知识讲解直接证明与间接证明基础.docx
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知识讲解直接证明与间接证明基础
直接证明与间接证明
编稿:
张林娟审稿:
孙永钊
【学习目标】
1•知识与技能
通过具体的例子了解综合法和分析法、反证法的思路过程和特点;
通过已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法一一直接证明和间接证明,及间接证明的重要方法之一一一反证法;
能够用直接法和间接法证明一些基本的数学问题.
2.过程与方法
通过对实例的分析,归纳和总结的过程,培养数学理性思维能力;
通过实际演练,体会综合法、分析法、反证法的证明过程及两种证明方法的特点.
3.情感、态度与价值观
通过实际参与,激发学习数学的兴趣,在学习过程中感受逻辑证明在数学已经日常生活中的作用,使学生养成言之有理,论证有据的习惯.
通过反证法的运用,了解在解决问题中有正难则反的思维方向,发展思维能力,渗透运用辩
证观点解决问题的意识.
【要点梳理】
要点一:
直接证明
直接证明最常见的两种方法是综合法和分析法,它们是思维方向相反的两种不同的推理
方法.
综合法
定义:
一般地,从命题的已知条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,经过演绎推理,
一步步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明,我们把这种思维方法叫做综合法....
基本思路:
执因索果
综合法又叫顺推证法”或由因导果法”.它是由已知走向求证,即从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后导出待证结论或需求的问题.
综合法这种由因导果的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.
综合法的思维框图:
用P表示已知条件,Q表示要证明的结论,Qi(i=1,23...,n)为已知的定义、定理、公
理等,则综合法可用框图表示为:
P=Qi
T
Qi=>Q2
T
Q2二Q3
T...T
Qn=>Q
(已知)(逐步推导结论成立的必要条件)(结论)
要点诠释
(1从已知”看可知”逐步推出朱知”由因导果,其逐步推理实际上是寻找它的必要条件;
(2)用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹;
(3)因用综合法证明命题若A则D”的思考过程可表示为:
故要从A推理到D,由A推演出的中间结论未必唯一,女口B、Bi、B2等,可由B、
B2进一步推演出的中间结论则可能更多,如C、C2、C3、C4等等.
所以如何找到切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的瓶颈
综合法证明不等式时常用的不等式
(1)a2+b2>2b(当且仅当a=b时取“=号);
(2)-—E'ab(a,b€R*,当且仅当a=b时取“=号);
2
22
(3)a|a|乞0(a—b)
(4)b-_2(a,b同号);ba<-2(a,b异号);
abab
(5)a,b€R,a2b2_1(ab)2,
2
(6)不等式的性质
定理1对称性:
a>b:
=bva.
定理2传递性:
ab=a.
bacJ
a>b]
定理3加法性质:
=a•c•b•c.
Rj
丄亠、人a>b[
推论:
a■c•b■d.
c>dJ
推论2
定理5
分析法
定义
般地,从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找使命题成
,或由
立的充分条件,直至所寻求的充分条件显然成立(已知条件、定理、定义、公理等)已知证明成立,从而确定所证的命题成立的一种证明方法,叫做分析法.
基本思路:
执果索因
分析法又叫逆推证法”或执果索因法”.它是从要证明的结论出发,分析使之成立的条件,即寻求使每一步成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
分析法这种执果索因的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.
分析法的思维框图:
用R(i=1,2,3/)表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等,Q所要证明的结
论,则用分析法证明可用框图表示为:
QuP
RUP2
T
F2uF3
T…T
得到一个明显成立的条件
(结论)(逐步寻找使结论成立的充分条件)(已知)
格式:
要证……,只需证……,只需证……,因为……成立,所以原不等式得证.
要点诠释:
(1)分析法是综合法的逆过程,即从朱知”看需知”,执果索因,逐步靠拢已知
其逐步推理,实际上是寻找它的充分条件.
(2)由于分析法是逆推证明,故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性,即分析法有独特的表述.
综合法与分析法的横向联系
(1)综合法是把整个不等式看做一个整体,通过对欲证不等式的分析、观察,选择恰当不
等式作为证题的出发点,其难点在于到底从哪个不等式出发合适,这就要求我们不仅要熟悉、
正确运用作为定理性质的不等式,还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用.
分析法的优点是利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握,而综合法的优点
是宜于表述,条理清晰,形式简洁.
我们在证明不等式时,常用分析法寻找解题思路,即从结论出发,逐步缩小范围,进
而确定我们所需要的因”再用综合法有条理地表述证题过程.分析法一般用于综合法难以
实施的时候.
(2)有不等式的证明,需要把综合法和分析法联合起来使用:
根据条件的结构特点去
转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可
以推出Q成立,就可以证明结论成立,这种边分析边综合的证明方法,称之为分析综合法,或称两头挤法”
分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系,
分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点.
命题若P则Q”的推演过程可表示为:
要点二:
间接证明
间接证明不是从正面确定命题的真实性,而是证明它的反面为假,或改证它的等价命题
为真,间接地达到目的,反证法是间接证明的一种基本方法.
反证法定义:
一般地,首先假设要证明的命题结论不正确,即结论的反面成立,然后利用公理,已知
的定义、定理,命题的条件逐步分析,得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而证明了原命题成立,这样的证明方法
叫做反证法.
反证法的基本思路:
假设一一矛盾一一肯定
1分清命题的条件和结论.
2做出与命题结论相矛盾的假设.
3由假设出发,结合已知条件,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果.
4断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接
地证明原命题为真.
反证法的格式:
用反证法证明命题若p则q”时,它的全部过程和逻辑根据可以表示如下:
要点诠释:
(1)反证法是间接证明的一种基本方法.
它是先假设要证的命题不成立,即结论的反面成立,在已知条件和假设”这个新条件下,通过逻辑推理,得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论,从而判定结论的反面不能成立,即证明了命题的结论一定是正确的.
(2)反证法的优点:
对原结论否定的假定的提出,相当于增加了一个已知条件.反证法的一般步骤:
(1)反设:
假设所要证明的结论不成立,假设结论的反面成立;
(2)归谬:
由反设”出发,通过正确的推理,导出矛盾一一与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾;
(3)结论:
因为推理正确,产生矛盾的原因在于反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.
要点诠释:
(1)结论的反面即结论的否定,要特别注意:
都是"的反面为不都是”即至少有一个不是”不是都不是”;都有”的反面为不都有”即至少有一个没有”不是都没有”;都不是”的反面是部分是或全部是”即至少有一个是”,不是都是”都没有”的反面为部分有或全部有”即至少有一个有”不是都有”
(2)归谬的主要类型:
1与已知条件矛盾;
2与假设矛盾(自相矛盾);
3与定义、定理、公理、事实矛盾.
宜用反证法证明的题型:
1要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;比如存
在性问题、唯一性问题”等;
2如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一
种或很少的几种情形•比如带有至少有一个”或至多有一个”等字样的数学问题.
要点诠释:
反证法体现出正难则反的思维策略(补集的思想)和以退为进的思维策略,故在解决
某些正面思考难度较大和探索型命题时,有独特的效果.
【典型例题】
类型一:
综合法证明
例1.已知a0,b0,试用综合法证明:
a(b2c2)-b(c2a2)_4abc.
【证明】因为b2+c2宓be,aa0,
所以a(b2c2)-2abc.
又因为c2b2_2bc,b0,
所以b(c2a2)_2abc.
因此a(b2c2)b(c2a2)_4abc.
【总结升华】利用综合法时,从已知出发,进行运算和推理得到要证明的结论,并且在用
均值定理证明不等式时,一要注意均值定理运用的条件,二要运用定理对式子作适当的变形,
把式分成若干部分,对每部分运用均值定理后,再把它们相加或相减.
举一反三:
」2「
log519log319log219
的形式.
•••左边
=logu5+21og193+31og192=logls5+logie罗+log19T=1伽(5x3*x23)
=logi?
360
【变式2】设a、b是互不相等的正数,且ab=1,试用综合法证明:
丄+^4
ab
【解析】因为ab=1,
所以=2b旦22^^4.
ababab¥ab
例2.已知数列满足a1=5,a2=5,a^^=a^6anJ(n>2).求证:
la*1■2a^是等比数列.
【思路点拨】根据等比数列的定义变形.
【解析】由a*+1=a*+6a*-1,a*+1+2an=3(an+2an-1)(n》2)
a1=5,a2=5
••a?
+2a〔15
故数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列
【总结升华】本题从已知条件入手,分析数列间的相互关系,合理实现了数列间的转化,从
而使问题获解,综合法是直接证明中最常用的证明方法.
举一反三:
【变式】已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1.
(1)设bn=an+1-2an(n=1,2,…),求证:
数列{bn}是等比数列.
a
(2)设cn=诗(n=1,2,…),求证:
数列{Cn}是等差数列.
2
【解析】
(1)•Sn+1=4an+2,•Sn+2=4an+1+2,
两式相减,得Sn+2—Sn+1=4an+1—4an(n=1,2,3,…),
即an+2=4an+14an,变形得an+22an+1=2(an+12an).
bn=an+1—2an(n=1,2,…),
••bn+1=2bn(n=1,2,…).
由此可知,数列{bn}是公比为2的等比数列.
由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1,
得a2=5,b1=a2—2a1=3.故bn=32n1.
an
(2)TCn亏(n=1,2,…)
_an_an1_2an_bn
nn彳n-1
222
—3
将bn=32n—1代入,得Cn1-Cn(n=1,2,…).
4
3a1
由此可知,数列{Cn}是公差d的等差数列,它的首项C11,故
422
例3.如图,设在四面体PABC中,.ABC=90,PA二PB二PC,D是AC的中点.
求证:
PD垂直于ABC所在的平面.
【思路点拨】要证PD垂直于.ABC所在的平面,只需在.ABC所在的平面内找到两条相交直线与PD垂直.
【解析】
证明:
连PD、BD
因为BD是RtABC斜边上的中线,
所以DA=DC=DB
又因为PA=PB=PC,而PD是PAD、.IPBD、厶PCD的公共边,
所以.PAD=PBD二PCD
于是.PDA二.PDB二PDC,
而PDA=/PDC=90,因此PDB=90
•••PD_AC,PD_BD
由此可知PD垂直于ABC所在的平面.
【总结升华】利用综合法证明立体几何中线线、线面和面面关系的关键在于熟练地运用判定
定理和性质定理.这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家,供参
考:
(1)由已知BD是RtABC斜边上的中线,推出DA二DC二DB,记为R(已知)
二Pi;
(2)由DA=DC=DB和已知条件,推出三个三角形全等,记为RnF2;
(3)由三个三角形全等,推出•PDA=/PDB=/PDC=90,记为巳=P3;
(4)由三PDA二-PDB二-PDC二90推出PD_面ABC,记为P3=巳(结论).
这个证明步骤用符号表示就是P)(已知)二P=>巳=>Rn巳(结论).
举一反三:
【变式】如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD丄底
Pk面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF丄PB交PB于点F.
求证:
(1)PA//平面EDB;
(2)PB丄平面EFD.
【解析】
证明:
(1)连结AC交BD于O,连结EO.
•••底面ABCD是正方形,.••点O是AC的中点,N%
在厶PAC中,EO是中位线,•••PA//EO.
而EO平面EDB且PA二平面EDB,•PA//平面EDB.
(2)PD丄底面ABCD且DC二底面ABCD,•PD丄DC.
由PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,
而DE是斜边PC上的中线,•DE丄PC.①
同样由PD丄底面ABCD,得PD丄BC.
•底面ABCD是正方形,•DC丄BC,•BC丄平面PDC.
而DE二平面PDC,•BC丄DE.②由①和②推得DE丄平面PBC.而PB二平面PBC,「.DE丄PB.又EF丄PB且DEAEF=E,•PB丄平面EFD.
类型二:
分析法证明
例4.求证:
3…再:
:
:
•..4:
』5.
【解析】
证明:
欲证不等式,<4,5,
只需证3-218■6:
:
:
42205成立,
即证・18:
:
:
..20
即证18v20成立.
由于18v20是成立的,
因此、一36:
-A5.证毕.
【总结升华】
1.在证明过程中,若使用综合法出现困难时,应及时调整思路,分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发,结合已知条件,逐步反推,寻找使当前命题成立的充分条件的方法.
2.用分析法证明问题时,一定要恰当地用好要证”只需证”即证”“即证”等词语.
3.掌握分析法的流程,避免与综合法混淆。
在本题中应避免下面的错误证法:
错证:
由不等式+知-5①
两边平方得96~2:
:
:
94,5
则18v20,
因为18v20,所以3\6-M5.
错因:
由于上述分析法的流程结构是①=②=③=④,因而上述书写格式导致了
逻辑错误.
举一反三:
【变式1】已知a、b是正数,用分析法证明
只需证a2_-4'~4.a2'-_>>亠a2--_>"2-2'~2-:
2(^.__),
a•;a
只需证.a2_'2(a■_),只需证a2;_1(a2;2),
\a22aa22a2
即证a2-2,它显然成立••••原不等式成立.
:
a_b2
8b
a
【高清课堂:
直接证明与间接证明401471例题2】
【变式3】已知ab•0,求证:
a"
8a
【解析】证明:
要证壬匸:
:
:
「_,「:
・"■
8a28b
要证b1,只需证b2b,即..b<..a显然成立.
2y/b
a、bab
1成立,且以上各步都可逆,故原不等式成立.
2a2、b
例5.求证:
、a-a-1:
:
a-2-、a-3(a_3)
【思路点拨】由于本题所给的条件较少,且不等式中项都是根式的形式,因而用综合法证明比较困难•这时,可从结论出发,逐步反推,寻找使命题成立的充分条件;此外,若注
也可用综合法证
明.
【解析】
法一:
分析法
要证、a-一a-1:
:
、a-2-一a-3(a_3)成立,
只需证明.亍厂季:
:
:
厂2•.冇(a_3),
两边平方得2a-32.,a(a-3):
:
:
2a-32(a-2)(a-1)(a_3),
所以只需证明、a(a-3):
:
:
._(a-2)(a-1)(a_3),
两边平方得a2-3a:
:
:
a2-3a2,
即0:
.2,
0:
2恒成立,
•••原不等式得证.
法二:
综合法
'一a-、_a-1
1
'一a-2、一a7
aa_2,、a-1a_3,
.....ia-■/a-1、.a-2■a-3、0.
11
•—:
—:
a、a-1a-2、a-3
•、、a~-:
:
.a~1■:
a—2—"a—3.即原不等式成立.
【总结升华】
1.在证明过程中,若使用综合法出现困难时,应及时调整思路,分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举•从结论出发,结合已知条件,逐步反推,寻找使当前命题成立的充分条件的方法.
2•综合法写出的证明过程条理清晰,易于理解;但综合法的证题思路并不容易想到,因此,在一般的证题过程中,往往是先用分析法寻找解题思路,再用综合法书写证明过程.举一反三:
【变式】设a、b是两个正实数,且a我,求证:
a3+b3>a2bab2
【解析】
证明一:
(分析法)
要证a3+b3>a2b-ab2成立,
只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,
即需证a2-ab+b2>ab成立.(ta+b>0)
只需证a2-2ab+b2>0成立,
即需证(a—bf>0成立.
而由已知条件可知,a曲,有a-b^Q所以(a-bf>0显然成立,由此命题得证.
证明二:
(综合法)
■/aMb,•••a-bMQ•••a_b2>0,即卩a2-2ab+b2>0
亦即a2-ab+b2>ab
由题设条件知,a+b>0,•(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab
即a3+b3>a2b-ab2,由此命题得证.
类型三:
反证法证明
222
例6.已知x、y、z是整数,且xy=z求证:
x、y、z不可能都是奇数.【思路点拨】证明含有“不”“没有”“无”等否定性词语的命题,应考虑反证法.
【解析】设x、y、z都是奇数,则x2、y2、z2都是奇数,
所以x2y2为偶数,所以x2•y2=z2,这与已知矛盾,
所以x、y、z不可能都是奇数.
【总结升华】结论中含有不是”“可能”“存在”等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适宜应用反证法.
举一反三:
【变式1】设{an}是公比为q的等比数列,Sn为它的前n项和.
(1)求证:
数列{Sn}不是等比数列.
(2)数列{Sn}是等差数列吗?
为什么?
【解析】
证明:
假设{Sn}是等比数列,则-S1S3,
即al(1q)2=印6(1qq2).
22
-ai0「•(1+q)=1+q+q.
即q=0,与等比数列中公比q工0矛盾.故{Sn}不是等比数列.
【高清课堂:
直接证明与间接证明401471例题5】
【变式2】证明:
是无理数.
【解析】
证明:
假设、2不是无理数.即2是有理数,那么必存在整数m,n,
使得、、2=m,其中m为既约分数,则m=、.2n,所以m2=2n,
nn
于是2能整除m2,从而m为偶数,设m二2k,k•Z,所以4k2=2n,
2m
即n=2k,所以2能整除n,于是m,n均为偶数,这与一为既约分数矛盾,
n
所以假设不成立.从而原命题成立,即2是无理数.
例7.如图所示,已知a,b,c是同一平面内的三条直线,a丄c,b与c不垂直,
求证:
a与b必相交.
【解析】
证法一:
假设a与b不相交,则a//b,所以/仁/2.
由于b与c不垂直,则/2工90;即/1工90;所以a与c不垂直,这与已知条件矛盾,所以a与b必相交.
证法二:
假设a与b不相交,则a/6,所以/仁/2.
因为a丄c,所以/1=90°,即/2=90°,
所以b丄c,这与已知b与c不垂直矛盾,所以a与b必相交.
证法三:
假设a与b不相交,则a/b,所以/仁/2.
又b与c不垂直,则/2工90;即/1工90;
又因为a丄c,所以/1=90°,得出/1工90与/仁90°自相矛盾,所以a与b必相交.【总结升华】题设简单明了,从正面入手较难,而反面易于导出矛盾的命题,常用反证法.
用直接法难以下手,但其结论的反面非常明显,因此用反证法证明比较方便.
举一反三:
【变式】求证:
两条相交直线有且只有一个交点.
【解析】证明:
假设结论不成立,即有两种可能:
(1)若直线a、b无交点,那么a/b,与已知矛盾;
(2)若直线a、b不止有一个交点,则至少有两个交点A和B,这样同时经过点A、B就有两条直线,这与经过两点有且只有一条直线”相矛盾.
综上所述,两条相交直线有且只有一个交点.
1+X1+y
例8.若x,y都是正实数,xy2,求证:
2、2中至少有一个成立.
【思路点拨】“至多”或“至少”语句的证明宜用反证法.
【解析】
1+X1+V1+X1+y
证明:
假设2和2都不成立,则有2和2同时成立.
yxyx
因为x.0且y.0,所以1亠2y且1y-2x.
两式相加得2•x•y_2x•2y,
所以x•y_2,这与已知条件xy2矛盾,
1x1y,、
所以2、2中至少有一个成立.
yx
【总结升华】从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证