数学建模习题课docx.docx

1、数学建模习题课docx习题课一、初等模型与常用的建模方法1.奇偶校验法例1在如图所示的4x4方格纸上己填写1, 9, 8, 6四个数字, 问能否在余下的方格内各填入一整数，使得方格区上的每一行每一列 都构成等差数列？解 考察左下角格屮所填之数，设为卩，由于所填方格屮都为整数，且该列常專等羞卜网的奇偶性相同渤奇数该行專霭等差卜対的奇偶性相同帥偶数这就产生了矛盾的结果，故所要求的填法不存在.例2利用奇偶校验法证明，空间中不存在“有奇数个面，且每个面又都有奇数条边的多面体”证 用反证法.假设存在具有题设性质的多面体，它有加个面数, 各个面分别有,斤2,心条边，这里加，厲宀，均为奇数，从而 n = n

2、1 + n2 + nm必为奇数.另一方面，在多面体中，每两个相邻的面都有一条公共边，即多面休的棱，而且每一条棱又都为两个面所共有，因此在求得时，每 一条棱都被重复地计算了一次，所以X+2+心又应为偶数，于 是产生了矛盾故由奇偶校验法知根本不存在具有奇数个面，且每个 面乂都有奇数条棱的多面体.例3已知多项式F+处2+CX + d的系数都是整数，且加+Cd为奇 数.证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.证用反证法.假设满足条件“加+cd为奇数”的多项式F+W+c + d能分解为 两个整系数多项式的乘积，则必有F+b 2址cx + d =(兀 + )(兀2+ p 伙g),其中a,b,c,d

3、,p,q都是整数.令x = 0代入上式，得d = aq ; ( 1 )令“1代入上式，得l + b + c + d = (l + d)(l + p + g) (2)由条件“ bd + cd = (b + c)d为奇数”知b + c与d必皆为奇数，进而 知(2)式左端1+D + C + d为奇数.另一方面，由(1)及d为奇数立知,g必为奇数，因而(2)右端 (l+d)(l + ” + q)为偶数,于是产生了矛盾.因此由奇偶校验法知满足条 件“bd+cd为奇数”的多项式X+W+s + d不能分解为两个整系数多 项式的乘积.2.分析法建模例4将四条腿长相等的长方形桌子放在起伏不平的地面上，如 果地血

4、是数学上的光滑曲面，问怎样才能将桌子放平稳?解 假定椅子中心不动，四条腿的着地点A,B,C,D如图建立坐标 系.将椅子如图旋转到n.所谓着地，就是椅子与地面的距离 等于零.由于椅子位置不同，椅脚与地面距离不同，因而这个距离为 &的函数，记/(&)= “ AB两脚与地面距离之和”，g(0)= “ C,D两脚与地面距离之和”因地面光滑,/(&)与g()连续；乂椅子在任何位置总有三条腿同吋 “着地”,故0eOf与g(&)至少有一个为0,从而.f(&)g(e)= o, 可0,刃.不妨设g(0) = 0, /(0)0,于是问题抽象成如下的数学问题：假设/(&)与g()是&的连续函数，g(0) = 0,

5、/(0)0,且/(0)g(&) = O,牡0卯,求证存在%wo,刃，使得/G)= g(%)= o.证 令力(0) = /(&) g(&),则 /7(0) = /(0)-g(0)0.将椅子旋转G即将AB与CD互换，由g(0) = 0, /(0) 0知于3)= 0, gS)0,所以/?(龙)=f() 一 g(龙)=_g (兀) 0.由于h(6在0,7T上连续，且/7(0)/7() 61 xy yz zx = 6(粧尸=6V03 = 6#研，因此当该长方体为正方体，即长、宽、高之比为1：1：1吋，表面积达最小，其值为s,” = S （何，何，何）=6（耐 =6氏.2.中学数学几何法建模例3设P为三角

6、形AABC中的任意一点.现有一把有刻度的直尺, 问最少要用几次可测出三角形MBC与PBC的而积之比？如何测 得？解 至少要用一次即可.连接AP延长交BC于用直尺量出AM与PM的长度，即可测 得S/ABC _ AMS 型 bc PM3.抽屉原理法建模例4从一副扑克牌（52张）屮最多抽出多少张，就能确保有6 张同花的牌？（分析：一副扑克牌中有54张牌，这里的52张牌是去 掉了大小王后剩下的牌，每种花色各有13张牌）解 从最不利的情形去考虑.假设现有20张扑克牌，四种花色各 占5张，因此再抽一张就能确保有6张扑克牌花色相同，故最多抽出 21张牌就能确保有6张同花色的牌.例5已知9个自然数“勺，将它们

7、重新排列后得到勺厶,证明-勺）仏-切仏-）必为偶数.（分析:9个自然数,应 该是9奇，8奇1偶，7奇2偶，6奇3偶，5奇4偶，4奇5偶，3 奇6偶，2奇7偶，1奇8偶，9偶中的一种情形，可见9个自然数 中至少有5个数的奇偶性相同）证易知9个自然数中至少有5个数的奇偶性相同.不妨设心中至少有5个奇数，那么在4中的偶数个数就至多 为4个，于是在勺厶厶中至多有4个偶数.因此据抽屉原理知在 -勺宀-优, -爲中至少有一个是奇数减去奇数，即至少有一个是 偶数，从而（。1-勺）2-优）（為-E）必为偶数.例6任给加+ 1个自然数，试证：至少有两个数的差是加的倍数.解 分析：差是m的倍数（即能被m整除）的两

8、个口然数其除以 m所得的余数必相等.（1） 将m+1个自然数同除以m,则余数可能为0、1、2、m-1 计m个；（2） 按余数制造m个不同的抽屉；（3） 将m+1个自然数按余数人小放入对应的抽屉中，则由抽屉原 理知，至少有一个抽屉放有至少两个数，其中任意两个的差均为m 的倍数.结论：至少有两个数的差是m的倍数.例7在料个人参加的一次宴会上，已知没有人认识所有的人试 证明至少有两个人，他们认识的人数和等？证 由于没有人认识所有的人，因此每个人所认识的人数应在 0 2之间，可做0、1、2共计”_i个笼子，将“个人各自所认识的人数对应放入笼中，则至少有一个笼子放有两个数，即他们 认识的人数相等.练习题

9、：新学年开学，某班有40名新同学，如果每位同学至少 认识一位同学，试证至少有两位同学所认识的人数相同.解：由于每位同学至少认识一位同学，所以他认识的人数在139 Z间.制造1、2、一、39共计39个笼子，将每位同学认识的人数对 号入笼，由鸽笼原理可知，至少有两位同学所认识的人数相同.二、微分方程模型1.液体的浓度稀释问题例1某游泳馆即将开业，为使池水达到卫纶要求且不影响正常 开业，需人工清洁池水，即排放一些浑浊的池水，同时注入等量的净 水.假设泳池长50m,宽30m,平均水深1.2m,在池水浑浊度为 0.0012kg/m 3时开始以速度Vm 3 /min排水.(1)试建立池水净化的数学模型；(

10、2)如果要在2h内使浑浊度降到0.0006kg/m 3 ,求排水速度- 解 假设池水的浑浊度是均匀的，注入净水后，立刻混合均匀.(1 )池水容量为V=50x30xl.2 = 1800m3 .设y(r)表示/吋刻池水中 混浊物的量(kg),则有 y(0) = 0.00127 = 2.16 .任取门 + d,则有y(r + Ar)-y(r) vAr,这里卩为排水速度(m/min)两边同时除以并令&t(),得一阶微分方程模型dy _ v _ v方厂一命y(O)= 2.16.求解得y(f) = 26w 1800 (2)要在 2h (120min)内降为 0.0006 kg/m 3 ,即y(120) =

11、 0.0006V = 1.08(), 以之代入上面的解中，有-1201.08 = 21800 ,解得排水速度为v = 151n2 (m 3 /min).2.凶杀作案时间的推断问题例2某天深夜23:30,在一住宅内发现一受害者的尸体.刑侦人 员和法医接到报案于当夜23:40赶到事发现场后，立刻测量死者的体 温为31C； lh后再次测量死者体温为29.5C法医还注意到当时室 内温度为26七若假定室内温度在晚上和深夜为恒温,试估计受害者 死亡的时间.(提示：运用Newton冷却定律物体在空气屮的冷却速度与该物体温度及空气温度之差成正比)解 记7；为时刻f受害者的休温，几为初始时刻山受害者被害时的体温

12、，7；为室内温度，则由Newton冷却定律可得一阶线性微分方程 模型对其采用分离变量法求解，利用在时刻斤死者的体温7；,可得现在 7； =37 (C ), 7； =26 (C),当 / =23:40 时 7；二 31 (C),当=24:40时7； =29.5 (C ),以之代入上式，得23:4O-ro =(24:40 23:40 + 23:40 r0)ln37-26 J 07 31-26 | 37-26In 29.5-26于是23:40-洽129,所以*严23:40 129 = 21:31.结果表明，这一凶杀案致受害者死亡的案发时间大约在当天22:59左右.练习题：将温度为300C的一物体放入

13、温度为24 的空气中冷 却 经20 min后，物体的温度降至150C,建立温度变化的数学模型, 并求40 min时该物体的温度.3.运动轨迹问题例3现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的止西方向100m处假 设兔子与狼同时发现对方并同时起跑，兔子往正北60m处的巢穴跑, 而狼在追兔子.已知兔子和狼都是匀速跑且狼的速度是兔子速度的 两倍.(1)求狼的追赶足迹；(2)问兔子能否安全回到巢穴？解 以兔子的初始位置为原点，东西向为兀轴，南北向y轴，如图建立平面直角坐标系，则狼的初始位置为A(c,0), c = 100.兔巢的位置为B (0,60) 记兔的速度为a,则狼的速度为b = 2a(1)设狼的追踪曲

14、线为y = f (x), t时刻兔子跑至D(0,m),狼追 至P(x,y)，则有dx 切()_ J即y-xy9 = at.乂由于用时相等，弧4P的长度吋间，OD=a吋间，即ODa亦即有故对其求导化简即得微分方程模型bxyn = aJl +),0 x60,即为兔子被捕捉前跑的距离，因此3兔子可以安全回到巢穴.例4 一条长为/的均匀链条挂在一个光滑的钉子上，一端长为G另一端长为b,这里a + b = l, ab(1)试建立链条下滑的数学模型；(2)对心l& = 10,b = 8的情形研究链条滑过钉子的长度与时间、 速度与加速度的关系，并计算滑脱钉子所用时间解以钉子为原点，链条所悬方向为S轴建立坐标

15、系，如图所示.(1)设t时刻下滑s(t)米，则链条在下滑过程中的合力为a + 5(r) - (/? - 5(r)pg = 2(0 + (-/?) pg , 其屮。为链条线密度，g为重力加速度.根据牛顿第二定律得到cl2s(a + b)p = (2$a)+ d - b)pgdr ,于是，链条下滑的数学模型为d2s 2s + a-b f .= : g，l = a + hl,而z = 9 - 4a/5 ?| Co D-) E F , A 艮 C, D。 F .例3某工厂向客户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是: 第一季末交40台，第二季末交60台，第三季末交80台.工厂的最大生产能力为每季1

16、00台，每季的生产费用函数为f（x） = 5Qx + 0.2x2（元），此处兀为该季生产发动机的台数.若工厂生产的多，多余的发 动机可移到下季向客户交货，这样工厂需支付每台每季4元的存贮费.问该厂每季应生产多少台发动机，才能既满足合同要求，又使工厂所 花费用最少（假定第一季初发动机无存货）？解这是一个三阶段的连续化动态规划问题.记务表示第邛介段（季度）末的交货量（1,2,3）设无为状态 变量，表示第R阶段（季度）之初拥有的发动机台数，协为决策变量, 表示第丘阶段实际生产的发动机台数，则有关系式仏严耳+绰-务又记人（忑）为从第R阶段到第三阶段末的最小费用.现用逆推法求解.扎（兀3） = min

17、|50w3 + 0.2u/ + 4七，由题意得，兀=080-x3w3100显然=80-x3时，厶（心）有最小值厶（七）=50（80 _ ） + 0.2 （80 - 耳+ 4x3 = 5280 -78x3 + 0.2x32./2（x2）= min |50w2 +0.2w22 +4x2 -i-5280-78（x2 +w2 -60）+0.2 （兀2 + z仃-60）,记 g（2）= 50“2 +0.2w22 +4吃 +5280-78（吃 +w2 -60） + 0.2（x2 +u2 -60）2,对“2求导，有gj （比2） = 50 + 04比2-78 + 0.4（兀2 +“2 一60） = 08“2

18、 +0.4x2 -52 ,52-0 4xu * = = 65- 0.5兀2，- 0.8 2注意到叮60-勺，故在叮处有最小值为/2 （勺）=50（65 0.5 兀2） + 0.2 （65 0.5x2）2 + 4x2 + 5280 - 78（0.5x2 + 5）+0.2（0.5x2+5）2=0. U22 - 72x2 + 8990 ,兀=0扎（兀J =斗。50% +02+0.1（厂 40）2 _72（络一40） + 8990,再记/?（, ） = 50h, + 02+ 0.1 （屿一 40）2 一72（旳一40） + 8990 ,对玛求导,并令町仙) = 0,得50 + 0.4“ +0.2(%

19、-40)-72 = 0,解得才=50,此时最小费用为/； (%,) = 5()x5() + 0.2x5()2 + 0.1 x 1 ()2 -72x 10 + 8990 = 11280 (元).代入叮，叮，可,可得最优决策为Xj = 0 ,X2 =10 9W* = 50 , = 40 ; 60 y a2 =60;禺TO，w3* = 70 f a3 = 80 ;兀4 = 0 五、随机性模型例1某超市要订购一批某种商品零售，设订购费为c元（与订购数量无关），每件商品进价为G元，每件商品出价为C2元，每件商品的贮存 费为G元（与贮存时间无关）乂设随机需求量歹的概率密度函数为f/（x）,兀0,pM = 0, x0.L试通过建立随机数学模型来确定使得商品