高二数学简单的线性规划教案 人教版.docx

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高二数学简单的线性规划教案人教版

2019-2020年高二数学简单的线性规划教案人教版

一、教学目标：

知识目标：

学会用线性规划的图解法解决一些实际生活中有关的最优问题。

渗透转化的思想、数形结合的思想解决问题。

能力目标：

培养学生们分析整理信息的能力、协作学习的能力以及应用所学知识解决实际问题的能力。

品德目标：

引发学生学习与使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是，理论与实际相结合的科学态度与科学精神。

通过师生、生生互动，增进增强学生的自主性和合作精神。

二、教学重点：

如何把实际问题转化为线性规划问题即建模。

教学难点：

线性规化问题的图解法和建模。

三、教学方法：

合作、讨论式教学法

四、教学的操作程序：

教师活动激发动机启发诱导巡回点拨引导拓展激励评价

教学过程创设情境活动实践交流互动迁移创新小结评价

学生活动探究结论建模求解研讨问题发散探究归纳总结

五、教学过程：

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

（一）创设情境，引入课题

在生产实际中，我们常常会遇到一些最优化问题，比如……

（二）应用性探究

例1．某家具厂有方木料90m3,五合板600m2,准备加工成书桌和书橱出售。

已知每张书桌要方木料0.1m3、五合板2m2，生产每个书橱要方木料0.2m3、五合板1m2，出售一张书桌可获利80元，出售一张书橱可获利120元。

怎样安排生产可使所得利润最大？

变式：

题中条件不变

（1）如果只安排生产书橱，可获利润多少？

（2）如果只安排生产书桌可获利多少？

（三）小结：

1、解线性规划应用题的一般步骤是：

建模

　　　求解

注意：

……

（四）练习一

某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜辣椒运往某市销售。

可供租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元。

问两种车各租用多少辆时，可全部运完鲜椒且运费最低，并求最低运费。

练习二

要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示……今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需两种规格成品，且使所用钢板张数最少。

（五）归纳总结

小结本节课的主要内容和主要数学思想方法。

1、线性规划解应用问题的一般步骤：

建模

　　求解

2、会用打网格的方法解线性规划问题中的整数解。

3、本节课主要用了转化的思想、数形结合的思想。

（六）课外作业：

1、到附近的农村、工厂等作调查研究，了解线性规划在实际中的应用；或提出能用线性规划的知识提高生产效率的实际问题，并作出解答。

2、阅读教材§7.5并完成教材练习2　习题3、4

课后反思：

利用多媒体展示实际问题，引导学生思考。

启发诱导，师生互动，把实际问题转化为数学问题。

师：

是否因为书橱的单价高，就只安排生产书橱，利润最大呢？

教师及时引学生小结。

启发诱导，展示学生的作业情况，及时点评。

注意：

①等号问题。

②选取10为一个单位长。

启发诱导、建模、求解。

注意：

①等号问题；②引导拓展，找到求整数解的方法。

指导小结，

激励评价，

概括总结。

通过练习、思考回答问题把实际问题转化为数学问题。

学生积极思考、动手计算得出结果。

学生及时整理解题思路。

学生分组讨论，交流互动。

最后到讲台说思路。

学生讨论，交流互动，发散探究。

学生回忆本节内容，小结数学思想方法和解决问题的思路。

学生看书学习

创设问题情境，激发学习动机。

通过产品安排问题探究，掌握数学建模的方法。

增强学生应用数学的意识。

加强应用数学解决实际问题的兴趣和能力的培养。

及时形成能力

通过物资调配问题的探究，及时巩固学生建模和求解的能力。

拓展学生的思维空间，培养学生的创新意识和创新能力。

通过下料问题的探究，拓展学生的思维空间，培养学生的创新意识和创新能力。

把本节知识纳入学生已有的认识结构中，有利于学生对信息的有序储存和输出，培养学生的抽象概括能力。

培养学生良好的看书习惯，培养创新精神、增强实践能力、拓展知识结构。

一、教材分析：

线性规划的应用对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．

对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：

不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．

二、教学建议：

（1）对作业、思考题、研究性题的建议：

作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；思考题主要供学有余力的学生课后完成；研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．

（2）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．

（3）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：

一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．

三、数学小知识：

线性规划最早的工作始于20世纪30年年代。

1939年苏联数学家JI.B.坎托罗维奇发表的名为《生产组织与计划中的数学方法》的小册子，是有关线性规划的最早文献。

在这以后，美国也开始研究这个问题，早期最有影响的是F.L.希契科克研究的运输问题及其解。

但是他的工作都没有受到注意。

由于战争的需要，军事中有关规划、计划、侦察、后勤、生产等各方面的问题都陆续被提出来，系统的研究线性规划的解法与应用便被提到日程上来了。

1947年，G.B丹齐克提出了一般的线性规划模型和理论（线性规划的名称也是他首先提出的），以及著名的单纯形方法，从而奠定了数学规划作为一门学科的基石。

直到现在，单纯形方法仍然是这门学科中的有力工具。

从50年代起，线性规划的应用逐渐从军事扩大到其他领域。

在生产制造、市场营销、银行贷款、股票行情、出租车费、统筹运输、电话资费、电脑上网等等热点现实问题中都可以作为决策的依据。

并且利用电子计算机已能解决变量个数达数百万之多的具有特殊结构的大型线性规划问题。

2019-2020年高二数学简单的线性规划教案

一、教材分析：

1、教材的地位与作用：

线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。

本节内容是在学习了不等式、直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解。

通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。

2、教学重点与难点：

重点：

画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。

难点：

在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。

二、目标分析：

在新课标让学生经历“学数学、做数学、用数学”的理念指导下，本节课的教学目标分设为知识目标、能力目标和情感目标。

知识目标：

1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行

域和最优解等概念；

2、理解线性规划问题的图解法；

3、会利用图解法求线性目标函数的最优解．

能力目标：

1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力。

2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力。

3、在对具体事例的感性认识上升到对线性规划的理性认识过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力。

情感目标：

1、让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣。

2、让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神；

3、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。

三、过程分析：

数学教学是数学活动的教学。

因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：

1、创设情境，提出问题；2、分析问题，形成概念；3、反思过程，提炼方法；4、变式演练，深入探究；5、运用新知，解决问题；6、归纳总结，巩固提高。

1、创设情境，提出问题：

在课堂教学的开始，我以一组生动的动画（配图片）描述出在神奇的数学王国里，有一种算法广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划等领域，应用它已节约了亿万财富，还被列为20世纪对科学发展和工程实践影响最大的十大算法之一。

它为何有如此大的魅力？

它又是怎样的一种神奇算法呢？

我以景激情，以情激思，点燃学生的求知欲，引领学生进入学习情境。

接着我设置了一个具体的“问题”情境，即xx世界杯冠军意大利足球队（插图片）营养师布拉加经常遇到的这样一类营养调配问题：

甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表：

甲

乙

丙

维生素A（单位/千克）

400

600

400

维生素B（单位/千克）

800

200

400

成本（元/千克）

7

6

5

布拉加想购这三种食物共10千克，使之所含维生素A不少于4400单位，维生素B不少于4800单位，问三种食物各购多少时成本最低，最低成本是多少？

同学们，你能为布拉加解决这个棘手的问题吗？

首先将此实际问题转化为数学问题。

我请学生完成这一过程如下：

解：

设所购甲、乙两种食物分别为x、y千克，则丙食物为10－x－y千克.

由题意可知x、y应满足条件：

即

①

又设成本为z元，则z＝7x＋6y＋5（10－x－y）＝2x＋y＋50.

于是问题转化为：

当x、y满足条件

①，求成本z=2x+y+50的最小值问题。

【设计意图】数学是现实世界的反映。

通过学生关注的热点问题引入，激发学生的兴趣，引发学生的思考，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。

2、分析问题，形成概念

那么如何解决这个求最值的问题呢？

这是本次课的难点。

我让学生先自主探究，再分组讨论交流，在学生遇到困难时，我运用化归和数形结合的思想引导学生转化问题，突破难点：

⑴学生基于上一课时的学习，讨论后一般都能意识到要将不等式组①表示成平面区域。

（教师动画演示画不等式组①表示的平面区域。

）于是问题转化为当点（x，y）在此平面区域内运动时，如何求z=2x+y+50的最小值的问题。

⑵由于此问题难度较大，我试着这样引导学生：

由于已将x，y所满足的条件几何化了，你能否也给式子z=2x+y+50作某种几何解释呢？

学生很自然地想到要将等式z=2x+y+50视为关于x，y的一次方程，它在几何上表示直线。

当z取不同的值时可得到一族平行直线。

于是问题又转化为当这族直线与此平面区域有公共点时，如何求z的最小值。

⑶这一问题相对于部分学生来说仍有一定的难度，于是我继续引导学生：

如何更好地把握直线2x+y+50=z的几何特征呢？

学生讨论交流后得出要将其改写成斜截式y=-2x+z-50。

至此，学生恍然大悟：

原来z-50就是直线在y轴上的截距，当截距z-50最小时z也最小。

于是问题又转化为当直线y=-2x+z-50与平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时在y轴上的截距最小。

（紧接着我让学生动手实践，用作图法找到点P（3，2），求出z的最小值为58，即最低成本为58元。

）

【设计意图】数学教学的核心是学生的再创造。

让学生自主探究，体验数学知识的发生、发展的过程，体验转化和数形结合的思想方法，从而使学生更好地理解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点。

就在学生趣味盎然之际，我就此给出相关概念：

不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。

z=2x+y+50是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数。

由于z=2x+y+50又是x、y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数。

一般的，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的最优解。

象上述求解线性规划问题的方法叫图解法。

由前面实际问题的解决自然地过渡到新概念的讲解，使得知识的衔接较为顺畅，概念的形成水到渠成。

3、反思过程，提炼方法

解题回顾是解题过程中重要又常被学生忽略的一个环节。

我借用多媒体辅助教学，动态演示解题过程，引导学生归纳、提炼求解步骤：

（1）画可行域——画出线性约束条件所确定的平面区域；

（2）过原点作目标函数直线的平行直线l0；

（3）平移直线l0，观察确定可行域内最优解的位置；

（4）求最值——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值。

简记为画——作——移——求四步。

4、变式演练，深入探究

为了让学生更好地理解图解法求线性规划问题的内在规律，我在例1的基础上设计了例2和两个变式：

例2.设z=2x-3y，式中变量x、y满足下列条件

，求z的最大值和最小值。

【设计意图】进一步强调目标函数直线的纵截距与z的最值之间的关系，有时并不是截距越大，z值越大。

变式1.设z=ax+y，式中变量x、y满足下列条件

，若目标函数z仅在点（5，2）处取到最大值，求a的取值范围。

变式2.设z=ax+y，式中变量x、y满足下列条件

，若使目标函数z取得最大值的最优解有无数个，求a的值。

【设计意图】用已知有唯一（或无数）最优解时反过来确定目标函数某些字母系数的取值范围来训练学生从各个不同的侧面去理解图解法求最优解的实质，培养学生思维的发散性。

（以上两个变式均让学生用几何画板进行实验,探求解决方法。

并引导学生总结出：

最优解一定位于多边形可行域的顶点或边界直线处。

）

5、运用新知，解决问题

“学数学而不练，犹如入宝山而空返”。

为了及时巩固知识，反馈教学信息，我安排了如下练习：

练习1：

教材p64练习第1题

【设计意图】及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况。

练习2：

设z=2x+y，式中变量x、y满足下

列条件①，求z的最大值和最小值。

（学生独立完成巩固性练习，老师投影有代表性的学生解答过程，给予积极性的评价，并强调注意点。

同座同学间相互交流、批改和更正。

）

【设计意图】除了帮助学生巩固新学的知识，还能引导学生运用新知识，迅速清楚地发现以前用解不等式的知识错解此类题的原因。

让学生再一次深刻体会到数形结合的妙处，同时又巩固了旧知识，完善了知识结构体系。

6、归纳总结，巩固提高

（1）归纳总结

为使学生对所学的知识有一个完整而深刻的印象，我请学生从以下两方面自己小结。

（1）这节课学习了哪些知识？

（2）学到了哪些思考问题的方法？

（学生回答）

【设计意图】有利于学生养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培养了学生数学交流和表达的能力。

（2）巩固提高

布置作业：

1.阅读本节内容，完成课本P65习题7.4第2题

2.思考题：

设z=2x-y，式中变量x、y满足下列条件

且变量x、y为整数,求z的最大值和最小值。

【设计意图】让学生巩固所学内容并进行自我检测与评价，并为下一课时解决实际问题中的最优解是整数解的教学埋下伏笔。

四、教法分析：

鉴于我校高二学生已具有较好的数学基础知识和较强的分析问题、解决问题的能力，本节课我以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法。

（1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；

（2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识。

（3）利用多媒体辅助教学，直观生动地呈现图解法求最优解的过程，既加大课堂信息量，又提高了教学效率。

（4）指导学生做到“四会”：

会疑；会议；会思；会变。

在教学过程中，重视学生的探索经历和发现新知的体验，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。

五、评价分析

本节课我的设计理念遵循以下四条原则：

以问题为载体；以学生为主体；以合作交流为手段；以能力提高为目的。

重视概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过程；情感的体验过程。

学生通过自主探究、合作交流，体会合作学习的默契和谐，体会冥思苦想后的豁然开朗，体会逻辑思维的严谨美，体会一题多变的变幻美，体会数形结合的奇异美。