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1、知识讲解直接证明与间接证明基础直接证明与间接证明编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1 知识与技能通过具体的例子了解综合法和分析法、反证法的思路过程和特点；通过已经学过的数学实例， 了解直接证明的两种基本方法 一一直接证明和间接证明， 及间接 证明的重要方法之一 一一反证法；能够用直接法和间接法证明一些基本的数学问题.2.过程与方法通过对实例的分析，归纳和总结的过程，培养数学理性思维能力；通过实际演练，体会综合法、分析法、反证法的证明过程及两种证明方法的特点.3.情感、态度与价值观通过实际参与，激发学习数学的兴趣， 在学习过程中感受逻辑证明在数学已经日常生活中的 作用，使学生养成言之有理，论

2、证有据的习惯.通过反证法的运用，了解在解决问题中有正难则反的思维方向， 发展思维能力，渗透运用辩证观点解决问题的意识.【要点梳理】要点一：直接证明直接证明最常见的两种方法是综合法和分析法， 它们是思维方向相反的两种不同的推理方法.综合法定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这种思维方法叫做综合法 .基本思路：执因索果综合法又叫 顺推证法”或 由因导果法”.它是由已知走向求证， 即从数学题的已知条件 出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题.综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段

3、论式的演绎推理方法.综合法的思维框图：用P表示已知条件，Q表示要证明的结论，Qi (i =1,2 3., n)为已知的定义、定理、公理等，则综合法可用框图表示为:P= QiTQi = Q2TQ2 二 Q3T .TQn= Q(已知) (逐步推导结论成立的必要条件) (结论)要点诠释(1从 已知”看 可知”逐步推出 朱知”由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的 必要条件；(2)用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简 洁，宜于表达推理的思维轨迹；(3)因用综合法证明命题 若A则D ”的思考过程可表示为：故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，女口 B、Bi、B2

4、等，可由B、B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如 C、C2、C3、C4等等.所以如何找到切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的 瓶颈综合法证明不等式时常用的不等式(1)a2+b22b (当且仅当 a=b 时取 “ =号);(2) - Eab (a, b R*，当且仅当 a=b 时取“=号)；22 2(3) a|a | 乞0 (a b)(4)b - _2 (a, b 同号);b a b：= b v a.定理2传递性：a b = a.b acJa b 定理3加法性质： =a c b c .Rj丄亠、人 a b 推论 ：a c b d .cd J推论2定理5分析法定义般地，从需要证明

5、的命题出发， 分析使这个命题成立的充分条件， 逐步寻找使命题成，或由立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等） 已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.基本思路：执果索因分析法又叫 逆推证法”或 执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条 件，即寻求使每一步成立的充分条件， 直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立 的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.分析法的思维框图：用R（i =1,2,3/ ）表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等， Q所

6、要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：Qu PRU P2TF2u F3TT得到一个明显成立的条件（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）格式：要证，只需证，只需证，因为成立，所以原不等式得证.要点诠释：（1）分析法是综合法的逆过程，即从 朱知”看 需知”，执果索因，逐步靠拢 已知其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件.（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析 法有独特的表述.综合法与分析法的横向联系(1)综合法是把整个不等式看做一个整体， 通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适， 这就

7、要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用.分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁.我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的 因”再用综合法有条理地表述证题过程. 分析法一般用于综合法难以实施的时候.(2)有不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q;根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合

8、法， 或称两头挤法”分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、 互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.命题 若P则Q ”的推演过程可表示为:要点二：间接证明间接证明不是从正面确定命题的真实性， 而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法.反证法定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确， 即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的 事实等矛盾的结论， 以此说明假设的结论不成立， 从而证明了原命题成立， 这样的证明方法

9、叫做反证法.反证法的基本思路：假设一一矛盾一一肯定1分清命题的条件和结论.2做出与命题结论相矛盾的假设.3由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果.4断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真.反证法的格式：用反证法证明命题 若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下:要点诠释：(1)反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和假设”这个新条件下, 通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定 结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的

10、.(2)反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件. 反证法的一般步骤：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；(2)归谬：由反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾 一一与已知条件、已知的公理、 定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；(3) 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于 反设”的谬误，既然结论的反面不成 立，从而肯定了结论成立.要点诠释：(1)结论的反面即结论的否定，要特别注意：都是的反面为不都是”即至少有一个不是”不是都不是”； 都有”的反面为不都有”即至少有一个没有”不是都没有”； 都不是”的反面是部分是或全部是”即至少有一个是”，不是

11、都是” 都没有”的反面为部分有或全部有”即至少有一个有”不是都有”(2)归谬的主要类型：1与已知条件矛盾；2与假设矛盾(自相矛盾)；3与定义、定理、公理、事实矛盾.宜用反证法证明的题型:1要证的结论与条件之间的联系不明显， 直接由条件推出结论的线索不够清晰； 比如 存在性问题、唯一性问题”等；2如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论， 而从反面进行证明， 只要研究一种或很少的几种情形比如带有 至少有一个”或至多有一个”等字样的数学问题.要点诠释：反证法体现出正难则反的思维策略 (补集的思想)和以退为进的思维策略， 故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果.【典型例题】类型

12、一：综合法证明例1.已知a 0 , b 0，试用综合法证明： a(b2 c2) - b(c2 a2) _ 4abc.【证明】因为b2+c2宓be , a a 0,所以 a(b2 c2) - 2abc.又因为 c2 b2 _2bc , b 0 ,所以 b(c2 a2) _ 2abc.因此 a(b2 c2) b(c2 a2) _ 4abc .【总结升华】 利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论， 并且在用均值定理证明不等式时， 一要注意均值定理运用的条件， 二要运用定理对式子作适当的变形，把式分成若干部分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相减.举一反三： 2 log 519

13、 log 319 log 219的形式.左边=logu 5+21og19 3+31og19 2 = logls5+logie 罗 +log19 T = 1 伽(5x3* x23)=logi? 360【变式2】设a、b是互不相等的正数，且 a b =1,试用综合法证明： 丄+ 4a b【解析】因为a b =1，所以= 2 b 旦 2 2 4.a b a b a b ab例2.已知数列 满足 a1 = 5, a2=5 , a = a6anJ(n 2).求证： l a* 1 2a 是 等比数列.【思路点拨】根据等比数列的定义变形.【解析】由 a*+1= a*+ 6a*-1, a*+1 + 2an =

14、 3(an + 2an-1) (n2)a1 = 5, a2= 5 a? + 2 a 15故数列an+1 + 2an是以15为首项，3为公比的等比数列【总结升华】本题从已知条件入手， 分析数列间的相互关系， 合理实现了数列间的转化，从而使问题获解，综合法是直接证明中最常用的证明方法.举一反三：【变式】已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2 (n=1, 2,)，a1=1.(1)设bn=an+1 -2an (n=1, 2,)，求证：数列 bn是等比数列.a(2)设cn =诗(n = 1, 2,)，求证：数列 Cn是等差数列.2【解析】(1 ) Sn+1=4an+2 , Sn+2

15、=4an+1 +2 ,两式相减，得 Sn+2 Sn+1 =4an+14 an ( n = 1 , 2 , 3 ,)，即 an+2=4an+1 4 an ,变形得 an+2 2 an+1 =2(an+1 2 an).bn=an+1 2an (n=1, 2,)， bn+1 =2bn ( n = 1 , 2 ,).由此可知，数列bn是公比为2的等比数列.由 S2=a1+a2=4a1+2 , a1=1,得 a2=5 , b1=a22a1=3.故 bn=3 2n 1.an (2)T Cn 亏(n=1 , 2,)_ an _ an 1 _ 2an _ bnn n 彳 n -122 2 3将 bn=3 2n

16、 1 代入，得 Cn 1 -Cn ( n = 1 , 2,).43a 1由此可知，数列Cn是公差d 的等差数列，它的首项C1 1 ,故42 2例3.如图，设在四面体 PABC中，.ABC =90 , PA二PB二PC , D是AC的中点.求证：PD垂直于 ABC所在的平面.【思路点拨】要证 PD垂直于. ABC所在的平面，只需在. ABC所在的平面内找到两条相 交直线与PD垂直.【解析】证明：连PD、BD因为BD是Rt ABC斜边上的中线，所以 DA = DC = DB又因为PA =PB =PC ,而PD是 PAD、.IPBD、厶PCD的公共边，所以.PAD = PBD 二 PCD于是.PDA

17、 二.PDB 二 PDC ,而 PDA =/PDC =90，因此 PDB =90 PD _ AC , PD _ BD由此可知PD垂直于 ABC所在的平面.【总结升华】利用综合法证明立体几何中线线、 线面和面面关系的关键在于熟练地运用判定定理和性质定理.这是一例典型的综合法证明. 现将用综合法证题的过程展现给大家， 供参考：(1)由已知BD是Rt ABC斜边上的中线，推出 DA二DC二DB，记为R (已知)二 Pi ；(2) 由DA = DC =DB和已知条件，推出三个三角形全等，记为 Rn F2 ；(3)由三个三角形全等，推出 PDA =/PDB =/PDC =90，记为 巳=P3 ；(4)由

18、三PDA 二-PDB 二-PDC 二 90 推出 PD _ 面ABC，记为 P3=巳(结论).这个证明步骤用符号表示就是 P)(已知)二P =巳= Rn巳(结论).举一反三：【变式】如图所示，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底Pk 面ABCD , PD=DC , E是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点F .求证：(1) PA/平面EDB ;(2) PB丄平面EFD .【解析】证明：(1)连结AC交BD于O ,连结EO .底面ABCD是正方形，.点 O是AC的中点， N %在厶PAC中，EO是中位线， PA/ EO.而EO 平面EDB且PA二平面EDB , PA /

19、平面EDB .(2) PD 丄底面 ABCD 且 DC 二底面 ABCD , PD 丄 DC .由PD=DC,可知 PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC上的中线， DE丄PC .同样由PD丄底面 ABCD，得PD丄BC .底面 ABCD是正方形， DC丄BC , BC丄平面PDC .而DE二平面PDC , BC丄DE . 由和推得 DE丄平面PBC.而PB二平面PBC,. DE丄PB . 又 EF 丄 PB 且 DE AEF=E , PB 丄平面 EFD .类型二：分析法证明例4.求证：,3再：. 4 ：5 .【解析】证明：欲证不等式 , 亠a2 - -_ 2 - 2 2-： 2(._),

20、a ； a只需证.a2 _2 （a _），只需证 a2 ； _1（a2 ； 2）, a2 2 a a2 2 a2即证a 2 -2，它显然成立原不等式成立.:a _b 28ba【高清课堂：直接证明与间接证明 401471例题2】【变式3】已知a b 0 ,求证：a 8a【解析】 证明：要证壬匸：_,：8a 2 8b要证 b 1，只需证 b 2 b，即.b a2b ab2【解析】证明一：(分析法)要证 a3 + b3 a2b - ab2成立，只需证(a+b)( a2-ab+ b2)ab(a+b)成立，即需证 a2 -ab+ b2 ab 成立.(t a+b0)只需证a2-2ab+ b2 0成立，即需

21、证(a bf 0成立.而由已知条件可知，a曲，有a-bQ所以(a-bf 0显然成立，由此命题得证.证明二：(综合法)/ a Mb , a-b MQ a_b2 0, 即卩 a2-2ab+ b2 0亦即 a2 -ab+ b2 ab由题设条件知，a+b0, (a+b)( a2 -ab+ b2 )(a+b)ab即a3 + b3 a2b - ab2，由此命题得证.类型三：反证法证明2 2 2例6.已知x、y、z是整数，且x y =z求证：x、y、z不可能都是奇数. 【思路点拨】证明含有“不” “没有” “无”等否定性词语的命题，应考虑反证法.【解析】设x、y、z都是奇数，则x2、y2、z2都是奇数，所以

22、x2 y2为偶数， 所以x2 y2 =z2,这与已知矛盾，所以x、y、z不可能都是奇数.【总结升华】结论中含有 不是” “可能”“存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体, 适宜应用反证法.举一反三：【变式1】设an是公比为q的等比数列，Sn为它的前n项和.(1 )求证：数列Sn不是等比数列.(2 )数列Sn是等差数列吗？为什么？【解析】证明：假设Sn是等比数列，则-S1S3 ,即 al(1 q)2 =印 6(1 q q2).2 2-ai 0 (1 + q) =1 + q+q .即q=0，与等比数列中公比 q工0矛盾. 故Sn不是等比数列.【高清课堂:直接证明与间接证明 401471例题5】

23、【变式2】证明： 是无理数.【解析】证明：假设、2不是无理数.即 2是有理数，那么必存在整数 m,n ,使得、2 = m，其中m为既约分数，则 m =、. 2n，所以m2 = 2n ,n n于是2能整除m2，从而m为偶数，设 m二2k,k Z，所以4k2 = 2n ,2 m即n =2k，所以2能整除n,于是m,n均为偶数，这与一为既约分数矛盾,n所以假设不成立.从而原命题成立，即 2是无理数.例7.如图所示，已知a, b, c是同一平面内的三条直线， a丄c, b与c不垂直，求证：a与b必相交.【解析】证法一：假设a与b不相交，则a/ b，所以/仁/2.由于b与c不垂直，则/ 2工90；即/

24、1工90； 所以a与c不垂直，这与已知条件矛盾，所以 a与b必相交.证法二：假设a与b不相交，则a / 6，所以/仁/2.因为a丄c,所以/ 1=90 ,即/ 2=90 ,所以b丄c,这与已知b与c不垂直矛盾，所以 a与b必相交.证法三：假设a与b不相交，则a / b，所以/仁/2.又b与c不垂直，则/ 2工90；即/ 1工90；又因为a丄c,所以/ 1=90 ,得出/ 1工90与/仁90自相矛盾，所以a与b必相交. 【总结升华】题设简单明了，从正面入手较难，而反面易于导出矛盾的命题，常用反证法.用直接法难以下手，但其结论的反面非常明显，因此用反证法证明比较方便.举一反三：【变式】求证：两条相

25、交直线有且只有一个交点.【解析】证明：假设结论不成立，即有两种可能：(1)若直线a、b无交点，那么a / b，与已知矛盾；(2) 若直线a、b不止有一个交点，则至少有两个交点 A和B,这样同时经过点 A、B就有 两条直线，这与 经过两点有且只有一条直线 ”相矛盾.综上所述，两条相交直线有且只有一个交点.1 + X 1 + y例8.若x, y都是正实数，x y 2，求证： 2、 2中至少有一个成立.【思路点拨】“至多”或“至少”语句的证明宜用反证法.【解析】1 + X 1+V 1+X 1 + y证明：假设 2和 2都不成立，则有 2和 2同时成立.y x y x因为x . 0且y . 0 ,所以1亠2y且1 y -2x .两式相加得 2 x y _2x 2y ,所以x y _2 ,这与已知条件x y 2矛盾，1 x 1 y , 、所以 2、 2中至少有一个成立.y x【总结升华】从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论， 而从反面进行证