|x=,p∈z}，由于3（n-1）+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以mn=p，故选b.。

　　分析二：

简单列举集合中的元素.。

　　解答二：

m={…，，…}，n={…，,,，…}，p={…，,，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素.。

　　=∈n，∈n，∴mn，又=m，∴mn，

　　=p，∴np又∈n，∴pn，故p=n，所以选b.。

　　点评：

由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手.。

　　变式：

设集合，，则（b）

　　=n　n　md.

　　解：

　　当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b

　　【例2】定义集合a*b={x|x∈a且xb}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，则a*b的子集个数为

　　a）1b）2c）3d）4

　　分析：

确定集合a*b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：

集合a={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解.。

　　解答：

∵a*b={x|x∈a且xb}，∴a*b={1,7}，有两个元素，故a*b的子集共有22个.。

选d.。

　　变式1：

已知非空集合m{1,2,3,4,5}，且若a∈m，则6?

a∈m，那么集合m的个数为

　　a）5个b）6个c）7个d）8个

　　变式2：

已知{a,b}a{a,b,c,d,e},求集合a.

　　解：

由已知，集合中必须含有元素a,b.

　　集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　评析本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个.

　　【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0},b={x|x2?

4x+r=0},且a∩b={1},a∪b={?

2,1,3},求实数p,q,r的值.。

　　解答：

∵a∩b={1}∴1∈b∴12?

4×1+r=0,r=3.

　　∴b={x|x2?

4x+r=0}={1,3},∵a∪b={?

2,1,3},?

2b,∴?

2∈a

　　∵a∩b={1}∴1∈a∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

　　∴∴

　　变式：

已知集合a={x|x2+bx+c=0},b={x|x2+mx+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求实数b,c,m的值.

　　解：

∵a∩b={2}∴1∈b∴22+m?

2+6=0,m=-5

　　∴b={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵a∪b=b∴

　　又∵a∩b={2}∴a={2}∴b=-（2+2）=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合a={x|（x-1）（x+1）（x+2）>0},集合b满足：

a∪b={x|x>-2}，且a∩b={x|1

　　分析：

先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b.。

　　解答：

a={x|-21}.。

由a∩b={x|1-2}可知[-1,1]b，而（-∞,-2）∩b=ф.。

　　综合以上各式有b={x|-1≤x≤5}

　　变式1：

若a={x|x3+2x2-8x>0}，b={x|x2+ax+b≤0},已知a∪b={x|x>-4}，a∩b=φ,求a,b.。

（答案：

a=-2，b=0）

　　点评：

在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之.。

　　变式2：

设m={x|x2-2x-3=0},n={x|ax-1=0}，若m∩n=n，求所有满足条件的a的集合.。

　　解答：

m={-1,3},∵m∩n=n,∴nm

　　①当时，ax-1=0无解，∴a=0②

　　综①②得：

所求集合为{-1，0，}

　　【例5】已知集合，函数y=log2（ax2-2x+2）的定义域为q，若p∩q≠φ，求实数a的取值范围.。

　　分析：

先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解.。

　　解答：

（1）若，在内有有解

　　令当时，

　　所以a>-4,所以a的取值范围是

　　变式：

若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围.。

　　解答：

　　点评：

解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键.。

　　三.随堂演练

　　选择题

　　1.下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}

　　⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数

　　（a）4（b）5（c）6（d）7

　　2.集合{1，2，3}的真子集共有

　　（a）5个（b）6个（c）7个（d）8个

　　3.集合a={x}b={}c={}又则有

　　（a）（a+b）a（b）（a+b）b（c）（a+b）c（d）（a+b）a、b、c任一个

　　4.设a、b是全集u的两个子集，且ab，则下列式子成立的是

　　（a）cuacub（b）cuacub=u

　　（c）acub=（d）cuab=

　　5.已知集合a={}，b={}则a=

　　（a）r（b）{}

　　（c）{}（d）{}

　　6.下列语句：

（1）0与{0}表示同一个集合;

（2）由1，2，3组成的集合可表示为

　　{1，2，3}或{3，2，1};（3）方程（x-1）2（x-2）2=0的所有解的集合可表示为{1，1，2};（4）集合{}是有限集，正确的是

　　（a）只有

（1）和（4）（b）只有

（2）和（3）

　　（c）只有

（2）（d）以上语句都不对

　　7.设s、t是两个非空集合，且st，ts，令x=s那么s∪x=

　　（a）x（b）t（c）φ（d）s

　　8设一元二次方程ax2+bx+c=0（a　　（a）r（b）（c）{}（d）{}

　　填空题

　　9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为

　　10.若a={1,4,x},b={1,x2}且ab=b，则x=

　　11.若a={x}b={x},全集u=r，则a=

　　12.若方程8x2+（k+1）x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是

　　13设集合a={},b={x},且ab，则实数k的取值范围是.。

　　14.设全集u={x为小于20的非负奇数}，若a（cub）={3，7，15}，（cua）b={13，17，19}，又（cua）（cub）=，则ab=

　　解答题

　　15（8分）已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1},若ab={-3}，求实数a.。

　　16（12分）设a=，b=，

　　其中xr,如果ab=b，求实数a的取值范围.。

　　四.习题答案

　　选择题

　　12345678

　　ccbcbcdd

　　填空题

　　9.{（x,y）},11.{x,或x3}12.{}13.{}14.{1,5,9,11}

　　解答题

　　=-1

　　16.提示：

a={0，-4}，又ab=b，所以ba

　　（ⅰ）b=时，4（a+1）2-4（a2-1）　　（ⅱ）b={0}或b={-4}时，0得a=-1

　　（ⅲ）b={0，-4}，解得a=1

　　综上所述实数a=1或a-1