典型例题
例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k（k>0）的点的轨迹方程式是xy.
复习2:
画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程.
变式：
到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程
是y-5=0吗？
学习探究探究任务一：
至俩坐标轴距离相等的点的集合是什么？
写出它的方程.
例2设A,B两点的坐标分别是（_1,_1）,（3,7），求线段AB的垂直平分线的方程.
问题：
能否写成y=|x|，为什么?
新知：
曲线与方程的关系：
一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程F（x,y）=0之间，如果具有以下两个关系：
1•曲线C上的点的坐标，都是的解;
2•以方程F（x,y）=0的解为坐标的点，都是
的点，
那么，方程F（x,y）=0叫做这条曲线C的方程；曲线C叫做这个方程F（x,y）=0的曲线.
变式：
已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是
A（0,3）,B（-2,0）,C（2,0）.中线AO（O为原点）
所在直线的方程是x=0吗？
为什么？
注意：
1°如果”，那么”；
2°“点”与“解”的两个关系，缺一不可；
3。
曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；
4°曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的.
试试:
2
1.点P）a在曲线x+2xy-5y=0上，则a=一
反思：
BC边的中线的方程是x=0吗?
小结：
求曲线的方程的步骤：
①建立适当的坐标系，用M（x,y）表示曲线上的任
意一点的坐标；
动手试试练1.
2求和点0（0,0）,A（c,0）距离的平方差为常数c的点的轨迹方程.
§2.1.2曲线与方程
（2）
2写出适合条件P的点M的集合P={MIp（M）};
3用坐标表示条件P，列出方程f（x,y）=0;
4将方程f（x,y）=0化为最简形式；
5说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
下列方程的曲线分别是什么？
2
X…、x—2一、loax
=—
（2）（3）y=aaa
xx-2x
二、新课导学
课后作业....
1.点A（1,-2）,B（2,-43）,C（3,10）是否在方程
x2-xy+2y十1=0表示的曲线上？
为什么？
学习探究引入：
圆心C的坐标为（6,0）,半径为r=4,求此圆的方程.
问题：
此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程.
点P（1,b）到直线X+y_1=0的距离是
例2已知一条直线I和它上方的一个点F,点F到I的距离是2,一条曲线也在I的上方，它上面的每一点到F的距离减去到I的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
探究：
若|AB=4，如何建立坐标系求AB的垂直平分线的方程.
典型例题
例1有一曲线，曲线上的每一点到X轴的距离等于
这点到A（0,3）的距离的2倍，试求曲线的方程.
动手试试
练1.有一曲线，曲线上的每一点到X轴的距离等于这点到直线x+y—1=0的距离的2倍，试求曲线的方程.
变式：
现有一曲线在X轴的下方，曲线上的每一点到X轴的距离减去这点到点A（0,2），的距离的差是
2，求曲线的方程.
练2.曲线上的任意一点到A（—3,0）,B（3,0）两点距
离的平方和为常数26，求曲线的方程.
三、总结提升
小结：
点P（a,b）到X轴的距离是点P（a,b）到y轴的距离是
学习小结
1.求曲线的方程；
2.通过曲线的方程，研究曲线的性质.
知识拓展圆锥曲线的统一定义：
到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.
0ce<1:
椭圆；
e=1：
e;>1：
§2.2.1椭圆及其标准方程
（1）
抛物线;
双曲线.
（时量：
5分钟满分：
10分）计分：
当堂检测
1.方程（3x-4y-12）[log2（x+2y）-3]=0的曲线经-7）中的
4
学习目标
1.从具体情境中抽象出椭圆的模型;
2.掌握椭圆的定义；
3.掌握椭圆的标准方程.
过点
A（0,-3）,B（0,4）,C（4,0）,
D（5,
（
A.
2•已知A（1,0）,B（—1,0），动点满足|MA|-|MB|=2,则点M的轨迹方程是（
A.y=0（—11）
C.y=0（x<=）D.y=0（|x|31）
3.曲线y=-^1-x2与曲线y+|x|=0的交点个数一
定是（）.
A.0个B.2个C.4个_D.3个
4.若定点A（1,2）与动点P（x,y）满足oP*OA=4贝
点P的轨迹方程是.
5.由方程|x—1|+|y-1|=1确定的曲线所围成的图
形的面积是.
B.1个C.2个
课后作业一
1•以0为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？
在第二象限的圆弧的方程是什么？
2.已知点C的坐标是（2,2）,过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B•设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.
学习过程
一、课前准备（预习教材理P38~
复习
P40,文P32~P34找出疑惑之处）
1:
过两点（0,1）,（2,0）的直线方程
复习
心，
2：
方程（x-3）2+（y+1）2=4表示以为半径的.
为圆
二、新课导学
学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个.
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在拉紧绳子，移动笔尖,一___P
图板的两个点处，套上铅笔,画出的轨迹是什么曲线？
思考：
移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
Fi
F2
经过观察后思考：
在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖
于常数.
新知1：
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离
之和等于常数（大于IF1F2I）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
反思：
若将常数记为2a，为什么2aF1f2?
当2a=|F1F2时，其轨迹为;
当2a<1F1F2I时，其轨迹为.
试试:
已知F1（/,0）,F2（4,0），到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是.
小结：
应用椭圆的定义注意两点：
1分清动点和定点；
2看是否满足常数2^|F1F2|.
新知2:
焦点在x轴上的椭圆的标准方程
22
xy222
2+\=1（aAb>0\其中b=a-c
ab'丿
变式：
椭圆过点（/,0）,（2,0）,（0,3），求它的标
准方程.
若焦点在y轴上，两个焦点坐标
则椭圆的标准方程是.
典型例题
例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
⑴a=4,b=1，焦点在x轴上；
⑵a=4,c=届，焦点在y轴上；
⑶a+b=10,c=2^/5.
小结：
由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程
动手试试
2
练1.已知AABC的顶点B、C在椭圆一+y2=1
3
上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则AABC的周长是（）.
A.2反B.6C.価
x2
练2•方程—=1表示焦点在y轴上的椭圆,
m
9
求实数m的范围.
2
变式：
方程1+义=表示焦点在x轴上的椭圆,
4m
则实数m的范围.
5分钟满分：
10分）计分：
M到两定点F1、F2距离之和为常
）.
例2已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2,0）,
^53）一
（2,0），并且经过点！
—，一，求它的标准方程.
<22丿
当堂检测（时量：
1.平面内一动点
数2a，则点M的轨迹为（
A.椭圆B.圆
C.无轨迹D.椭圆或线段或无轨迹
2.如果方程X2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是（
A.（0,®
C.（1,亦）
2
x
）.
（0,2）
（0,1）
B.
D.
2
3.如果椭圆亠+（=1上一点P到焦点F1的距离
10036
等于6,那么点P到另一个焦点F2的距离是（）.
A.4B.14C.
4.椭圆两焦点间的距离为16,
两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程
12D.8
且椭圆上某一点到
是.
5.如果点M（x,y）在运动过程中，总满足关系式
Jx+（y+3）2+Jx2+（y一3）2=10,点M的轨迹
是，它的方程是
课后作业
1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在x轴上，焦距等于4,并且经过点
P（3—^/6）；
⑵焦点坐标分别为（0,-4）,（0,4卜a=5;
⑶a+c=10,a—c=4.
问题:
于
圆上的所有点到
（半径）；
（圆心）的距离都等
反之，到点（—3,0）的距离等于2的所有点都在圆上.
典型例题
例1在圆x+y=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足•当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
22
2.椭圆=1的焦距为2，求n的值.
4n
§2.2.1椭圆及其标准方程
（2）
变式：
若点M在DP的延长线上，且
则点M的轨迹又是什么?
DM
DP
3
2
学习目标
1.掌握点的轨迹的求法；
2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程.
小结：
椭圆与圆的关系：
圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆.
学习过程
复习2：
在椭圆的标准方程中，a=6,b=U'35则椭
例2设点A,B的坐标分别为（—5,0）（5,0）,•直线
4
AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是一,
9
求点M的轨迹方程
圆的标准方程是
变式：
点A,B的坐标是（-1,0）,（1,0）,直线AM,BM
相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？
动手试试
练1.求到定点A（2,0卢到定直线X=8的距离之比为返的动点的轨迹方程.
2
练2.
圆X2
程式,
一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与
2
中y-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方并说明它是什么曲线.
三、总结提升
学习小结
1.①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；
②相关点法：
寻求点M的坐标x,y与中间x0,y0的关系，然后消去x0,y0，得到点M的轨迹方程.知识拓展椭圆的第二定义：
到定点F与到定直线I的距离的比是常数e（0ced）的点的轨迹.
定点F是椭圆的焦点；定直线I是椭圆的准线；常数e是椭圆的离心率.
当堂检测（时量：
5分钟满分：
10分）计分：
1.若关于x,y的方程x2sinot-y2cosa=1所表示的曲线是椭圆，则《在（）.
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.若AABC的个顶点坐标A（r,0）、B（4,0）的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（
y2丄x2
B.—+—=1
259
22—+=1（yH0）
259
，动点P满足条件
22
x,y
A.一+—=1259
X2y2
C.一+二=1（yH0）D.169
3.设定点F1（0,-2），F2（0,2）
4
+—（ma0），m
|PFi|+|PF2|=m
（）.
A.椭圆
C.不存在
4.与y轴相切且和半圆动圆圆心的轨迹方程是
5.设Fi,F2为定点，
AABC）.
（yHO）
则点P的轨迹是
B•线段
D•椭圆或线段
22
X+y=4（0|吋2|=6,动点M满足
|MFi|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是
课后作业_
1.已知三角形VabC的一边长为6，周长为16,求顶点A的轨迹方程.
对称性：
椭圆关于
轴、
轴和
都对称;
）;
顶点：
（
bc
反思：
b或-的大小能刻画椭圆的扁平程度吗?
ab
典型例题
例1求椭圆16x+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
二、新课导学学习探究
有哪些几何性质呢?
图形:
变式：
若椭圆是9x2+y2=81呢?
范围：
-:
小结：
①先化为标准方程，找出a,b，求出C;
②注意焦点所在坐标轴.
例2点M（x,y）与定点F（4,0）的距离和它到直线
254
I:
X=—的距离的比是常数一，求点M的轨迹.
45
小结：
到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆.
动手试试
练1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
1
「3；
3
e=一;
5
⑴焦点在
⑵焦点在
⑶经过点
x轴上，a=6,
y轴上，C=3，
P（£,0）,Q（0,—2）;
⑷长轴长等到于20,离心率等于
当堂检测（时量：
5分钟满分：
10分）计分：
X2V2710
若椭圆—+—=1的离心率e=——,则m的值
5m5
（）.
25
A.3B.3或一C.屈
3
2.若椭圆经过原点，且焦点分别为则其离心率为（
A.3
4
D•曲或迹
3
F1（1,0）,F2（3,0）,
）.
B.?
3
3.短轴长为，离心率
F1,F2，过F1作直线交椭圆于周长为（
A.3
）.
B.
1
2
2e=—的椭圆两焦点为
3
A,B两点，则MBF2的
c.
C.12
D.24
6
2
X
5
及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标是.
5.某椭圆—长轴长为
18,且两个焦点恰好将长轴三等分，贝毗椭圆的方
程是.
4.已知点
P是椭圆
2
+y
4
=1上的一点，且以点P
课后作业
1.比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？
y2
12_
2
+y=1
10
2
⑴9x2+y2=36与1』16
2
22X
⑵X+9y=36与
6
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点p（-2j2,o）,q（o,J5）；
⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3,0）;
⑶焦距是8，离心率等于0.8.
§.2.2椭圆及其简单几何性质⑵
学一习目标…
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质;
2.椭圆与直线的关系.
学习过程
一、课前准备
（预习教材理卩46~P48,文卩40~P41找出疑惑之处）
22
复习1：
椭圆L+L=1的
1612
焦点坐标是（）（
长轴长
、短轴长
离心率
变式：
若图形的开口向上，则方程是什么?
复习2:
直线与圆的位置关系有哪几种？
如何判定？
小结:
（理）
二、新课导学
学习探究
问题1:
想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢?
问题2:
椭圆与直线有几种位置关系？
又是如何确定？
1先化为标准方程，找出a,b，求出c;
2注意焦点所在坐标轴.
22
例2已知椭圆工+L=1，直线I:
259
4X—5y+40=0。
椭圆上是否存在一点，它到直线I的距离最小？
最小距离是多少？
反思：
点与椭圆的位置如何判定?
典型例题
例1一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面
（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2
变式：
最大距离是多少?
上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2，已知BC丄卩店2,|F1b=2.8cm,IF1F2I=4.5cm，试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.
动手试试
练1已知地球运行的轨道是长半轴长
8
a=1.50X10km，离心率e=0.0192的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离.
课后作业
2
练2.经过椭圆L+y2=1的左焦点F1作倾斜角为
2
60羊勺直线I，直线I与椭圆相交于A,B两点，求AB的长.
22
2.若椭圆丄+L=1，—组平行直线的斜率是
49
⑴这组直线何时与椭圆相交？
⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？
直线与椭圆相交，得到弦，
弦长I=J1+k2|x-冷
（1+k2）
=J（1+k2）[（X1+X2）-4x1X2
§2.3.1双曲线及其标准方程
其中k为直线的斜率，（X1,y1）,（X2,y2）是两交点坐标.
当堂检测（时量：
5分钟满分：
10分）计分：
22
1.设P是椭圆—+—-1,
1612
差为，贝y^F1F2是（
A.锐角三角形
C.钝角三角形
2.设椭圆的两个焦点分别为
学习目标
1•掌握双曲线的定义；
2•掌握双曲线的标准方程.
P到两焦点的距离之
）.
B.
D.
.直角三角形
.等腰直角三角形
F1、、F2,过F2作椭圆
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P52~P55,文卩45~P48找出疑惑之处）
复习1：
椭圆的定义是什么？
椭圆的标准方程是什
么？
长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（
42-1
B.C.
2
22
X■+匕=1的左、
169
3.已知椭圆
）.
2-42D.72-1
右焦点分别为Fi,F2,
复习2:
在椭圆的标准方程
何关系？
若a=5,b=3，贝y圆方程.
2
X
2a
2
+y2=1中，a，b，C有
C=?
写出符合条件的椭
距离的和”改为距离的
三个顶点，则点P到X轴的距离为（
99
A.-B.3C.-
54
4.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比
数列，则其离心率为.
X2y2
5.椭圆一=1的焦点分别是F1和F2，过原点04520
作直线与椭圆相交于A,B两点，若MBF2的面积是
20,则直线AB的方程式是
二、新课导学
学习探究
问题1:
把椭圆定义中的差”那么点的轨迹会怎样?
如图2-23，定点F1,F2是两个按钉，MN是个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，
点M移动时，
|MFi|-MF2|是常数，这样就画出一条曲线；
由|MF2|-!
MFi|是同一常数，可以画出另一支.
新知1双曲线的定义：
平面内与两定点Fi,F2的距离的差的_于常数（小于|FiF^）的点的轨迹叫做双曲线。
两定点Fi,F2叫做双曲线的,
两焦点间的距离|FiF^叫做双曲线的例2已知A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
反思：
设常数为2a，为什么2a€F1F2|?
2a=丁汀2时，轨迹是;
2a>"伍卩2时，轨迹.
试试：
点A（1,0）,B（J,0），若|Aq—|Bq=1，则点C的轨迹是.
变式：
如果A,B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？
为什么？
新知2:
双曲线的标准方程:
22
xy222
—22=1,（a>0,b>0,C=a+b）（焦点在x轴）
ab
其焦点坐标为Fd-c,。
）,F2（c,0）.
小结：
采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置.
思考：
若焦点在y轴，标准方程又如何?
典型例题
例1已知双曲线的两焦点为Fd—5,0）,F2（5,O），双曲线上任意点到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.
动手试试
练1:
（1）
（2）
求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
焦点在x轴上，a=4,b=3;
焦点为（0,-6）,（0,6），且经过点（2,」）.
22
变式：
已知双曲线———=1的左支上一点P到左
169
焦点的距离为10,则点P到右焦点的距离为.
点A,B的坐标分别是（—5,0）,（5,0），直线
4
AM,BM相交于点M，且它们斜率之积是—，
9
试求点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判
断轨迹的形状.
1理解并掌握双曲线的几何性质.
当堂检测（时量：
5分钟满分：
10分）计分：
1.动点P到点M（1,0）及点N（3,0）的距离之差为2,则点P的轨迹是（
A.双曲线
C.两条射线
）.
B.双曲线的一支
D.一条射线
2.双曲线5X2+ky2=5的一个焦点是（J6,0）,那么实数k的值为（）.
A.-25B.25
3•双曲线的两焦点分别为a=2，则b=（）.
A.5B.13C.
学习过程.
一前准备:
（预习教材理卩56~P58,文卩49~P51找出疑惑之处）
复习1：
写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
1a=3,b=4，焦点在X轴上；
2焦点在y轴上，焦距为8,a=2.
C.-1D.1
Fi（<,0）,F2（3,O），若
75D.^^3
4.已知点M（-2,0）,N（2,0），动点P满足条件|PM|-|PN|=272.则动点P的轨迹方程为.
复习2:
前面我们学习了椭圆的哪些几何性质?
22
5.已知方程一X—――—=1表示双曲线，则
2+mm+1
取值范围
课后作业
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在X轴上，a=2^5，经过点A（-5,2）;
（2）经过两点Ad-612,B（277,3）.
二、新课导学：
学习探究
问题1:
由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双
22
曲线笃-爲=1的几何性质？
ab
2.相距1400mA,B两个
升级会员 