农村初中生学习二次函数的困难及其教学策略.docx
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农村初中生学习二次函数的困难及其教学策略
农村初中生学习二次函数的困难及其教学策略
摘要
二次函数是中学数学的核心概念，是中考重点，更是初中生学习的难点.二次函数还是继一次函数、反比例函数后的又一个重要的具体函数.学好二次函数，不仅可以解决许多与之相关的问题，而且还可以丰富函数的外延，深化学生对函数本身的理解.
本研究通过对二次函数的学习困难及其出现原因的调查.对调查的结果进一步归纳得出：
学生在二次函数时，存在着知识与技能性困难、过程与方法性困难和情感与态度性困难.
在查阅相关文献的基础上，结合笔者在教学中的实际，提出了个人的教学策略，主要有：
（1）二次函数的概念引入要源于学生的实际生活；
（2）与一次函数、反比例函数进行联系与对比，深化对二次函数与函数概念的认识；（3）培养学生的画图能力,让学生学会用函数的图像研究二次函数的性质；（4）渗透数形结合思想,防止函数图像在上、下平移和左、右平移混淆；（5）引导学生经历数学建模的过程，逐渐的培养学生的应用意识；（6）循序渐进，对数学思想方法要做到平时渗透和专题讲授相结合；（7）增强函数教学的“文化性”和“趣味性”，减小学生学习二次函数的畏难心理；（8）充分留给学生时间消化已学知识，突破二次函数学习的难点.最后，笔者设计了一个二次函数第一课时的教案，仅供读者参考.
关键词：
农村初中生；二次函数；困难；教学策略；教案
ABSTRACT
Thequadraticfunctionisacoreconceptinmathematicsofseniorhighschool,anditisakeypointintheentranceexamination.Itisalsodifficultforstudentstolearn.Thequadraticfunctionisanimportantspecificfunctionafterlearninglinearfunctionandinversefunction.Tolearnthequadraticfunctionwellcannotonlysolvemanyproblemsrelated,butalsocanenrichthefunction,deepenstudents'understandingofthefunctionitself.
Theauthorisateacherofmathematics,knowingthedifficultiesofthequadraticfunctionforjuniorhighschoolstudents.Throughtheinvestigationonthedifficultiesanditscausesofthequadraticfunctions,theresultsshowthatthereexistknowledgeandskill,processandmethoddifficultiesaswellasemotionandattitude.
Onthebasisofliteraturereviewandthefactsinthecourseofteaching,theauthorputsforwardhissuggestionsaboutteaching:
（1）tointroducetheconceptofthequadraticfunctionfromthereallifeofthestudents;
（2）Tobecomparedwiththelinearfunctionandtheinversefunction,itcandeepentheunderstandingofthequadraticfunctionandthefunctions’concept;（3）tocultivatethestudents’abilitytodrawandmakethemstudythequadraticfunctionbyitsimage;（4）toindoctrinatethethoughtofcombinationofnumberandimageandpreventtheconfusionintheparallelmovementoftheimageoffunctions;（5）toguidethestudentstoexperiencetheprocessofmathematicalmodelingandcultivatetheirconsciousnessofapplicationgradually;（6）tomasterthemathematicsmethodincombiningpenetrationindailylifeandlectures;（7）tomaketheteachingoffunctionsmoreculturalandinterestingandreducethepsychologicalfearoflearningthequadraticfunction;（8）toleavesufficienttimeforstudentstodigestknowledgeandovercomedifficultiesonthequadraticfunction.Finally,theauthordesignedateachingplanofthequadraticfunctioninthefirstclass,justforreference.Duetothelimitedlevel,theauthorhopesthereaders’criticism.
Keywords:
ruraljuniorstudents;thequadraticfunction;difficulties;teachingsuggestions;teachingplan
一、前言
本部分主要对农村初中生学习的实际情况和二次函数的重要意义进行简单地讨论.
（一）农村学生实际的学习情况
1.在教学中遇到的困难
在教学中，由于农村学生所在的班级班额大，学生水平参差不齐，教师要花一些精力去维持课堂秩序.往往采用讲授的方式来教学，学生则是被动的接受，毫无兴趣可言.而且教师也没有精力去关注学习困难的学生，这样越来越多的学生觉得数学难学.
2.教学设备落后
“工欲善其事必先利其器”.教学设备是教学的道具，好的教学设备可以增强教学的说服力，也可以激发学生的学习兴趣.通过现代教育技术，可以把教学材料变成学生喜闻乐见的形式，让学生体会学习数学的快乐.然而农村中学由于缺乏这些设备，就很难感受到，数学的外部美.
3.学生自身的问题
学生是学习的主体.由于农村学生来自不同的地区，小学教育也参差不齐.除了县城的几所小学外，其他的小学教育比较薄弱.而且，农村学生留守儿童多，多由其他亲属照顾，因此性格更复杂，学习观念比较差.这样学生学习就困难很多.
4.数学教学的原因
尽管造成学生学习二次函数的困难因素很多，但是数学课堂教学是影响数学知识学习主要因素.教学本身也是解决学生学习困难的过程，因此教学效果的好坏直接影响着学生的数学学习.
（二）初中二次函数学习的重要意义
1.初中二次函数在中学数学中的地位
初中“二次函数”的内容是函数内容的重要组成部分.初中阶段是以“变量说”为基础认识函数概念的，在此基础上学习了一次函数（包括正比例函数）、反比例函数和二次函数.二次函数是初中数学与高中数学的重要衔接点.
二次函数作为一个具体的函数，具有非常丰富的性质.而且二次函数是初中生学习的重点也是难点.它是以后高中学习二次函数的基础，同时也是学习数学思想方法的一个重要载体.通过学习二次函数，不仅可以学习到二次函数的基础知识，还能增强数学的思维方法，提高学生的解决实际问题的能力.
2.初中二次函数在中考中的地位
纵观xx省几个市区的数学中考试题，二次函数在其中占有极其重要的作用.在填空题、选择题中主要考察二次函数的基本概念和性质，解答题主要二次函数基本知识和性质的运用，综合题中主要考察运用函数思想解决综合问题的能力.下面是xx省五个地区的中考试题中二次函数的考题分布及分值统计表和xx市近三年数学中考试卷中二次函数的考题分值统计表.
表1-1 2013年xx省五个地区的中考试题中二次函数题分值比重
地区
函数题的分值
占总
分值的
百分比
二次函数
题的分值
占函数题分值的百分比
是否是
压轴题
1
41
27.3%
28
68.3%
是
2
40
26.7%
16
40.0%
否
3
28
18.7%
18
64.3%
是
4
28
18.7%
18
64.3%
是
5
22
18.3%
16
72.7%
是
表1-2 近三年来xx市中考试题中二次函数的分值比重
时间
2011年
2012年
2013年
函数题分值
29
28
28
占总分的百分比
19.3%
18.7%
18.7%
二次函数题的分值
15
18
18
占函数题分值的百分比
51.7%
64.3%
64.3%
是否是压轴题
是
是
是
通过对上表1-1,1-2的统计分析得出以下结论：
（1）二次函数在中考中扮演非常重要角色，占到函数考察比重的一半以上.
中考的压轴题（即最后一题）通常是以二次函数内容为基础展开的，要求学生你能够将二次函数的知识、方法和思想与其他内容进行综合.这些综合题就是要考察学生应用数学思想解决问题的能力.这个要求比较高，往往成为选拔学生进入重点高中学习的一道难关.
（2）二次函数的学习要明确重点和难点，从学生的困惑出发，有的放矢的进行教学，这样才更符合教学的规律.
（三）本文研究的问题
前面说到,二次函数的教学要以学生的学习困难为起点.那么学生在学习二次函数时到底有哪些困难?
这些困难的原因又有哪些呢?
认识这些困难后,怎样改进二次函数的教学呢?
这些都是本文要尝试解决的问题.
（四）本文的框架
本论文分为六部分，第一部分是问题的提出；第二部分是论文的研究方法；第三部分是相关文献；第四部分是初中生学习二次函数的困难及成因分析；第五部分是教学建议；第六部分是关于二次函数的一个教案.
二、相关文献
本部分笔者查阅了相关的国内外文献，有函数概念的理解方面的，有二次函数学习理论和教学理论的，还查阅了《义务教育阶段的课程标准》（2011版）中二次函数的教学要求.对近几年各地的中考试题中的函数题目都进行了认真分析.同时，还对人教版数学教材中二次函数的内容进行研读.下面是对相关文献的梳理.
（一）国外相关文献
Thomas认为学生掌握概念可以分为三个阶段：
最低阶段，把函数理解为指派的程序；第二阶段，血神按照不同的背景识别函数，并能在这些背景之间进行转换；最高阶段，把函数看做一个有一定的性质并且可对其施加运算的对象.
DreyfusandVinner研究指出，学生学习函数的概念时表现出的困难主要有：
（1）学生对于所了解的定义与他们解决问题时所实际使用的概念意象不一致；
（2）用图像形象地表示函数和图像所表示的函数做出解释时存在困难；（3）把函数看成是一个程序性法则进而将其看成一个数学对象时存在困难.他们还指出，学生对函数概念的理解是多种多样的，他们认为函数概念的表象和定义之间总是存在矛盾；学生对函数概念的理解跟他们所学专业有关，除数学专业以外的各专业对函数定义的理解都是较肤浅、简单，当然学生会随着他们数学水平的提高而能给出正确定义的叙述.
Dubinsky等人发展起了一种APOS理论，即学生学习数学概念要经过操作（Action）、过程（Process）、对象（Object）、概型（Shceme）四个阶段来进行心里建构.在了解学生函数学习方面的苦难中显示,学生不能充分地理解函数概念.
Clement调查得出：
因为学生接触过函数知识内容比较少，其信息来遇难只有课本，所以他们对函数的理解就比较狭窄或者是包含了一些错误行的内容.因此课堂上教师应该采取多种方法来帮助学生更好地理解函数.师生之间可以通过更深层次地讨论来帮助学生立即额函数的概念性质；教师还可以通过多种方式来评价学生的思维方法，帮助学生更灵活的地理解函数.
Sfard等人认为，数学中，特别是代数中，许多概念既表现为一种过程操作，有表现为对象、结构.概念往往建有这样的二重性.概念的过程和对象的认知顾过程,在过程阶段,考虑的更多的是运算；而在对象阶段，考虑更多的则是结构；两者的最终结果是在认知结构中共存，在适当时机分别发挥作用.例如,学习函数概念,先是安表达式找若干个自变量的值去计算相应因变量的值,后来再把它看成为一个以定义域、值域、对应关系三要素构成的对象；完成一个概念从运算性的过程过渡到结构性的对象需要经历长期的过程，有时甚至是困难的，其间大致要有三个阶段：
过程的内化、过程的压缩、对象的实体化或对象化.在过程的内化阶段,学习者可以熟练地进行过程的运算,能够脱离相对具体的情境,转变或上升为心理上的操作,而不需要完全依赖具体的被操作对象和实际问题.这里的“内化”与Piaget在《发生认识论原理》中所表达的意义是一样的：
如果一个过程能够通过心理表象运算，那么这个过程就已经内化了.在过程压缩阶段,随着过程的重复实施,学习者能够将一个长运算顺序压缩成易于操作的单元,这时单个的知识逐步降低了自身的地位,成为总体过程中的一个局部,从而将给定过程中的一个局部,从而将给定过程当做一个整体来考虑,使得内化了的心理操作简约和抽象.另外,在压缩阶段,由于比较和概括能力增强了，概念的不同表示之间的转换会变得更容易.在实体化阶段,由于有了压缩的基础,概念达到结构化、整体化，完全摆脱了过程的束缚和限制，使得过程变成易于把握本质的实体对象.这时,学习者能够将一个数学概念看做带有自身特点的完整的对象.Sfard还认为,过程的内化和压缩是逐步完成的,是量变,实体化经常是一个突变,是质变.作为对象的概念,它既要操作别的对象,又要被高层次的运算来操作.而且,一个该你那如果还未被高一级的过程运算,那么看不出对象化的必要性,就不能达到真正的对象化.
（二）国内相关文献
笔者查阅了国内关于二次函数的文章，大致研究主要有以下几个方面：
1.探讨二次函数的图像与性质．
马玉荣、赵拥军、罗路等主要从二次函数的图像；自变量、函数值的取值范围；二次函数解析式的确定；二次函数的性质4个方面去研究.袁梅、魏玉东、张家斌等铜鼓具体的例子详细地阐述了二次函数图像与一元二次方程之间的联系.
2.关于二次函数应用的研究．
陈雪峰总结了二次函数在高中阶段的应用.①以二次函数为例来进一步深入理解函数的概念；②在学习二次函数的单调性，最值与图像的基础上，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图像学习与二次函数有关的一些其它函数单调性；③二次函数的知识可以准确反映学生的数学思维.陈雪峰还指出二次函数有丰富的内涵和外延.作为最基本的幂函数,可以以他为代表来研究海娜号苏性质,可以建立函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力.
3.关于二次函数教学的研究．
在有关二次函数教学的研究中，有的研究怎样教才能提高学生学习兴趣，如：
岳文朗指出，在教学中，应该适当放慢进度，控制要求，使学生多尝学习的甜头，从而增强学习的信心和兴趣.对立体要源于课本，由易到难，循序渐进.对立体的分析要详细一点，要充分发动学生展开类比联想，寻找优秀解法，规范解题过程，要充分利用一题多解、多题一解的典型例习题来提高学生学习兴趣.对题目的讲解要运用“面中取点，点中求精，精中求活”的方法，对重要原理的讲解，要多用具体、直观的例子，引导学生呢个有具体像一般抽象过度.
王萍、赵建勋、刘霞、阮伟强等，对二次函数的教学策略和注意点进行了研究.综合这些观点，主要有：
①打破思维定式，牢固树立配方意识；②突出“顶点作用”，化解闭区间上求最值的难点；③把“二次函数”作为“模型”渗透到整个高中数学教学；④从数学知识及数学思想方法的延续性和发展性入手，顺其自然地组织教学，实现二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数这些代数知识融会贯通；⑤重视转化、函数与方程、分类讨论、待定系数法、配方法、数形结合等数学思想和方法的渗透；⑥注意知识的整体性和内在联系，指导学生总结和归纳二次函数知识，使知识系统化.
吴志娟从学习心理学和数学方法论的角度分析了中学生的认知特点和数学思想方法如何在教学中进行渗透，打破惯常的教学设计，用平移来安排二次函数的图像这段内容，给了教案设计的一个思路；江映雪主要以二次函数为例，对函数概念、图像和性质、应用等进行了想详细的研究，同时探讨了函数探究教学的设计策略及教学策略，在此基础上给出了一个二次函数的教学案例.
姚明在其硕士论文中，现就课件制作的有关问题进行了探讨，然后就义务教育阶段数学教学中最重要的二次函数的课件进行了设计，并对和课件制作有关的若干问题进行了思考.
（三）现阶段中过程操作学生学习函数的基本过程.
由于17世纪、18世纪工程技术和天体力学研究的需要，人们引入了变量.研究变量与变量的关系,就逐渐形成了函数的概念.在现阶段的教材中,函数的学习大致分了三个阶段:
第一阶段,在初中初步学习函数的概念及三个具体的函数（一次函数、反比例函数和二次函数）的概念、图像和性质，并运用相关知识解决实际问题；第二阶段，在高中数学必修教材中学习以集合和对应为基础的函数概念，并通过对一些基本的初等函数的学习，使学生对函数概念的理解更加丰富；第三阶段，在高中数学选修教材中，主要内容有极限、导数，它是函数内容的深化和提高，是学生进一步迈入高等数学大门的阶梯.
（四）初中二次函数的内容与方法.
现阶段初中人教版教材中把二次函数分为三个部分,分别是：
1.二次函数及其图像；2.用函数观点看一元二次方程；实际问题与二次函数.具体的内容和知识点如下表2-1.
（五）初中二次函数的图像与性质.
二次函数的图像和性质是初中生学习二次函数的重点,同时也是学习的难点.那么二次函数有哪些性质呢?
1.二次函数的图像和解析式中的系数的关系.
二次函数的一般形式为
其中a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数的图像具有对称性,其对称轴是平行于y轴的直线.
它的开口方向与系数a有关.当a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下.
越大时,抛物线的开口越大,反之越小.
系数a,b共同决定着抛物线的对称轴（
）.当a，b同号时，对称轴在y轴左侧；当a，b异号时，对称轴在y轴的右侧.
当a>0时,对称轴左侧
时,y随x的增大而减小；对称轴右侧
时，y随x增大而增大.当a<0时,对称轴左侧
时,y随x增大而增大；对称轴右侧
时,y随x的增大而减小.
系数c的正负决定着抛物线与y轴的交点.当c为正数时,抛物线与y轴交于正半轴；当c是负数时，抛物线与y轴交于负半轴.当c是0时,抛物线与y轴交于原点.
a，b，c三个系数共同决定了抛物线的顶点、最值和与x轴的交点个数.一般形式的二次函数的图像顶点为
.当a>0时，抛物线有最低点，二次函数有最小值.当
时，
；反之，当a<0时,抛物线有最高点,二次函数有最大值.当
时,
.
表2-1 现阶段初中人教版教材中把二次函数的划分表
内容
知识点
方法
二次函数及其图像
二次函数的概念,二次函数的图像与性质
1.配方法
2.待定系数法
用函数观点看一元二次方程
“一般地，从二次函数
的图像可知:
（1）如果抛物线
与x轴有公共点，公共点的坐标为
，那么当x=
时，函数的值是0，因此x=
就是方程
的一个根；
（2）二次函数
的图像与x轴的位置关系有三种：
没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应看一元二次方程
的根的三种情况:
没有实根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.”
实际问题与二次函数
根据实际问题,建立二次函数模型,求函数的最大值和最小值.
二次函数与x轴的交点，即为一元二次方程
的解.因此,我们有：
当
时，与x轴有两个交点；当
时，与x轴有一个交点；当
时，与x轴无交点.
2.二次函数的对称性.二次函数的图像具有对称性.
二次函数图像上纵坐标相等的点关于抛物线的对称轴对称；二次函数图像和x轴围成的图形的内接对称图形的对称轴是抛物线的对称轴.利用这两条性质可以解决几何图形与二次函数综合的问题.
（六）初中二次函数中主要的数学思想.
初中二次函数中主要的思想方法有数形结合、分类讨论和函数与方程的思想,方法胡要有配方法和待定系数法.
（七）课程标准对二次函数的要求.
2011数学课程标准又一次被修改,对二次函数的要求又做了调整,具体的要求是：
1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；
2.会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质.
3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为
的形式,并能由此得出二次函数的顶点坐标,说出图像的开口方向,画出图像的对称轴,并能解决简单的实际问题.
4.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.
5.知道给定不共线的三个点的坐标可以确定一个二次函数.
注：
标有
的内容为选学内容，不做考试要求.
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