完整版小学奥数平面几何五大定律.docx

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完整版小学奥数平面几何五大定律

小学奥数平面几何五大定律

教学目标：

1.熟练掌握五大面积模型

2.掌握五大面积模型的各种变形

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图§:

S2a:

b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图SxACDSBCD；

反之，如果SaacdSaBCD,则可知直线AB平行于CD.

④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

E在AC上）,

如图在4ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴（或D在BA的延长线上,

AC）:

（ADAE）

则S>AABC：

SAADE（AB

图⑴图⑵

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：

①S1：

S2S4：

S3或者&S3S2S4②AO：

OCSS2：

S4S3

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造

模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：

22

1S1：

S3a：

b

2S1：

S3：

&：

S4a2：

b2：

ab：

ab；

2

③S的对应份数为ab.

四、相似模型

（一）金字塔模型

AADAE

ABAC

DEAF一—；

BCAG

22

②SLADE：

SAABCAF:

AG.

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理：

三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、燕尾定理

在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么Sabo:

SacoBD:

DC.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状

很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着

广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的

三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径^

典型例题

【例1】如图，正方形ABCD的边长为6,AE1.5,CF2.长方形EFGH的面积为.

【解析】连接DE,DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

Sadef661.5622624.54216.5，所以长方形EFGH面积为33.

如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形

EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?

（长方形和正方形可以看作特殊的平行四

本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等

边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.

证明：

连接AG.（我们通过4ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）.

【例2】

•••在正方形ABCD中，SaABG

1

—ABAB边上的高,2

c1c一…———一，—,

.Saabg-Swabcd（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半

2

同理，SaABG二SEFGB•

2

，正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.

长方形白^宽88106.4（厘米）.

长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、是多少？

G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积

解法一：

寻找可利用的条件,

连接BH、HC,如下图:

1C

可得：

SEHBS

2

AHB、

即SEHBSBHFSDHG

而SEHBSBHFSDHG

所以阴影部分的面积是:

解法二：

特殊点法.找

SFHB

1S

2

CHB、

AHBSCHB

S阴影SEBF,SEBF

S!

影18Sebf

S1s

SDHG_SDHC

SCHD）

1一BEBF

2

184.513.5

H的特殊点，把H点与D点重合,

而SABCD

3618.

1（2

AB）

SAHBSCHBSCHD36

11

（—BC）—364.5.

28

那么图形就可变成右图:

这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：

八1111“11”111”11”

S阴影SaBCDSAEDSBEFSCFD36——36———36——3613.5.

2222222

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接，求阴影部分面积.

P点与A点重合，则阴影部

11一

-和-，所以阴影部分的面

46

卜两个阴影三角形的面积之和

（法1）特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设

分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的

一，211一、一，

积为6（--）15平万厘米.

46

（法2）连接PA、PC.

由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、

等于正方形ABCD面积的1,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,

46

~〜〜一，211一、一，

所以阴影部分的面积为62（-1）15平方厘米.

46

70,AB8,AD15,四边形EFGO的面积

【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为为

【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE

和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.

1

由于长方形ABCD的面积为158120,所以三角形BOC的面积为120」30,所以三角形AOE和

4

3

DOG的面积之和为120-7020;

4

11

又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120--30,所以四边形EFGO的面积为

302010.

另解：

从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050,所以四边形的面积为605010.

【巩固】

如图，长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点，AE2ED,则阴影部分的面积为

【解析】

如图，连接OE.

根据蝴蝶定理，ON:

ND

SCOE:

SCDE

1_

二SCAE:

SCDE1:

1,所以SOEN

2

1s

—SOED

2

【例4】

【例5】

OM:

MA

又SOED

SBOE:

SBAE

1s:

S

一SBDE:

SBAE

2

c1c

1:

4,所以SOEM二SOEA.

5

11s

S矩形ABCD

34

2SOED6,所以阴影部分面积为:

已知ABC为等边三角形,求阴影五边形的面积.

面积为400,D、E、F分别为三边的中点，已知甲、

（丙是三角形HBC）

乙、

丙面积和为143,

因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平

行，根据面积比例模型，三角形

根据图形的容斥关系，有SABC

ABN和三角形AMC的面积都等于三角形

S丙SABNSAMCSAMHN,

即400

如图,

ABC的一半，即为200.

S200200Samhn

所以SwSAMHN.

SADF

&SAMHN,所以上影S甲S乙讥S

ADF

1

14340043

4

已知CD

右边部分面积是

5,

65,

DE7,EF15,FG6,线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,

那么三角形ADG的面积是.

连接AF,BD.

根据题意可知，CF571527;DG

7156

28;

所以，SBEF

15

27

12

SCBF,SBECScbf,SAEG

27

217

SADG,SAEDSADG,

2828

21S

28ADG

15s

27CBF

7.

65；^8SADG

12s

27CBF

38.

[例6]

可得S

ADG40.故三角形ADG的面积是40.

如图在4ABC中，D,E分别是AB,AC上的点,米，求4ABC的面积.

连接BE,Saade:

SaabeAD：

AB2:

5

&ABE:

SaabcAE:

AC4:

7（45）:

（7

SaABC35份，S\ADE16平方厘米，所以

AD:

AB

AE:

AC4:

7,

（24）:

（5

5）,所以

4）,

SaADE:

SaABC（24）:

（75）,设

1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米,

Saade16平方厘

SaADE8份，则

△ABC的面积是

共角定理：

共角三角形的面积比等于对应角

（相等角或互

70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,补角）两夹边的乘积之比.

如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少？

连接BE.

EC3AE

•SvABC3SvaBE

又「AB5AD

一SvadeSvabe

5Sabc155…Sabc15Svade15.

如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分,是甲部分面积的几倍？

BDDC4,BE3,AE6,乙部分面积

连接AD.

.BE3,AE6

•1'AB3BE,Svabd3Svbde

又「BDDC4,

•.SVABC2SvABD）一SVABC6Svbde，15&.

[例7]如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:

AD5:

2,AE:

EC3:

2,Saade12平方厘米，求△ABC的面积.

【解析】连接BE,Saade：

SaabeAD：

AB2:

5（23）:

（53）

SaABE：

SaabcAE:

AC3:

（32）（35）:

（32）5,

所以SaADE:

SaABC（32）:

5（32）6:

25,设S4ADE6份，贝USAABC25份,SAADE12平方厘米,

所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，4ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比

[例8]如图，平行四边形ABCD,BEAB,CF2CB,GD3DC,HA4AD,平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.

【解析】连接AC、BD.根据共角定理

・•・在4ABC和4BFE中，ABC与FBE互补，

SaABCABBC111

•.

SAFBEBEBF133

又SaABC1,所以SaFBE3.

同理可得SaGCF8,SADHG15,SAAEH8.

所以SefghSAAEHSACFGSADHGS\BEFSABCD8815+3+236.

所以SABCDI-1.

Sefgh3618

[例9]如图所示的四边形的面积等于多少?

【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四

边形的面积.

因此，原来四边形的面积为1212144.（也可以用勾股定理）

【例10］如图所示，ABC中，ABC90,AB3,

中心为O,求OBC的面积.

BC5,以AC为一边向ABC外作正方形ACDE,

【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90,到达OCF的位置.

由于ABC90,AOC90,所以OABOCB180.而OCFOAB,

所以OCFOCB180,那么B、C、F三点在一条直线上.

由于OBOF,BOFAOC90,所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为538,所以它

的面积为82-16.

4

根据面积比仞W莫型，OBC的面积为16510.

8

【例11］如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,AEB90,AC、BD交于O.已

知AE、BE的长分别为3cm、

5cm,求三角形OBE的面积.

【解析】如图,

连接DE,以A点为中心，将ADE顺时针旋转

90至UABF的位置.

那么

EAFEABBAFEABDAE90

AEB也是90,所以四边形AFBE是直角梯形,

且AF

AE3,

所以才^形AFBE的面积为:

又因为

SABD

C12.

3—12（cm）.

2

ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB

1_20

-AB217（cm2）.

2

_2AE

2

BE

那么SBDESABDSABESADESABDSafBE

17

125（

2、

cm）,

c1c）

所以SOBE万SBDE2.5（cm2）.

【例12】

如下图，六边形ABCDEF中，ABBC平行于EF,对角线FD垂直于

面积是多少平方厘米？

ED,AF

BD,已知

CD,BCEF,且有AB平行于ED,AF平行于CD,

FD24厘米，BD18厘米，请问六边形ABCDEF的

如图，我们将BCD平移使得

【例13】

CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重

合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形BGFD,它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形

BGFD的面积为2418432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.

【解析】方法一：

连接CF,根据燕尾定理,

SZ\ABF

SAACF

BD

DC

S/XABF

SACBF

AE1,

设SABDF

所以Sdcef

1份，则SADCF2份,

2s

SAABC

12

12

方法二:

连接

由题目条件可得到

SADEF

1s

2

1

'△ADC

SADEB

而SACDE

【巩固】如图，长方形

厘米？

SAABF3份,

S*AAEF

S*AEFC3份，如图所标

2SAABC

SAABC

3

BF

FE

S1

SABEC

2

SZ\ABD

SAADE

1S

2

1

3

1

1

1

12，

一.所以则四边形

3

DFEC的面积等于

ABCD的面积是

2平方厘米，EC2DE,

12

F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方

y

如图，三角形ABC的面积是1,E是AC的中点，点D在BC上，且BD:

DC1:

2,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于

c5c5

【解析】设SadeF1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示SK影—SABCD平方厘米.

1212

【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面

3,

那么C0的长度是DO的长度的

倍.

在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种"不良四边形”，无外乎两种处理方法：

⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件Svabd:

Svbcd1:

3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比.再应用结论:

使学生体会到蝴蝶定

三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法，理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题.

解法一：

:

AO:

OCSabd:

Sbdc1:

3,，OC236,••.OC:

OD6:

3

SABD3S

AH

解法二：

作AHBD于H,

CGBD于G.

1cc.q1q

一CG,•.SAODSDOC,

33

4个三角形，其中三个三角形的面积已知,AG:

GC?

_1

.•.AO—CO,•.OC233

如图，四边形被两条对角线分成

求：

⑴三角形BGC的面积;

6,.OC:

OD6:

32:

1.

⑴根据蝴蝶定理,

SvBGC1

⑵根据蝴蝶定理,

【例15］如图，平行四边形

23，那么SVBGC6；

AG:

GC12:

361:

3.

ABCD的对角线交于0点，△CEF、AOEF>△ODF、

△BOE的面积依次是2、

4、4和6.求：

⑴求^OCF的面积；⑵求4GCE的面积.

【解析】⑴根据题意可知,

△BCD的面积为244616,那么ABCO和CDO的面积都是1628,所以

△OCF的面积为844;

⑵由于ABCO的面积为8,

△BOE的面积为6,所以^OCE的面积为862,

根据蝴蝶定理，EG:

FG

SCOE：

S

COF2:

4

1:

2,所以SGCE：

SGCFEG:

FG1:

2,

那么SGCE

，S

12CEF

【例16]如图，长方形ABCD中,

形ABCD的面积.

BE:

EC

2:

3，

DF:

FC1:

2,三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方

连接AE,

因为BE:

EC

因为S/AED

2:

3,DF:

FC1:

2,所以SVDEF

JSK方形ABCD

」S叱m

10S长万形ABCD

I11

二S£方形ABCD，AG:

GF-:

—5:

1,所以S/AGD5S/GDF10平方厘米，所以

2210

S/AFD12平方厘米.因为

C1c~……〜

SVAFD二S£方形ABCD,所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.

6

【例17]如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.

因为M是AD边上的中点，所以AM:

BC

1:

2,根据梯形蝴蝶定理可以知道

SAAMG:

SAABG:

SAMCG

:

SABCG

12:

（12）:

（12）:

221:

2:

2:

4,设54agm

1份，则SAMCD123

份，所以正方形的面积为1224312份，S阴影

224份，所以Sb影：

SE方形

1:

3,所以

金影1平方厘米.

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.

2

【解析】连接DE,根据题意可知BE:

AD1:

2,根据蝴蝶定理得S弟形（12）9（平方厘米），

Saecd3（平方厘米），那么Swabcd12（平方厘米）.

【例18】已知ABCD是平行四边形，BC:

CE3:

2,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.

【解析】连接AC.

由于ABCD是平行四边形，BC:

CE3:

2,所以CE:

AD2:

3,

根据梯形蝴蝶定理，Svcoe:

Svaoc:

Svdoe:

Svaod22:

23:

23:

324:

6:

6:

9,所以Svaoc6（平

方厘米），Svaod9（平方厘米），又SvabcS/acd6915（平方厘米），阴影部分面积为

61521（平方厘米）.

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：

平方厘米），阴影部分

的面积是平方厘米.

【分析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S℃口S°ae.

2

根据蝴蝶定理，SOCDSOAESOCESOAD4936,故SOCD36,

所以SOCD6（平方厘米）.

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：

平方厘米），阴影部分

的面积是平方厘米.

【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SocdSoae.

2\,2\,2\,2\,222_2,_

根据蝴蝶