完整word版初三数学中考复习二次函数中特殊三角形的存在问题含答案.docx

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完整word版初三数学中考复习二次函数中特殊三角形的存在问题含答案

特殊三角形存在性问题

一、等腰三角形存在性问题

【例4】如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（－1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式．

解：

把A（－1，0），C（0，3）代入

y＝－x2＋mx＋n，得

解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.

（2）判断△ACD的形状，并说明理由．

先确定点D的坐标，求出△ACD的各边长，然后判断△ACD的形状．

解：

△ACD是等腰三角形．

由

（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，

∴D（1，0）．

∵A（－1，0），C（0，3），

∴AD＝2，AC＝＝，

CD＝＝.

∴AC＝CD.

∴△ACD是等腰三角形．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？

如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

先找出所有符合条件的点，然后再求线段长确定P点坐标．

解：

由

（2）知CD＝.

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1＝DP2＝DP3＝CD.

过点C作CM垂直对称轴于M，

∴MP1＝MD＝3.

∴DP1＝6.

∴符合条件的点P的坐标为（1，6），（1，），（1，－）．

（4）点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使△PCD是等腰三角形？

如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由．

先求出BC的解析式，分三种情况讨论计算出m.

解：

∵B（3，0），C（0，3），

∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.

设点P（m，－m＋3）（m＞0）．

∵C（0，3），D（1，0），

∴CP2＝2m2，DP2＝（m－1）2＋（－m＋3）2，CD2＝10.

∵△PCD是等腰三角形：

①当CP＝DP时，则CP2＝DP2.

∴2m2＝（m－1）2＋（－m＋3）2.

∴m＝.∴P1.

②当CP＝CD时，则CP2＝CD2.

∴2m2＝10.

∴m＝或m＝－（舍去）．

∴P2（，3－）．

③当DP＝CD时，则DP2＝CD2.

∴（m－1）2＋（－m＋3）2＝10.

∴m＝4或m＝0（舍去）．

∴P3（4，－1）．

综上所述，符合条件的点P的坐标为，（，3－）或（4，－1）．

（5）设抛物线的顶点为E，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PEC是等腰三角形？

若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分“以CE为底”和“以CE为腰”两种情况讨论．利用腰长相等列关系式，再结合抛物线解析式，求出点P的坐标．

解：

由

（1）知，E点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1.

①若以CE为底边，则PE＝PC.

设点P的坐标为（x，y），则

（x－1）2＋（y－4）2＝x2＋（3－y）2，

即y＝4－x.

又∵点P（x，y）在抛物线上，

∴4－x＝－x2＋2x＋3.

解得x＝.

∵＜1，应舍去．

∴x＝，y＝4－x＝.

即点P的坐标为.

②若以CE为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时P点坐标为（2，3）．

综上所述，符合条件的点P坐标为或（2，3）．

关于等腰三角形找点（作点）和求点的方法

①等腰三角形找点（作点）方法：

以已知边为边长，作等腰三角形，运用“两圆一线法”，在图上找出存在点的个数.

问题

找点

等腰

三角形

已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形

分别以点A，B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作线段AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与l的交点即为所有要求的P点

②等腰三角形求点方法：

以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后求出三点间的线段长度，分不同顶点进行讨论．

二、直角三角形的存在性问题

【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

解：

把A（－1，0），B（3，0）代入

y＝ax2＋2x＋c，得

解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.

设AC的解析式为y＝kx＋3.

把A（－1，0）代入解析式，得k＝3.

∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.

（2）动点E在y轴上移动，当△EAC是以AC边为直角边的直角三角形时，求点E的坐标．

解：

设E的坐标为（0，t）．

AC2＝OA2＋OC2＝12＋32＝10，

EA2＝OA2＋OE2＝12＋t2，

CE2＝（3－t）2.

在Rt△EAC中，AC2＋EA2＝CE2，

∴10＋（12＋t2）＝（3－t）2，

解得t＝－.∴点E的坐标为.

（3）试探究：

在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分直角顶点在点A处和点C处两种情况讨论．

解：

存在．

①直角顶点在点C处．

如图，过点C作CQ⊥AC交x轴于点Q，△ACQ为直角三角形．

又∵CO⊥AQ，

∴△COA∽△QOC.

∴＝.

∵A（－1，0），C（0，3），

∴OA＝1，OC＝3.

∴＝

.∴OQ＝9.

∴Q（9，0）．

由C（0，3），Q（9，0）可求出直线CQ的解析式为

y＝－x＋3.

联立方程

解得x1＝0（舍去），x2＝.

当x＝时，y＝.

∴P1.

②直角顶点在点A处．

如图，过点A作AP2∥CQ交抛物线于点P2.

设直线AP2的解析式为y＝－x＋b，

把A（－1，0）代入解析式，

得－×（－1）＋b＝0，

∴b＝－.

∴直线AP2的解析式为y＝－x－.

联立方程

解得x1＝－1（舍去），x2＝，

当x＝时，y＝－.

∴P2.

综上所述，符合条件的点P的坐标为或.

（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形？

若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分直角顶点在点B处、点C处和点P处三种情况讨论．

解：

设点P（1，m），B（3，0），C（0，3）．

∴BC2＝18，

PB2＝（1－3）2＋m2＝m2＋4，

PC2＝12＋（m－3）2

＝m2－6m＋10.

①当以点C为直角顶点时，

BC2＋PC2＝PB2，

即18＋（m2－6m＋10）＝m2＋4，解得m＝4.

②当以点B为直角顶点时，BC2＋PB2＝PC2，即

18＋（m2＋4）＝m2－6m＋10，解得m＝－2.

③当以点P为直角顶点时，PB2＋PC2＝BC2，即

m2＋4＋（m2－6m＋10）＝18，解得

m1＝，m2＝.

综上，存在点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形为直角三角形，点P的坐标为（1，4），（1，－2），，.

（5）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC，BC于点M，N.问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？

如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

分三种情况进行讨论：

①∠PMN＝90°，PM＝MN；②∠PNM＝90°，PN＝MN；③∠MPN＝90°，PM＝PN.

解：

存在．

设M，N的纵坐标为m，由B（3，0），C（0，3）可求出直线BC的

解析式为y＝－x＋3.

∴M

，N（3－m，m）

①当∠PMN＝90°，PM＝MN时，如图1所示，

∵MN＝

，

PM＝m，∴

＝m，

解得m＝，则P的横坐标为－.

∴P.

②当∠PNM＝90°，PN＝MN时，同理可得P.

③当∠MPN＝90°，PM＝PN时，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ＝m.

又∵PM＝PN，∴PQ⊥MN.

则MN＝2PQ，即

＝2m，

解得m＝，点P的横坐标为

＝

＝.

∴P.

综上，存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，点P的坐标为，或.

关于直角三角形找点和求点的方法

①找点：

以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一圆法，在图上找出存在点的个数．所谓的“两线”就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；“一圆”就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点．

②求点：

以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1·k2＝－1；以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用三角形相似求解，或者三条边分别用代数式表示之后，利用勾股定理求解．

1．（2018·潍坊）如图1，抛物线y1＝ax2－x＋c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.

（1）求抛物线y2的解析式；

（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？

若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R.若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．

解：

（1）根据题意，得

解得a＝－，

所以，抛物线y1的解析式为y1＝－x2－x＋.

∵抛物线y1平移后得到抛物线y2，且顶点为B（1，0），

∴抛物线y2的解析式为y2＝－（x－1）2，

即y2＝－x2＋x－.

（2）抛物线y2的对称轴l为x＝1，设T（1，t），已知A（－3，0），C，

过点T作TE⊥y轴于E，连接TC，TA，则

TC2＝TE2＋CE2＝12＋

＝t2－t＋，

TA2＝TB2＋AB2＝t2＋（1＋3）2＝t2＋16，AC2＝.

当TC＝AC时，即t2－t＋＝，

解得t1＝，t2＝；

当TA＝AC时，得t2＋16＝，无解；

当TA＝TC时，得t2－t＋＝t2＋16，

解得t3＝－.

综上所述，在抛物线y2的对称轴l上存在点T，

使△TAC是等腰三角形，此时T点的坐标为

T1，T2，T3.

（3）设P

，

则Q

.

∵Q，R关于x＝1对称，

∴R

.

情况一：

当点P在直线l的左侧时，

PQ＝－m2－m＋－

＝1－m，

QR＝2－2m.

又因为以P，Q，R构成的三角形与△AMG全等，

当PQ＝GM且QR＝AM时，m＝0，

可求得P，即点P与点C重合．

∴R.设PR的解析式为y＝kx＋b，

则有

解得k＝－，

即PR的解析式为y＝－x＋.

当PQ＝AM且QR＝GM时，无解．

情况二：

当点P在直线l右侧时，

P′Q′＝－m2＋m－－

＝m－1，Q′R′＝2m－2，

同理可得P′，R′.

P′R′的解析式为y＝－x－.

综上所述，PR的解析式为y＝－x＋或y＝－x－.

2.（2018·海南）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于点A（－1，0）和点B（3，0）．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．

①求四边形ACFD的面积；

②点P是线段AB上的动点（点P不与点A，B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．

解：

（1）根据题意，得

解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.

（2）①如答图1