n—递减指数。
它是用于判断递减类型，确定递减规律的重要参数。
当线递减。
n愈小递减得愈快。
将（4-3）式改写为下式:
（4-6）
由（4-1）式与（4-4）式相等，并分离变量取积分:
对（4-5）式进行积分后得，Arps的双曲线递减规律的表达式为:
当n=1时，由（4-6）式得，Arps的调和递减规律的表达式为:
e=（T^7）
（4-7）
当n=0时，由（4-4）式可以看出，D=Di。
此时（4-6）式的分母可写为如下的极限关系式:
（4-9）
将（4-8）式的结果代入（4-6）式得，Arps的指数递减规律的表达式为:
由（4-6）式、（4-7）式和（4-9）式，可分别得到递减阶段的生产时间的表达式:
式中的Np为油田递减阶段的累积产量，以10t或10m表示；气田递减阶段的累积产量符号为Gp以10m表示；E为考虑到生产时间t的单位与产
量Q的时间单位的不一致时的换算系数（见表4-1）。
表4-1E值与t和Q的单位关系
t的单位
Q的单位
E值
t的单位
Q的单位
E值
m/d
m/月
天
1
月
1
月
m/d
30.5
年
m/月
12
年
365
年
1
m/d
m/年
将（4-6）式、（4-7）式和（4-9）式，分别代入（4-13）式，可以得到Arps三种递减类型的累积产量表达式。
双曲线递减类型的累积产量为:
将（4-6）式改写为下式:
=（l+nD£tylfH
（4-17）
由（4-3）式与（4-17）式相等，可以得到在递减阶段不同生产时间的瞬时递减率D,与初始瞬时递减率Di的关系式如下:
综合上述可知，双曲线递减是最有代表性的递减类型。
指数递减和调和递减是当n=R和n=1时的两个特定的递减类型。
从整体对比来说，指数递
减类型的产量递减得最快；其次是双曲线递减类型；产量递减最慢的是调和递减类型。
在递减阶段的初期，三种递减类型比较接近，因而常用比较简单的指数递减类型研究实际问题。
在递减阶段的中期，一般符合于双曲线递减类型，而在递减阶段的后期，一般符合于调和递减类型。
然而，应当指出，油、气田或油、气井的递减类型，决不是一成不变的，它会受到自然与人为因素的影响，而引起递减类型的转化。
因此，油藏工程师应当根据递减阶段的实际资料，对最佳的递减类型作出可靠的判断，以便有效地用于未来年产量和可采储量的预测。
为进行年度之间产量递减的对比与分析，在实际工作中，常常用到月平均日产量以得到下式：
）和平均递减率（
的概念。
当取△t=1月时，由（4-1）式可
式中:
—平均递减率，又称为有效递减率，月
（4-19）
-1
—第j-i
月的平均产量,
m/d，或10m/d;
—第j月的平均产量，m/d，或10m/d。
将（4-19）式改写为下式:
Qj二3（1—D）
（4-20）
当j=I时,
（4-21）
当j=2时,
Q2=Qi（l-D）=Q0（l-Df
（4-22）
当j=3时,
05=22（1-£*）=01（1-万）P—D）二0°（1—Df
（4-23）
当j=12时,
012二00（1—。
尸
（4-24）
当j=n时,
（4-25）
式中的
0为基准平均日产量，它是进行产量递减对比的基础。
比如，可以把它看作为去年
12月份的平均日产量，与今年
12月份的平均日产量进行对
比分析（见图4-4）。
（PA30S0
1234567
t（Mon）
图4-4基准产量、平均产量与瞬时产量的关系图
Wp=01+02十03十…+011
累积产量可由下式表示:
（4-26）
（4-27）
将（4-21）式至（4-24）式代入（4-26）式得:
^=go（l-P）+go（l-D）2+0o（l_DF+…十00（1_方尸
（4-28）
NpQ—D）=0o（l—+0o（l-功口0o（i—"）4+…十0o（l-^）ft+1
（4-30）
将（4-21）式代入（4-29）式得:
Q0（l-D）-Qn（l-D）
（4-31）
考虑到（4-21）式和（4-25）式，（4-30）式又可写为:
由（4-31）式可得，平均产量与累积产量的关系式为:
Qn=Q»-Np
（4-32）
由（4-32）式可以看出，对于以平均产量表示的常数百分递减（匾
=常数），平均产量与累积产量呈直线变化关系（见图4-5）。
将（4-9）式的等号两端取常用对数后得:
（4-33）式中
—log©
（4-34）
fi=l/2,303D
（4-35）
当令n=t并将（4-25）式的等号两端取常用对数后得:
log2/=«-）5/
（4-36）式中I
1（4-37）
—D）
（4-38）
（见图4-6），因此，对于指数
由（4-33）式和（4-36）式可以看出，无论是用瞬时产量或是平均产量表示的指数递减，产量与时间均呈半对数直线关系递减，人们又通常称为半对数递减。
012345678910
图4-5平均产量与累积产量的直线变化关系
图4-6半对数递减的直线关系图
.年递减率与月递减率的关系
在利用矿场实际产量数据，进行递减分析工作中，如果时间
t的单位为年（a），无论产量的时间单位是日（d）或是月（mon），则由指数递减分析法所确
t的单位为年
定的递减率D,其单位均为年的倒数（a）。
那么，年递减率Da与月递减率Dm有何互换关系呢？
对于以瞬时产量表示的指数递减，当时间
⑻时，一年年底12月份的产量，由（4-9）式可表示为:
Qu
Qi
（4-39）
式中：
Q12第12月份的瞬时产量，10m/月;
Da—年递减率，年或％/月。
式中：
Dn—月递减率，月或％/月。
同理，对以平均产量表示的指数递减，由（4-25）式可写出如下两式:
斜5
（4-42）
（4-43）
由（4-42）式除以（4-43）式得月递减率与年递减率的关系式为:
（4-44）
递减类型的对比与判断
.递减类型的对比
以Arps的三种递减类型为例，在表4-2中以对比方式列出了它们的主要关系式。
由表4-2看出，Arps的三种递减类型，除双曲线递减外，都具有
某些线性关系。
例如指数递减类型的产量与时间呈半对数直线关系；产量与累积产量呈普通的直线关系。
再如，调和递减的产量和累积产量呈半对数直线关系；产量的倒数与时间的例数呈普通直线关系。
上述存在的线性关系，是利用矿场实际递减数据，进行递减类型判断的重要依据。
表4-2三种递减类型对比表
递减
类型
指数递减
双曲线递减
调和递减
递减
指数
n=0
0vnv1
n=1
递减
率
D=Di=常数
D=Di（1+nDit）
D=Di（1+Dit）
产量
与时
间
■
■
0=2（1十ZW尸
ioge=iogc-^
产量
与累
积产
量
log2=108Qi~2.303EQiNp
二.递减类型的判断方法
当油、气田或油、气井进入递减阶段之后，需要根据已经取得的生产数据，采用不同的方法，判断其所属的递减类型，确定其递减参数（D、Di和n）,
建立其相关经验公式，方能进行未来的产量预测。
为了判断递减类型，目前经常采用的方法有，图解法、试凑法、曲线位移法、典型曲线拟合法和二元回归法等。
所有这些方法的应用，都需建立在线性关系的基础上。
以线性关系存在与否，和线性关系的相关系数大小，作为判断递减类型的主要标志。
1.图解法
图解法，就是将实际生产数据，按照表4-2所列的指数递减和调和递减的线性关系，画在相应的坐标纸上，若能得到一条直线，就表明它符合于哪
一种递减类型。
反之，若不成直线，它必然属于其他的递减类型。
例如，经常是首先将产量和相应的生产时间，画在半对数坐标纸上，如果得到的是一条直线，那就是指数递减（见图4-6）。
当不是直线而是曲线时，说明它不属于指数递减。
此时，可将产量与累积产量数据，画在半对数坐标纸上，看是否能成为直线。
如果是一条直线，它必然是调和递减类型（见图4-7）。
如果它不是直线而是曲线，那么肯定是双曲线递减类型。
指数递减的半对数直线关系可写为：
.log0二a—£>/|||5|
式中
，或
（4-46）
b=D/2.3031D=2.3P3S
（4-47）
调和递减的半对数直线关系可写为：
（log（?
=盘一方
当由图解法判定递减类型之后，需要利用线性回归法，确定直线的截距、斜率和相关系数，并由直线的截距和斜率确定Qi、D或Di的数值。
此时,
即可建立实用的相关经验公式。
2.试凑法
试凑法又称为试差法，它是处理矿场资料常用的一种方法。
当用图解法已经确认不是指数递减时，即可采用此法，以判断到底是双曲线递减或是调和递减。
当然，两者的主要判断指标就是递减指数n的大小。
当n=1时为调和递减，否则就是双曲线递减。
应用试凑法的主要关系式为：
n
—1+nDii
（4-51）
若设：
（4-52）
（4-53）则得:
（4-54）
所谓试凑法，就是根据实际生产的Qi和Q值和相应的t值，给定不同的n值，计算（Qi/Q）的不同数值。
然后，将（Qi/Q）与t的对应数值，画在
n值比
直角坐标纸上，能成一条直线的n值，就是所求的正确n值。
如果给定的n值比正确的n值偏小，则是一条向下弯曲的曲线；反之，如果给定的
正确的n值偏大，则是一条向上弯曲的曲线（见图4-8），这就是试凑法的实质。
n=1,
当由试凑法得到一条最佳直线，并确定n值之后，即可利用线性回归法求得该直线的截距和斜率，并由（4-53）式计算Di的数值。
当然，如果
那自然属于调和递减。
3.曲线位移法
4.
所谓曲线位移法，就是将画在双对数坐标纸上成曲线的产量与生产时间图，由左向右位移某一合适的距离，使其成为一条直线的方法。
其原理为,将（4-6）式取常用对数后得：
由（4-56）式可以看出，某一正确的C值，可以使Q与（t+C）的对应数值，在双对数坐标纸上得到一条直线。
当给定的C值比正确的C值偏小时，所得
到的仍是一条向右弯曲的曲线；反之，如果给定的C值比正确的C值偏大时，则是一条向左弯曲的曲线（见图4-9）。
当经过曲线的位移，得到一条直线
之后，仍然按照（4-56）式进行线性回归，求得直线的截距和斜率，并由此确定Qi、n和Di的数值，以满足建立相关经验公式的需要。
基于上述的求解方
法，人们有时又将双曲线递减，称为双对数递减。
5.典型曲线拟合法
将Arps的三种递减类型的产量公式，改写为如下的无量纲形式:
利用（4-60）式至（4-61）式，当给定不同的n值和Dit值时，可以计算出不同的产量比（Qi/Q）。
然后，将不同n值下的Qi/Q与Dit的对应值，画在双
对数坐标纸上，即可得到理论的典型曲线图（见图4-10）。
n
0010250330.40509901670831-0“
98
7
6
5
LLJ1
图4-10典型曲线图
2345&78910
若将递减阶段的产量比Qi/Q与相应的生产时间，画在与典型曲线比例尺相同，并放在典型曲线图上的透明纸上。
然后，在保持画有数据点的透明纸
图的坐标，与其典型曲线图的坐标完全重合的条件下，水平向右滑动透明纸图，使透明纸图上的数据点，能与某一条典型曲线达到最拟佳合为止。
在达到最佳拟合之后，可在典型曲线图上直接读得用以判断递减类型的n值，并可在取任一个Qi/Q值的条件下，在典型曲线图的纵坐标上作一水平线，交于
最佳拟合的那条典型曲线之后，再往下作垂线，交于典型曲线图的横坐标上得Dit的数值。
最后，再将已得到的Dit值除以与Qi/Q值相应的t值，即得
Di值。
6.二元回归求解法
7.
n值、Di值和Qi值，因而，避免了上述
二元回归求解法，是将双曲线递减的累积产量公式化为二元回归方程。
通过二元回归分析，可以一次求得的试凑法、曲线位移法和典型曲线拟合法，可能存在的多解性问题。
将（4-14）式改写为下式:
将（4-6）式改写为下式：
根据递减阶段实际的生产数据，在由（4-70）式进行二元回归分析后，可以得到常系数
F面各式，确定Qi、Di和n的数值：
（4-71）
aO、al和a2的数值。
然后，再由（4-66）式至（4-68）式所得的
应当指出，判断递减类型和确定递减参数的上述各种方法,
都可编制专门的计算程序，在不同的微机上运算，以求达到咼效率和咼精确度的计算目的。
确定可米储量的广义递减类型
根据油气田的实际开发经验，不同储集类型和驱动类型的油气田，就其它们的产量随开发时间的全过程而言，都可以利用图4-1中六种开发模式之
一来表示，但无论哪种开发模式，都存在着重要的产量递减阶段。
在图4-11上绘出了对于注水开发油田具有代表性的三阶段开发模式示意图，即产量上
升阶段、产量稳定阶段和产量递减阶段。
在该图上，以开始进入递减阶段的时间to为界限，将油田开发的全程划分为两大区间。
在to以前的区间包括
产量上升阶段和产量稳定阶段，该区间已经发生的累积产量以Npo表示；在to时间之后为产量递减区间，它包括已经发生的递减部分的累积产量Npl和
尚未发生的递减部分的累积产量Np2两部分（见图4-11），整个递减区间的累积产量以Np表示。
因此，油田开发到未来的t时间的总累积产量和递减阶
段的累积产量分别表示为：
式中：
Npt—
生产到t时间的总累积产量，10m;
Npo—
to时间以前的累积产量，10m；
Np—
自to时间起递减阶段的累积产量，10m；
Np1—
递减阶段已发生的累积产量，
10m；
Np2—
递减阶段未发生的累积产量，10m；
Q—
生产到t时间的年产量，10
m/年；
t—
自油田投产计时的生产时间，年。
图4-11注水开发油田的开发模式
示为
=Qdt=Npl+弘迪吐）
（4-77）
Npmax—减阶段的最大累积产量，10m；
Np2（max）—递减阶段未来发生的最大累积产量，10m。
油田生产到t时间的剩余可采储量，由上式可得:
NRR=N只一Np0—Np\—Np2（max）
（4-78）
.广义递减类型的建立
正如前述，Arps的双曲线递减是最有代表性的递减类型。
指数递减和调和递减，是双曲线递减，当递减指数型，因此，本节以双曲线递减为基础，引导出可以用于预测可采储量的广义递减类型。
基于图
-EQi
式中
对于有代表性的双曲线递减，按图4-11所示，由（4-6）式可写出递减阶段的产量为:
（4-84）
将（4-83）式改为开发时间的关系式为:
将（4-83）式代入（4-79）式，经过整理后可以得到定名为广义卡彼托夫（KonbiTob）递减类型的关系式为
当n=0.5和to=0（投产即进入递减），由（4-85）式可简化为著名的修正的卡彼托夫公式为
（4-89）
当n=0.5、to=0和C=0时，由（4-85）式可以得到卡彼托夫（KonbiTob）的原式为:
由（4-79）式和（4-85）式可以看出，当QH0和tfg时，Np=Npmax=al=a2=EQi/Di（1-n）
，因此，油田的可采储量，由
（4-76）式可写为:
（4-91）
由（4-91）式可以看出，只要由（4-79）式或（4-85）式求得a值之后，即可由该式确定可采储量的数值。
.广义递减类型求解
正如前述，广义递减类型，分别包括由
（4-79）式表示的扩展Arps法，和由（4-85）式表示的广义Konhtob法。
下面介绍它们的求解方法。
1.扩展Arps法
在已知Npo和to，以及递减阶段的产量Q和累积产量Np的条件下，在O用程序，按（4-79）式进行线性试差，寻求相关系数最高和拟合结果最好直线的n值之后，并对直线进行线性回归，求得直线的截距al和斜率b1的数值。
由于n值已知，将al和b1值分别代入由（4-80）式除以（4-81）式得到的下式求
EQj
（4-93）
已知Qi、n和al的数值之后，由（4-80）式得确定Di数值的公式为:
将n、Di、Qi和to的数值代入（4-83）式得，可以预测递减阶段产量的关系式；若将al和Npo的数值代入（4-91）式得可采储量的数值；如果以经济评价方法确定了油田开发的经济极限产量QEL则将QELal、bl和n的数值代入（4-79）式得，递减阶段的经济极限累积产累Np（EL），并由（4-76）式得经济
极限的可采储量NR（EL）。
2.广义KonbiTOB法
在已知Npo和to,以及递减阶段的累积产量条件下，如同扩展Arps法，除给定不同的n值外，还要在2vCv20的范围内，以一定的步长（如0.1）,
给定不同的C值。
然后，应用电脑专用程序进行线性试差，寻找相关系数最高的直线结果，并经过线性回归后求得a2和b2的数值，并由（4-86）式除以
若将Npo和a2的数值代入（4-76）式得可采储量的数值。
当已知经济极限产量QEL时，由（4-84）式可以求得经济极限的废弃时间tEL。
再将tEL、a2、
b2、to、C和n的数值代入（4-85）式，可以得到递减阶段的经济极限累积产量Np（EL），而后由（4-76）式确定经济极限可采储量NR（EL）。
应用举例
.指数递减的应用
美国俄克拉何马州某油田的开发小区
，在累积产出原油Npo=118.44X10m之后，开始进入递减阶段。
实际开发的产量数据列于表4-3。
表4-3例题1的生产数据
（年1
Q
（10m/年）
Np
（10m）
Qi/Q
0
1.5937
0
1
1
1.3866
1.3866
1.1494
2
1.1820
2.5686
1.3483
3
1.0329
3.6015
1.5429
4
0.8879
4.4894
1.7949
5
0.7472
5.2366
2.1329
6
0.6677
5.9043
2.3868
将Q与t的对应值，画在半对数坐标纸上是一条很好的直线（见图4-12）。
这表明该开发区的递减属于指数递减类型。
经线性回归求得直线的截距a
=0.2042;斜率b=0.06429;相关系数r=0.999。
图4-12半对数递减（即指数递减）的Q与t的关系图
再将b值代入（4-47）式得递减率为:
D=2・303x（k06429=（M48年t或14.8%/年
假若经济界限的废弃产量定为Qa=0.lX10m/年，那么，将Qi、QaD和E的数值分别代入（4-12）式和（4-16）式，可以得到从递减开始计时到废
弃时的开发年限和整个递减阶段的累积产量为:
开发小区到废弃时，递减阶段的总开发时间为18.7年，已生产了6年，还有12.7年。
在递减阶段中的累积产量为10.09X10m，已累积生产了5.9043X10
m，还剩下的可采储量为4.19X10m。
该开发小区总的可采储量应为递减阶段前的累积产油量Npo和递减阶段累积产油量Np（EL）的总和，即Np=
Npo+Np（EL）=118.44X10m+10.09X10m=128.53X10m。
递减阶段的产量与累积产量的直线关系，见图4-13所示。
）,9
1.8
I.S
1.4
jAH
O.&
D.4
0.2
、
1j
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