数学建模习题课docx.docx
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数学建模习题课docx
习题课
一、初等模型与常用的建模方法
1.奇偶校验法
例1在如图所示的4x4方格纸上己填写1,9,8,6四个数字,问能否在余下的方格内各填入一整数，使得方格区上的每一行每一列都构成等差数列？
解考察左下角格屮所填之数，设为卩，由于所填方格屮都为整
数，且
该列常專等羞卜网的奇偶性相同渤奇数'
该行專霭等差卜対的奇偶性相同帥偶数'
这就产生了矛盾的结果，故所要求的填法不存在.
例2利用奇偶校验法证明，空间中不存在“有奇数个面，且每
个面又都有奇数条边的多面体”・
证用反证法.假设存在具有题设性质的多面体，它有加个面数,各个面分别有"],斤2,…,心条边，这里加，厲宀，均为奇数，从而n=n1+n2+…+nm必为奇数.
另一方面，在多面体中，每两个相邻的面都有一条公共边，即多
面休的棱，而且每一条棱又都为两个面所共有，因此在求得〃时，每一条棱都被重复地计算了一次，所以X®+〃2+…+心又应为偶数，于是产生了矛盾•故由奇偶校验法知根本不存在具有奇数个面，•且每个面乂都有奇数条棱的多面体.
例3已知多项式F+处2+CX+d的系数都是整数，且加+Cd为奇数.证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.
证用反证法.
假设满足条件“加+cd为奇数”的多项式F+W+c+d能分解为两个整系数多项式的乘积，则必有
F+b2址cx+d=（兀+°）（兀2+p伙g）,
其中a,b,c,d,p,q都是整数.
令x=0代入上式，得
d=aq;
（1）
令“1代入上式，得
l+b+c+d=（l+d）（l+p+g）・
（2）
由条件“bd+cd=（b+c）d为奇数”知b+c与d必皆为奇数，进而知
（2）式左端1+D+C+d为奇数.
另一方面，由
（1）及d为奇数立知°,g必为奇数，因而
（2）右端（l+d）（l+”+q）为偶数,于是产生了矛盾.因此由奇偶校验法知满足条件“bd+cd为奇数”的多项式X+W+s+d不能分解为两个整系数多项式的乘积.
2.分析法建模
例4将四条腿长相等的长方形桌子放在起伏不平的地面上，如果地血是数学上的光滑曲面，问怎样才能将桌子放平稳?
解假定椅子中心不动，四条腿的着地点A,B,C,D如图建立坐标系.将椅子如图旋转到n.所谓着地，就是椅子与地面的距离等于零.由于椅子位置不同，椅脚与地面距离不同，因而这个距离为&的函数，记
/（&）=“AB两脚与地面距离之和”，
g（0）=“C,D两脚与地面距离之和”・
因地面光滑,/（&）与g（〃）连续；乂椅子在任何位置总有三条腿同吋“着地”,故0e［O^］f⑹与g（&）至少有一个为0,从而
.f（&）g（e）=o,〃可0,刃.
不妨设g（0）=0,/（0）>0,于是问题抽象成如下的数学问题：
假设/（&）与g（°）是&的连续函数，g（0）=0,/（0）>0,且
/（0）g（&）=O,牡［0卯］,
求证存在%w［o,刃，使得/G）=g（%）=o.
证令力（0）=/（&）—g（&）,则/7（0）=/（0）-g（0）>0.
将椅子旋转G即将AB与CD互换，由g（0）=0,/（0）>0知
于3）=0,gS）>0,
所以
/?
（龙）=f（^）一g（龙）=_g（兀）<0.
由于h（6在［0,7T］上连续，且/7（0）/7（^）<0,故据连续函数的介值定理知珂0（0,"）,使得h（0（J=0,即
JW二g（%），
又由/（q）g（q）=o,,故得
&o）=g（&o）=O,
表明在&=%方向上，四条腿一定能同时“着地”・
例5小明在妹妹的主日晚会上，买回一个边界形状怪异的蛋糕。
妹妹指着蛋糕上的一点P,要哥哥过此点将蛋糕切成一人一半，能办到吗？
解过点P任作一条直线/,将曲线所围图形分为两部分，其面积分别为,上2・
若S严S2,则/即为所求的直线;
若S“S2,不妨设,＞52,此时记勺为/与x轴止向之夹角•下面对此种情形证明之.
以P为旋转中心，将/按逆时针方向旋转，显然面积S^S2连续地依赖于角a变化，分别记之为S|（a）与S?
（a），如图所示.
设
f（a）=Sx（a）-S2（a）9
将直线/按逆时针方向旋转兀，易知于&）在&（）,/+刃上连续，且在端点异号：
/（ao）=S1（6Zo）-S2（tzo）＞O,
/（«o+兀）=S|（a。
+兀）一S2（a。
+兀）
=S2（6Zo）-S1（«o）＜O,
故据连续函数的介值定理知，必存在一点§丘（兔心）+龙），使得
S«）—S2@）=0,S«）=S2@）・
于是过P点作直线，使之与X轴正向的夹角成歹，则该直线即为所求.
例6—盏灯挂在一米见方的书桌正上方。
已知受光面上的照度
与光线入射角的余弦值成正比，与到光源距离的平方成反比。
问此灯
应挂在离桌面多高处，才能使
（1）桌子四个角的照明度最大？
（2）桌子四边的中点处的照明度最大？
又如果是圆形桌子，灯应挂在多高处才能使圆桌边缘处照明度最大？
解如图设0为桌子中心点，A为桌上任一点，距离中心点0为
r,="为灯的高度，则灯到受光点A的距离
由题设A点的照度为
其中R为比例常数.而cos&=/=,所以,
7/22+r2
h
Rg=k—飞・
（胪+厂于对力求导，得
-1
（厂2+力2）2_/2（r2+/?
2）2・"*2十胪）讣2一
R（町=k=-——AVi—
（r2+/z2）3
V7几25、3（r2+/z2）3
/?
（〃）的最大值点，于是
^max=^（^o）=27r2*
厂
当桌子一米见方吋
（1）在四个角处有心乜m,代入可得h=0.5m,即灯应挂在离桌
而0.5加处；
（2）在卩4边的中点处有r=—m,代入得h=—m处；
24
进一步，如果为半径是厂的圆桌，则灯应挂在离桌面/心返厂处可
2
使圆桌边缘的照度最大.
例7某公司专门生产储藏用的容器，合同要求该公司制造一种敞口（即无盖）的长方体容器，容器恰好为V".如果用作容器四壁的材料为a元//,用作容器底面的材料价格为b元I卅,问制造怎样的容器才能使得总费用最省？
3.线性代数法建模
例8有一块牧场长满了青草，每天青草均匀地生长。
这片牧场的青草可供17头牛吃30天，也可供19头牛吃24天。
假设有一些牛在牧场上吃草，6天后有4头牛被卖了，余下的牛用2天时间将牧场上的草吃完，问开始时有多少头牛在吃草？
解设牧场原有草量-每天可新生长出y,平均每头牛每天可吃掉则有
17x30a=x+30y
19x24a=x+24y
求得y=9a.x=240a.
又假设牧场上原有Z头牛，则有
6zq+2（z-4）q=x+8y,
代入可求得z=40,即开始吋有40头牛在吃草.
练习题：
某展览馆举办画展，9时正点开门，但早有人提前排队等候。
从第一位观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多•如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队•问第一位观众到达的时刻是几时几分？
解设第一位观众提前a分钟到达，每分钟可来x人,每个入场口每分钟可进入y人，则有
Jax+9兀=3x9^
[ax4-5x=5x5y,
所以
2x=y
代入即得
a=45,
即第一位观众在8时15分到达.
二、中学数学建模与数学知识应用竞赛
1.中学数学代数法建模
例1证明表面积一定的长方体中，正方体的体积最大.
证设长方体的长、宽、高分别为兀丿2,表面积S。
为定值，则有
So=2%+yz+zx）・
乂设该长方体的体积为V=V^y,z），则问题的目标函数为
由于
3
V（x,y,z）=xyz=（3xy•yz•对2,运用算术几何平均不等式及己知旃祚厂
因此当该长方体为正方体时，体积达最大，其值为
匕貯打］陋,［応丄応］电隔］占応・
\ooo7\o丿5（
例2设长方体的体积一定，求使得其表面积达最小的长、宽、高之比.
解设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，体积％为定值，则有
K）=w・
又设该长方体的表面积为S=Sa，y,z）,则问题的目标函数为
S（x,y,z）=2（xy+yz+zx）.
由于
S（x,y,z）=6［J,
运用算术几何平均不等式及已知条件，有
22
S（x,y,Z）>6^1xy•yz•zx=6（粧尸=6V03=6#研，
因此当该长方体为正方体，即长、宽、高之比为1：
1：
1吋，表面积达
最小，其值为
s,”=S（何，何，何）=6（耐=6氏.
2.中学数学几何法建模
例3设P为三角形AABC中的任意一点.现有一把有刻度的直尺,问最少要用几次可测出三角形MBC与\PBC的而积之比？
如何测得？
解至少要用一次即可.
连接AP延长交BC于用直尺量出AM与PM的长度，即可测得
S/\ABC_AM
S型bcPM
3.抽屉原理法建模
例4从一副扑克牌（52张）屮最多抽出多少张，就能确保有6张同花的牌？
（分析：
一副扑克牌中有54张牌，这里的52张牌是去掉了大小王后剩下的牌，每种花色各有13张牌）
解从最不利的情形去考虑.假设现有20张扑克牌，四种花色各占5张，因此再抽一张就能确保有6张扑克牌花色相同，故最多抽出21张牌就能确保有6张同花色的牌.
例5已知9个自然数“勺，…®，将它们重新排列后得到勺厶,
证明⑴-勺）仏-切…仏-％）必为偶数.（分析:
9个自然数,应该是9奇，8奇1偶，7奇2偶，6奇3偶，5奇4偶，4奇5偶，3奇6偶，2奇7偶，1奇8偶，9偶中的一种情形，可见9个自然数中至少有5个数的奇偶性相同）
证易知9个自然数中至少有5个数的奇偶性相同.不妨设
…心中至少有5个奇数，那么在…4中的偶数个数就至多为4个，于是在勺厶…厶中至多有4个偶数.因此据抽屉原理知在-勺宀-优,…®-爲中至少有一个是奇数减去奇数，即至少有一个是偶数，从而（。
1-勺）@2-优）…（為-E）必为偶数.
例6任给加+1个自然数，试证：
至少有两个数的差是加的倍数.
解分析：
差是m的倍数（即能被m整除）的两个口然数其除以m所得的余数必相等.
（1）将m+1个自然数同除以m,则余数可能为0、1、2、…、m-1计m个；
（2）按余数制造m个不同的抽屉；
（3）将m+1个自然数按余数人小放入对应的抽屉中，则由抽屉原理知，至少有一个抽屉放有至少两个数，其中任意两个的差均为m的倍数.
结论：
至少有两个数的差是m的倍数.
例7在料个人参加的一次宴会上，已知没有人认识所有的人•试证明至少有两个人，他们认识的人数和等？
证由于没有人认识所有的人，因此每个人所认识的人数应在02之间，可做0、1、…、—2共计”_i个笼子，将“个人各自
所认识的人数对应放入笼中，则至少有一个笼子放有两个数，即他们认识的人数相等.
练习题：
新学年开学，某班有40名新同学，如果每位同学至少认识一位同学，试证至少有两位同学所认识的人数相同.
解：
由于每位同学至少认识一位同学，所以他认识的人数在1〜39Z间.制造1、2、一、39共计39个笼子，将每位同学认识的人数对号入笼，由鸽笼原理可知，至少有两位同学所认识的人数相同.
二、微分方程模型
1.液体的浓度稀释问题
例1某游泳馆即将开业，为使池水达到卫纶要求且不影响正常开业，需人工清洁池水，即排放一些浑浊的池水，同时注入等量的净水.假设泳池长50m,宽30m,平均水深1.2m,在池水浑浊度为0.0012kg/m3时开始以速度Vm3/min排水.
（1）试建立池水净化的数学模型；
（2）如果要在2h内使浑浊度降到0.0006kg/m3,求排水速度-解假设池水的浑浊度是均匀的，注入净水后，立刻混合均匀.
（1）池水容量为V=50x30xl.2=1800m3.设y（r）表示/吋刻池水中混浊物的量（kg）,则有y（0）=0.00127=2.16^.
任取[门+d],则有
y（r+Ar）-y（r）——•vAr,
这里卩为排水速度（m"/min）
两边同时除以并令&t（）,得一阶微分方程模型
dy_v_v
＜方—厂一命
y（O）=2.16.
求解得
y（f）=2」6w1800•
（2）要在2h（120min）内降为0.0006kg/m3,即
y（120）=0.0006V=1.08（^）,以之代入上面的解中，有
--・120
1.08=21800,
解得排水速度为
v=151n2（m3/min）.
2.凶杀作案时间的推断问题
例2某天深夜23:
30,在一住宅内发现一受害者的尸体.刑侦人员和法医接到报案于当夜23:
40赶到事发现场后，立刻测量死者的体温为31°C；lh后再次测量死者体温为29.5°C・法医还注意到当时室内温度为26七・若假定室内温度在晚上和深夜为恒温,试估计受害者死亡的时间.（提示：
运用Newton冷却定律——物体在空气屮的冷却
速度与该物体温度及空气温度之差成正比）
解记7；为时刻f受害者的休温，几为初始时刻山受害者被害时的
体温，7；为室内温度，则由Newton冷却定律可得一阶线性微分方程模型
对其采用分离变量法求解，利用在时刻斤死者的体温7；,可得
现在7；=37（°C）,7；=26（°C）,当/=23:
40时7；二31（°C）,当
=24:
40时7；=29.5（°C）,以之代入上式，得
23:
4O-ro=
（24:
4023:
40+23:
40r0）ln37-26J0731-26
'|37-26
In
29.5-26
于是
23:
40-洽129,
所以
*严23:
40—129=21:
31.
结果表明，这一凶杀案致受害者死亡的案发时间大约在当天
22:
59左右.
练习题：
将温度为300°C的一物体放入温度为24£的空气中冷却经20min后，物体的温度降至150°C,建立温度变化的数学模型,并求40min时该物体的温度.
3.运动轨迹问题
例3现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的止西方向100m处•假设兔子与狼同时发现对方并同时起跑，兔子往正北60m处的巢穴跑,而狼在追兔子.已知兔子和狼都是匀速跑且狼的速度是兔子速度的两倍.
（1）求狼的追赶足迹；
（2）问兔子能否安全回到巢穴？
解以兔子的初始位置为原点，东西向为兀轴，南北向y轴，如图
建立平面直角坐标系，则狼的初始位置为A（c,0）,>c=100.兔巢
的位置为B（0,60）•记兔的速度为a,则狼的速度为b=2a・
（1）设狼的追踪曲线为y=f（x）,t时刻兔子跑至D（0,m）,狼追至P（x,y），则有
dx切（）_J
即
y-xy9=at.
乂由于用时相等，弧4P的长度•吋间，OD=a・吋间，即
OD
a
亦即有
故
对其求导化简即得微分方程模型
\bxyn=aJl+）",0[y（c）=0，V（c）=0
因此狼的追踪轨迹为
aa
Ch1+7C，
XbXb-a
（2）令x=0得—>60,即为兔子被捕捉前跑的距离，因此
3
兔子可以安全回到巢穴.
例4一条长为/的均匀链条挂在一个光滑的钉子上，一端长为G
另一端长为b,这里a+b=l,a>b・
（1）试建立链条下滑的数学模型；
（2）对心l&°=10,b=8的情形研究链条滑过钉子的长度与时间、速度与加速度的关系，并计算滑脱钉子所用时间•
解以钉子为原点，链条所悬方向为S轴建立坐标系，如图所示.
（1）设t时刻下滑s（t）米，则链条在下滑过程中的合力为
[a+5（r）-（/?
-5（r））]pg=[2^（0+（«-/?
）]pg,其屮。
为链条线密度，g为重力加速度.
根据牛顿第二定律得到
cl2s
（a+b）p—=（2$a）+d-b）pg
dr,
于是，链条下滑的数学模型为
d2s2s+a-bf.
=:
g，l=a+h
$（0）=0,5（0）=0
这是一个二阶常微分方程初值问题的数学模型.
（2）对心18,°二10,b=8有
5（0）=5Z（0）=0
求解这个初值问题得到下滑长度S与吋间t的关系为
S⑴显e孕+4*—1
22
从而下滑速度为
v（r）=5z（0
下滑加速度为:
为求得链条滑脱钉子所用的时间，需解方程
z2-18z+1=0,
解得
Z=9±4yf5.
注意到当/〉0时，z>l,而z=9-4a/5从而得
以g=9.8（加/$2）代入，算得
川2.77（$）,
表明链条滑脱钉子所用时间约为2.77s.
四.运筹与优化模型
1•非线性规划模型
例1某厂生产一种混合物，它有原料A和B组成，估计生产函数为
/（兀］,兀2）=3.6兀］一（）.4兀］2+1.6兀2-0.2x22,
其屮州和兀2分别为原料A和B的使用量（t）.该厂拥有资金5万元,
A种原料每t的单价为1万元,B种为5千元.试建立生产量最大化
的数学模型，并求解.
解使生产量最大的数学模型为
max/（x1,x2）=3.6x1-0.4^,2+1.6x2-0.2x22,
其中…兀2满足西+0.5兀2=5.这是一个条件极值问题，可采用拉格朗日乘子法求解.
2.动态规划问题
例2有一艘远洋货轮计划在A港装货后驶往F港，中途需靠港添加
之间的距离如图所示，试运用动态规划方法求最合理的停靠港口的方案，以使航程最短.
解这是离散化的动态规划问题.先引入一下记号：
（1）R表示阶段变量，此处R=1,2,3,4,5;
（2）状态（变量）一一表示各阶段港口，丑表示第R个阶段所处的港口；
（3）决策（变量）表示从某阶段的一个港口出发所选择的路
径，讥》）表示从第£阶段的状态*出发所做的决策，用叩》）表示第k
阶段状态为归时允许决策集合;
（4）状态转移方程一一和邻两个阶段状态Z间的关系：
用如"伍,心表示从第邛介段的状态做出绰决策Z后，必然会到达卜一阶段的某一确立状态％+1;
（5）策略——表示从第一阶段到终点的决策全体，用
PkM=｛濟（»）上如（耳+】），…，11n）.
表示，当比=1时称为全局策略；
（6）阶段指标与指标函数：
用心仇宀）表示阶段指标，这里指执行决策你伍）路过的航程；f,（s,）表示后部最优指标函数，这里指后部最短航程.
采用逆推法，即可建立动态规划模型
{dk（必，做）+Ah（绰（$J）}k=5,4,3,2,1,
f6（X6）=a
下面对其求解:
当"5时，有
厶（即=10,/5（£2）=7,厶（耳）=5.
▲0=min{4+8}=12,w3（C2）=D2;
/3（C3）=min?
^U12,
当"2时，有
3+14
f2（B）=min«2+12»=14,u2（）=C2;
6+12
所以最短航程为19,最短路径为
A—>£?
|—>Co—»D-）—>E>—>F,A—>艮—>C,—»D。
—>—>F.
例3某工厂向客户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是:
第一季末交40台，第二季末交60台，第三季末交80台.工厂的最
大生产能力为每季100台，每季的生产费用函数为f（x）=5Qx+0.2x2
（元），此处兀为该季生产发动机的台数.若工厂生产的多，多余的发动机可移到下季向客户交货，这样工厂需支付每台每季4元的存贮费.
问该厂每季应生产多少台发动机，才能既满足合同要求，又使工厂所花费用最少（假定第一季初发动机无存货）？
解这是一个三阶段的连续化动态规划问题.
记务表示第邛介段（季度）末的交货量（"1,2,3）•设无为状态变量，表示第R阶段（季度）之初拥有的发动机台数，协为决策变量,表示第丘阶段实际生产的发动机台数，则有关系式仏严耳+绰-务・又
记人（忑）为从第R阶段到第三阶段末的最小费用.现用逆推法求解.
扎（兀3）=min|50w3+0.2u/+4七｝，
由题意得，兀］=0・
80-x3显然<=80-x3时，厶（心）有最小值
厶（七）=50（80_®）+0.2（80-耳『+4x3=5280-78x3+0.2x32.
/2（x2）=min|50w2+0.2w22+4x2-i-5280-78（x2+w2-60）
+0.2（兀2+z仃-60）｝,
记g（«2）=50“2+0.2w22+4吃+5280-78（吃+w2-60）+0.2（x2+u2-60）2,
对“2求导，有
gj（比2）=50+0・4比2-78+0.4（兀2+“2一60）=0・8“2+0.4x2-52,
52-04x
u*==65-0.5兀2，
-0.82
注意到叮〉60-勺，故在叮处有最小值为
/2（勺）=50（65—0.5兀2）+0.2（65—0.5x2）2+4x2+5280-78（0.5x2+5）
+0.2（0.5x2+5）2
=0.U22-72x2+8990,兀］=0
扎（兀J=斗㈣°。
{50%+02『+0.1（〃厂40）2_72（络一40）+8990},
再记
/?
（«,）=50h,+02『+0.1（屿一40）2一72（旳一40）+8990,
对玛求导,并令町仙）=0,得
50+0.4“]+0.2（%-40）-72=0,
解得才=50,此时最小费用为
/；（%,）=5（）x5（）+0.2x5（）2+0.1x1（）2-72x10+8990=11280（元）.
代入叮，叮，可,可得最优决策为
Xj=0,
X2=109
W]*=50,°]=40;
—60ya2=60;
禺TO，
w3*=70fa3=80;
兀4=0•
五、
随机性模型
例1
某超市要订购一批某种商品零售，设订购费为c°元（与订购数量
无关），每件商品进价为G元，每件商品出价为C2元，每件商品的贮存费为G元（与贮存时间无关）•乂设随机需求量歹的概率密度函数为
f/（x）,兀〉0,
pM=<
[0,x<0.
L试通过建立随机数学模型来确定使得商品
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