完整版小学奥数平面几何五大定律.docx

1、完整版小学奥数平面几何五大定律小学奥数平面几何五大定律教学目标：1.熟练掌握五大面积模型2.掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图:S2 a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 SxACD SBCD；反之，如果Saacd Sa BCD ,则可知直线 AB平行于CD .等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积

2、比等于它们的高之比. 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.E在AC上）,如图在 4ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 （或D在BA的延长线上,AC):(AD AE)则 SA ABC ： SA ADE (AB图 图三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）： S1 ： S2 S4 ： S3 或者& S3 S2 S4 AO ：OC S S2 ： S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径. 通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相

3、联系； 另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）： 2 21S1 ： S3 a ： b2S1 ： S3 ： & ： S4 a2 ： b2 ： ab ： ab ；2S的对应份数为 a b .四、相似模型（一）金字塔模型A AD AEAB ACDE AF 一；BC AG2 2 SL ADE： SA ABC AF : AG .所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似 ），与相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它

4、们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、燕尾定理在三角形 ABC中，AD , BE , CF相交于同一点 O ,那么S abo : S aco BD : DC . 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段， 因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理. 该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中， 为三

5、角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 典型例题【例1】 如图，正方形 ABCD的边长为6, AE 1.5, CF 2.长方形EFGH的 面积为.【解析】 连接DE, DF,则长方形EFGH的面积是三角形 DEF面积的二倍.三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，Sa def 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5，所以长方形 EFGH 面积为 33.如图所示，正方形 ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?（长方形和正方形可以看作特殊的平行四本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等边形）.

6、三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接 AG .（我们通过4ABG把这两个长方形和正方形联系在一起 ）.【例2】在正方形ABCD中，SaABG1AB AB边上的高, 2c 1c 一一，,. Sa abg -Swabcd （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半2同理，SaABG 二 SEFGB 2，正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形白宽 8 8 10 6.4（厘米）.长方形ABCD的面积为 36 cm2, E、F、 是多少？G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积解法一：寻找可利用的条件,连接 BH、HC,如下图:1 C可得：S EHB S

7、2AHB、即 S EHB S BHF S DHG而 S EHB S BHF S DHG所以阴影部分的面积是:解法二：特殊点法.找S FHB1S2CHB 、AHB S CHBS阴影 S EBF , S EBFS!影 18 S ebfS 1sS DHG _ S DHCS CHD )1 一BE BF218 4.5 13.5H的特殊点，把H点与D点重合,而 SABCD36 18 .1 (2AB)S AHB S CHB S CHD 361 1(BC) 36 4.5 .2 8那么图形就可变成右图:这样阴影部分的面积就是 DEF的面积，根据鸟头定理，则有：八 1 1 1 1 “ 1 1 ” 1 1 1 ”

8、1 1 ”S阴影 SaBCD S AED S BEF S CFD 36 36 36 36 13.5 .2 2 2 2 2 2 2【巩固】在边长为 6厘米的正方形 ABCD内任取一点P ,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分 别与P点连接，求阴影部分面积.P点与A点重合，则阴影部1 1 一-和-，所以阴影部分的面4 6卜两个阴影三角形的面积之和(法1)特殊点法.由于 P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的一，2 1 1 一、一，积为6 (- -) 15平万厘米.4 6(法2)连接PA、PC.由于 PAD与 PBC的面

9、积之和等于正方形 ABCD面积的一半，所以上、等于正方形 ABCD面积的1 ,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD面积的1 ,4 6 一 ， 2 1 1 一、一，所以阴影部分的面积为 62 (- 1) 15平方厘米.4 670, AB 8, AD 15,四边形EFGO的面积【例3】 如图所示，长方形 ABCD内的阴影部分的面积之和为 为【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形 AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形 EFGO的面积.1由于长方形 ABCD的面积为15 8 120,所以三角形 BOC的面积为120

10、30,所以三角形 AOE和43DOG的面积之和为120 - 70 20 ;41 1又三角形 AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 - - 30 ,所以四边形 EFGO的面积为30 20 10.另解：从整体上来看，四边形 EFGO的面积 三角形AFC面积 三角形BFD面积 白色部分的面积， 而三角形AFC面积 三角形BFD面积为长方形面积的一半， 即60,白色部分的面积等于长方形面积减 去阴影部分的面积，即120 70 50,所以四边形的面积为 60 50 10.【巩固】如图，长方形 ABCD的面积是36, E是AD的三等分点， AE 2ED ,则阴影部分的面积为【解析】如图，连接O

11、E .根据蝴蝶定理，ON : NDS COE : S CDE1 _二 S CAE : S CDE 1:1 ,所以 S OEN21sS OED2【例4】【例5】OM : MA又 S OEDS BOE : S BAE1s : S一 S BDE : S BAE2c 1 c1: 4 ,所以 S OEM 二 S OEA .51 1sS矩形ABCD3 42S OED 6 ,所以阴影部分面积为:已知ABC为等边三角形, 求阴影五边形的面积.面积为400, D、E、F分别为三边的中点， 已知甲、（丙是三角形HBC ）乙、丙面积和为143,因为D、E、F分别为三边的中点，所以 DE、DF、EF是三角形ABC的中

12、位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形根据图形的容斥关系，有 S ABCABN和三角形AMC的面积都等于三角形S丙 S ABN S AMC SAMHN ,即400如图,ABC的一半，即为200.S 200 200 Samhn,所以 Sw SAMHN .S ADF& SAMHN , 所以上影S甲S乙讥 SADF1143 400 434已知CD右边部分面积是5,65,DE 7 , EF 15, FG 6 ,线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是 38,那么三角形 ADG的面积是 .连接AF , BD .根据题意可知， CF 5 7 15 27; DG7 15 628;所以，S BEF

13、152712S CBF , S BEC S cbf , S AEG2721 7S ADG , S AED S ADG ,28 2821S28 ADG15 s27 CBF7 .65； 8S ADG12s27 CBF38.例6可得SADG 40 .故三角形 ADG的面积是40.如图在 4ABC中，D,E分别是AB,AC上的点, 米，求4ABC的面积.连接 BE , Saade : Saabe AD ： AB 2:5&ABE :Saabc AE:AC 4:7 (4 5):(7Sa ABC 35份， S ADE 16平方厘米，所以AD: ABAE:AC 4:7,(2 4):(55）,所以4),Sa A

14、DE : Sa ABC (2 4):(7 5),设1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米,Sa ade 16平方厘Sa ADE 8 份，则 ABC的面积是共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理, 补角）两夹边的乘积之比 .如图，三角形 ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形 ADE的面积等于1,那么三 角形ABC的面积是多少？连接BE .EC 3AE Sv ABC 3SvaBE又AB 5AD一Sv ade Svabe5 Sabc 15 5Sabc 15Svade 15 .如图，三角形 ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分

15、, 是甲部分面积的几倍？BD DC 4, BE 3 , AE 6 ,乙部分面积连接AD .BE 3, AE 61 AB 3BE , Svabd 3Svbde又BD DC 4, . SV ABC 2SvABD ) 一SVABC 6Svbde，1 5& .例7 如图在 ABC中，D在BA的延长线上， E在AC上，且AB:AD 5:2, AE:EC 3:2 , Saade 12平方厘米，求 ABC的面积.【解析】 连接 BE, Saade ： Sa abe AD ： AB 2:5 (2 3):(5 3)Sa ABE ：Saabc AE: AC 3: (3 2) (3 5): (3 2) 5 ,所以S

16、a ADE : Sa ABC (3 2) : 5 (3 2) 6:25,设 S4ADE 6份，贝U SAABC 25份 , SA ADE 12平方厘米,所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，4ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要 的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角)两夹边的乘积之比例8 如图，平行四边形 ABCD, BE AB, CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ,平行四边形ABCD的面 积是2 ,求平行四边形 ABCD与四边形EFGH的面积比.【解析】 连接AC、BD .根据共角定理在4ABC和 4BFE 中， ABC与 FB

17、E 互补，Sa ABC AB BC 1 1 1 .SA FBE BE BF 1 3 3又 Sa ABC 1,所以 SaFBE 3 .同理可得Sa GCF 8 , SA DHG 15 ,SAAEH 8 .所以 Sefgh SAAEH SA CFG SA DHG S BEF SABCD 8 8 15+3+2 36 .所以 SABCD I- 1 .Sefgh 36 18例9 如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积我们可以利用旋转的方法对图形实施变换 ：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形 OAB将旋

18、转到三角形 OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为 12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为 12 12 144.（也可以用勾股定理）【例10如图所示， ABC中， ABC 90 , AB 3,中心为O,求 OBC的面积.BC 5,以AC为一边向 ABC外作正方形 ACDE ,【解析】 如图，将 OAB沿着O点顺时针旋转90 ,到达 OCF的位置.由于 ABC 90 , AOC 90 ,所以 OAB OCB 180 .而 OCF OAB,所以 OCF OCB 180 ,那么B、C、F三点在一条直线上.由于OB OF, BOF AOC 9

19、0 ,所以 BOF是等腰直角三角形，且斜边 BF为5 3 8,所以它的面积为82 - 16 .4根据面积比仞W莫型， OBC的面积为16 5 10.8【例11如图，以正方形的边 AB为斜边在正方形内作直角三角形 ABE, AEB 90 , AC、BD交于O .已知AE、BE的长分别为3cm、5cm,求三角形 OBE的面积.【解析】如图,连接DE ,以A点为中心，将 ADE顺时针旋转90至U ABF的位置.那么EAF EAB BAF EAB DAE 90AEB也是90 ,所以四边形 AFBE是直角梯形,且AFAE 3,所以才形AFBE的面积为:又因为S ABDC 1 2 .3 12 ( cm )

20、.2ABE是直角三角形，根据勾股定理， AB1 _2 0-AB2 17( cm2).2_2 AE 2BE那么S BDE S ABD S ABE S ADE S ABD SafBE1712 5(2、cm ),c 1 c )所以S OBE 万 S BDE 2.5( cm2).【例12】如下图，六边形 ABCDEF中，AB BC平行于EF ,对角线FD垂直于面积是多少平方厘米？ED , AFBD ,已知CD , BC EF ,且有AB平行于ED , AF平行于CD ,FD 24厘米，BD 18厘米，请问六边形 ABCDEF的如图，我们将 BCD平移使得【例13】CD与 AF重合，将 DEF平移使得

21、ED与 AB重合，这样 EF、BC都重合到图中的AG 了.这样就组成了一个长方形 BGFD,它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形 ABCDEF的面积为432平方厘米.【解析】方法一：连接CF ,根据燕尾定理,SZ ABFSA ACFBDDCS/X ABFSA CBFAE1,设 SABDF所以Sdcef1份，则SA DCF 2份,2sSA ABC1212方法二:连接由题目条件可得到SA DEF1s21 ADCSA DEB而 SA CDE【巩固】如图，长方形厘米？SA ABF 3 份,S*A AEFS*A EFC 3份，如图所标2 SA A

22、BCSA ABC3BFFES 1SA BEC2SZ ABDSA ADE1 S21311112，一.所以则四边形3DFEC的面积等于ABCD的面积是2平方厘米，EC 2DE ,12F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方y如图，三角形 ABC的面积是1, E是AC的中点，点 D在BC上，且 BD: DC 1:2, AD与BE交于 点F .则四边形DFEC的面积等于c 5 c 5【解析】设SadeF 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 SK影 SA BCD 平方厘米.12 12【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形 ABD的面积等于三角形 BCD的面3,那么C

23、0的长度是DO的长度的倍.在本题中，四边形 ABCD为任意四边形，对于这种不良四边形” ，无外乎两种处理方法：利用已知 条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件 Svabd :Svbcd 1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条 件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个” 不良四边形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面积比转化为高之比.再应用结论:使学生体会到蝴蝶定三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法， 理的

24、优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题.解法一：: AO:OC S abd : S bdc 1: 3 ,，OC 2 3 6 , .OC:OD 6:3S ABD 3 SAH解法二：作AH BD于H ,CG BD 于 G .1 cc . q 1 q一 CG , . S AOD S DOC ,3 34个三角形，其中三个三角形的面积已知, AG:GC ?_ 1.AO CO, . OC 2 3 3如图，四边形被两条对角线分成求：三角形BGC的面积;6, . OC:OD 6:3 2:1 .根据蝴蝶定理,SvBGC 1根据蝴蝶定理,【例15如图，平行四边形2 3，那么 SVBGC 6 ；AG :GC

25、 12:36 1:3.ABCD的对角线交于 0点，CEF、AOEF ODF、 BOE的面积依次是2、4、4和6.求：求 OCF的面积；求 4GCE的面积.【解析】根据题意可知, BCD的面积为2 4 4 6 16,那么ABCO和 CDO的面积都是16 2 8,所以OCF的面积为8 4 4;由于ABCO的面积为8, BOE的面积为6,所以OCE的面积为8 6 2,根据蝴蝶定理，EG : FGS COE ： SCOF 2:41:2,所以 SGCE ：SGCF EG:FG 1:2 ,那么S GCE，S1 2 CEF【例16如图，长方形 ABCD中,形ABCD的面积.BE: EC2:3 ，DF: FC

26、 1:2,三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方连接AE ,因为BE: EC因为S/AED2:3 , DF : FC 1:2 ,所以 SVDEFJSK方形 ABCDS叱m10 S长万形ABCDI 1 1二 S方形 ABCD， AG :GF -: 5:1 ,所以 S/AGD 5S/GDF 10 平方厘米，所以2 2 10S/AFD 12平方厘米.因为C 1c SVAFD 二 S方形 ABCD , 所以长方形 ABCD的面积是72平方厘米.6【例17 如图，正方形 ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.因为M是AD边上的中点，所以 AM : BC1:2,根据梯形蝴蝶定

27、理可以知道SAAMG : SA ABG : SAMCG:SABCG12:(1 2):(1 2) :22 1:2:2:4,设54 agm1 份，则 SA MCD 1 2 3份，所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份，S阴影2 2 4份，所以Sb影：SE方形1:3,所以金影 1平方厘米.【巩固】在下图的正方形 ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘 米，那么正方形 ABCD面积是 平方厘米.2【解析】 连接DE,根据题意可知BE:AD 1:2,根据蝴蝶定理得S弟形 （1 2） 9（平方厘米），Sa ecd 3 （平方厘米），那么Swabcd 12 （

28、平方厘米）.【例18】已知ABCD是平行四边形，BC:CE 3: 2 ,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】连接AC .由于ABCD是平行四边形， BC:CE 3: 2 ,所以CE : AD 2:3 ,根据梯形蝴蝶定理， Svcoe : Svaoc : Svdoe : Svaod 22 : 2 3 : 2 3 : 32 4 : 6 : 6 : 9 ,所以 Svaoc 6 （平方厘米），Svaod 9 （平方厘米），又Svabc S/acd 6 9 15 （平方厘米），阴影部分面积为6 15 21（平方厘米）.【巩固】右图中 ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示 （单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】 连接AE .由于AD与BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S 口 S ae .2根据蝴蝶定理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36 ,故 S OCD 36 ,所以S OCD 6 （平方厘米）.【巩固】右图中 ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示 （单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】 连接AE .由于AD与BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S ocd S oae .2, 2, 2, 2, 2 2 2 _ 2 , _根据蝴蝶