人教版九年级圆的性质知识点.docx

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人教版九年级圆的性质知识点

圆的有关性质

学生姓名：

就读年级：

九年级

任课教师：

教导处签名：

日期：

2017年10月21日

课题

圆的有关性质

教学目标

1、在探索的过程中，能从两种不同的角度理解圆的概念

2、了解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等于圆有关的概念，理解概念之间的区别与联系。

3、能够通过图形直观地认识弦、弧等概念，能够从具体图形中识别出与圆有关的一些元素。

知识要点及重难点

重点：

圆的概念的解析与应用

难点：

圆的有关概念的解析

作业评价

○好○很好○一般○差

备注：

作业布置

学生课后评价（学生填写）

学生对本次课的评价：

1、学习心情：

□愉悦□紧张□沉闷

2、学习收获：

□很大□一般□没有

3、教学流程：

□清晰□一般□混乱

4、其它：

。

家长反馈

签名：

日期：

年月日

1、课前复习

1、旋转

2、中心对称

3、中心对称图形

4、求关于原点对称的点的坐标

2、新课导入

初中阶段我们有几种几何是必须掌握的：

三角形，四边形，圆。

关于前两个已经在前期的学习中接触过了，那么本章我们将重点学习圆的相关性质以及相关的知识点，本章也是中考内容中的重点部分，所以需要打起精神，认真将知识点掌握并灵活应用起来。

3、新课讲授

圆的有关性质

知识点1圆的定义以及表示方法（重点；理解）

1、描述性定义

在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、集合性定义

圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

3、圆的表示方法

以点O为圆心的圆，记作“⊙

”，读作“圆

”

命题1圆的定义的理解

例1：

下列条件中，能确定圆的是（）

A.以已知点O为圆心B.以1cm长为半径

C.经过已知点A，且半径为2cmD.以点O为圆心，1cm为半径

针对练习：

1、与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是______.

命题点2判断四点共圆的问题

例2：

矩形的四个顶点能否在同一个圆上?

如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径.

已知,四边形ABCD是矩形,判断A、B、C、D这四个点能否在同一个圆上?

如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径。

证明：

连接AC,BD

∵四边形ABCD是矩形对角线AC与BD交于点O

∴ AO=CO=12×ACBO=DO=12×BD

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD（矩形的对角线相等）

∵ AO=CO=12×ACBO=DO=12×BD AC=BD

∴AO=BO=CO=DO

∵AO=BO=CO=DO

∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上

针对练习：

1、如图，四边形ABCD的一组对角∠ABC、∠ADC都是直角。

求证：

A.B.C. D四点在同一个圆上。

知识点2圆的有关概念（重点；理解）

（1）弦：

连结圆上任意两点的线段叫做弦

（2）直径：

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．

（3）弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以为端点的弧记作，读作弧AB。

（4）半圆：

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。

（5）等圆：

能够重合的两个圆叫做等圆。

（6）等弧：

在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。

命题3：

圆的有关概念的应用

例3：

下列说法正确的是（）

A长度相等的弧叫做等弧B半圆不是弧

C直径是弦D过圆心的线段是直径

解析：

主要考查对先、弧、等弧以及直径的概念的理解。

类型题圆的半径的应用

考查角度1：

利用同圆的半径相等求角度

例1：

如图,AB是O的直径,C是O上一点,∠BOC=44∘，则∠A的度数为___度。

解析：

利用同圆半径相等，所对的角也相等。

针对练习：

1、如图，AB是O的直径，D. C在O上，AD∥OC，∠DAB=60∘，连接AC，则∠DAC等于（ ）

A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘

考查角度2：

利用同圆的半径相等比较线段大小

2、如图,正方形ABCD的边长为1,其中DEˆ,EFˆ,FGˆ的圆心依次是点A，B，C.连接GB和FD，则GB与FD的关系是___.

解析：

根据同圆的半径相等可以得BC=DC，CG=CF，又∠FCD=∠GCB=90°由此可以得到则△FCD≌△GCB，由此推出GB=FD，∠G=∠F，∴∠G+∠CDF=∠F+∠CDF=90°，由此即GB与FD的关系．

针对练习：

2、如图所示：

点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是（ ）

A. b>cB. b=cC. c>bD. b与c的大小不能确定

考查角度3：

利用同源半径向更解决实际问题

例3：

如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行?

为什么?

解析：

该船应沿航线AB方向航行离开危险区域

理由如下：

如图，设航线AB交⊙A于点C，在⊙A上任取一点D（不包括C关于A的对称点）

连接AD、BD；

在△ABD中，

∵AB+BD>AD，AD=AC=AB+BC，

∴AB+BD>AB+BC，

∴BD>BC.

答：

应沿AB的方向航行。

针对练习：

3、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东60°的方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域.

（1）A城是否受到这次沙尘暴影响？

为什么?

（2）若A城受到这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长?

垂直于弦的直径

知识点1：

圆的对称性（了解）

圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，也是旋转对称图形。

知识点2：

垂径定理及其推论（重点，难点；掌握）

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

垂径定理的推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

命题点1：

利用垂径定理判定结论

例1：

在O上作一条弦AB,再作一条与弦AB垂直的直径CD,CD与AB交于点E,则下列结论中不一定正确是（）

A. AE=BEB. ACˆ=BCˆC. CE=EOD. ADˆ=BDˆ

解析：

据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧得出结论．

针对练习：

1、如图,已知直径MN⊥弦AB,垂足为C,下列结论：

①AC=BC;②ANˆ=BNˆ;③AMˆ=BMˆ;④AM=BM.其中正确的个数为（）

A. 1B. 2C. 3D. 4

命题点2：

利用垂径定理求弦长或半径

例2：

如图，AB为O的弦，O的半径为5，OC⊥AB于点D，交O于点C，且CD=1，则弦AB的长是___.

解析：

连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．

针对练习：

2、（2014⋅毕节地区）如图，已知

的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）       

A. 6B. 5C. 4D. 3

类型题1：

应用垂径定理解决最值问题

考查角度1：

利用垂径定理和垂线最短解决问题

例1：

如图，⊙ O 的直径是 10 ，弦 AB ＝ 8 ， P 是弦上的一个动点，那么 OP 长的取值范围是_______．

解析：

找到最短与最长的点所在的位置，根据勾股定理可求出长度

针对练习

1、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为（　　）

A.2B.3C.4D.5

考查角度2：

利用垂径定理解决线段和最短问题

例2：

如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为______.

解析：

A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值

解：

连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H.

根据垂径定理,得到BE=12AB=4,CF=12CD=3，

∴OE=OB2−BE2−−−−−−−−−√=52−42−−−−−−=3，

OF=OC2−CF2−−−−−−−−−−√=52−32−−−−−−=4，

∴CH=OE+OF=3+4=7，

BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，

在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7

，

则PA+PC的最小值为7

故答案为：

7

针对练习：

2、在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB=8cm,ACˆ=CDˆ=BDˆ，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是______cm.

类型题2：

利用垂径定理解决实际问题

例2、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知圆心为O，EF=CD=16厘米，则⊙O的半径为多少厘米?

解析：

如图，过点O作OM⊥AD于点M，连接OF，设OF=x，则OM是16-x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．

针对练习：

2、温州是著名水乡,河流遍布整个城市。

某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）.已知桥拱半径OC为5m,水面宽AB为4√6m,则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（ ）

A. 4√6mB. 7m

C. 5+√6mD. 6m

类型题3：

垂径定理与平面直角坐标系的综合应用

例3：

如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为（6,0）,⊙P的半径为√13，则点P的坐标为______.

解析：

过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．

针对练习：

3、半径为6的⊙E在直角坐标系中,与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点,已知C（0,3）,D（0,-7）,求圆心E的坐标

类型题4：

利用分类讨论解圆中的计算问题

例4：

已知AB，CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5cm，AB=8cm，CD=6cm，求弦AB，CD间的距离.

解析：

本题考查了两条平行弦之间的间距问题，解题的关键是进行分组讨论；

第一种情况是两弦位于圆心同侧时，两弦的间距是弦心距的差的绝对值，过圆心作弦的垂线，再连结圆心与弦的一个端点，应用垂径定理和勾股定理进行计算即可；

第二种情况是两弦位于圆心的两侧时，两弦的间距是弦心距的和，同理即可得出结果.

解：

①当弦A和CD在圆心同侧时，如图①，

过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC.

∵AB∥CD，∴OE⊥AB，

∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，

∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，

∴EF=OF-OE=1cm.

②当弦A和CD在圆心异侧时，如图②，

过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，

∵AB∥CD，∴OF⊥CD，

∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，

∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，

∴EF=OF+OE=7cm．

所以AB，CD之间的距离是1cm或7cm.

弧、弦、圆心角

知识点弧、弦、圆心角之间的关系

圆心角：

我们把顶点在圆心的角叫做圆心角

定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论1：

在同圆或等圆中，如果两条弧想等，那么它们所对的圆心角也相对，所对的弦也相等。

推论2：

在同圆或等圆中，如果两条弦想到呢过，那么它们所对的圆心角也相对，所对的弧也相等。

命题1：

根据圆心角、弦、弧之间关系求角的度数

例1：

2014⋅贵港）如图，AB是O的直径，BCˆ=CDˆ=DEˆ，∠COD=34∘，则∠AEO的度数是（ ）

A. 51∘B. 56∘C. 68∘D. 78∘

解析：

圆心角、弧、弦的关系

针对练习：

1、如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（　　）

A.105°B.120°C.135°D.150°

命题2：

根据圆心角、弦、弧之间关系证明线段相等

类型题1：

利用根据圆心角、弦、弧之间关系证明弧相等

1、已知：

如图，OA、OB、OC是O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别是OA、OB的中点。

求证：

MC=NC.

证明：

=OB,（2分）

∵M是OA中点，N是OB中点，

∴OM=ON,（4分）

∵∠AOC=∠BOC，OC=OC，

∴△MOC≌△NOC

∴MC=NC

针对练习

2、如图,AB、CD是⊙O的两条弦,且AD=BC,AB与CD的大小有什么关系?

为什么?

类型题2：

弧、弦、圆心角与四边形的综合应用

例2：

如图所示，已知 AB 为⊙ O 的直径， M 、 N 分别为 OA 、 OB 的中点， CM ⊥ AB ， DN ⊥ AB ，垂足分别为 M 、 N ．求证：

 ．

证明：

连结OC、OD，如图，

∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，

∴OM=ON，

∵CM⊥AB，DN⊥AB，

∴∠OMC=∠OND=90°，

在Rt△OMC和Rt△OND中，

 ，

∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），

∴∠COM=∠DON，

∴

 ．

针对练习：

2、如图，AB是⊙O的弦，C，D为弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F.求证：

 AEˆ =BFˆ.

圆周角

知识点1：

圆周角的定义和圆周角的定理（重点，难点；理解）

1、圆周角的定义

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理

1条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

命题点1：

应用圆周角定理求角的度数

例1：

如图,在O中,ABˆ=ACˆ,∠AOB=50∘,则∠ADC的度数是（）

A. 50∘B. 40∘C. 30∘D. 25∘

解析：

先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．

针对练习：

1、（2014⋅南昌）如图,A、B.C. D四个点均在O上,∠AOD=70∘,AO∥DC,则∠B的度数为（ ）

A. 40∘B. 45∘C. 50∘D. 55∘

知识点2：

圆周角定理的推论（难点；灵活应用）

同弧或等弧所对的圆周角相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90读的圆周角所对的弦是直径。

命题2直径所对的圆周角是直角的应用

例2：

如图,若AB是0的直径,CD是O的弦,∠ABD=58∘,则∠BCD=（）

A. 116∘B. 32∘C. 58∘D. 64∘

解析：

根据圆周角定理求得、：

∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）、∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180°知∠BOD=180°-∠AOD，∴∠BCD=32°．

针对练习：

2、如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（　　）

A.35°B.55°C.70°D.110°

知识点3：

圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；理解）

1、圆内接多边形的概念

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

2、圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补

命题3：

圆内接四边形性质的应用

3、如图,四边形ABCD内接于O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为（）

A. 45∘B. 50∘C. 60∘D. 75∘

解析：

设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得

α+β=180°

针对练习：

3、如图,四边形ABCD是O的内接四边形,若∠C=130∘,则∠BOD=___∘.

四、当堂小结

1、圆的定义以及表示方法（重点；理解）

2、圆的有关概念（重点；理解）

3、圆的对称性（了解）

4、圆周角的定义和圆周角的定理（重点，难点；理解）

5、圆周角定理的推论（难点；灵活应用）

6、圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；理解）

5、课后作业

一、选择题：

1、如图1，点

都在圆O上，若

，则

的度数为（）

A、

B、

C、

D、

2、如图2，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°,则∠DCF等于（）

A、80°B、50°C、40°D、20°

（1）

（2）

3．⊙O中，M为

的中点，则下列结论正确的是（）．

A．AB>2AMB．AB=2AM

C．AB<2AMD．AB与2AM的大小不能确定

4．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是

上一点，则∠ACB等于（）．

A．80°B．100°C．130°D．140°

5、在同圆中，下列四个命题:

（1）圆心角是顶点在圆心的角；

（2）两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；（3）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（4）等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（）

A、4个B、3个C、2个D、1个

6、如图3，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）

A、

B、

C、

D、

（3）（4）

二、填空题：

7、如图4，

内接于圆O，AE是圆O的直径，

，则

______.

8、如图5，

是圆O的直径，点

是圆上两点，

，则

_______.

（5）（6）（7）

9、如图6，某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备_________cm内径的管道（内径指内部直径）．

10、如图7，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，圆心O到弦AD的距离是

11、一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是cm．

12、半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．

13、已知：

如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：

∠AOC=∠DOB．

14、如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙O于G，求证：

GE=EF

15、如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC=度数。

．

16、如图AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB于O，交AC于D，

OD=2，∠A=30°,求CD。

17、如图8,∆ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AB=6,求BC的长.

18、如图9，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

19、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm.若水面上升2cm（EG=2cm），

20、则此时水面宽AB为多少？

20．已知：

如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．

求证：

∠MAO=∠MAD．

21、（2009，宁夏）如图，

为

的直径，

交

于点

，

交

于点

．

（1）求

的度数；

（2）求证：

．