完整版华师大版九年级数学上册全册教案用.docx

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第22章一元二次方程

22.1一元二次方程

弃七数字目际

【知识与技能】

1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式

2ax+bx+c=O（a^0）.

2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.

【过程与方法】

通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力•

【情感态度】

通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情

【教学重点】

判定一个数是否是方程的根.

【教学难点】

由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

住'孰学S3程

"—

、情境导入，初步认识

问题1绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900,整理可得x2+10x-900=0.

（1）

问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

解：

设这两年的年平均增长率为x,我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）・（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）

2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0

（2）

【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.

二、思考探究，获取新知

思考、讨论

问题1和问题2分别归结为解方程

（1）和

（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？

它们有什么共同特点呢？

共同特点：

（1）都是整式方程

（2）只含有一个未知数

（3）未知数的最高次数是2

【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：

ax+bx+c=0（a、b、c是已知数，a^0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.

例1判断下列方程是否为一元二次方程：

®-宀0=3y

®2i;2-3x-1=0—=0

⑤（af+3）2=（jf—3）2=5—4x

解：

①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

【教学说明】

（1）一元二次方程为整式方程；

（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.

例2将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.

解:

2x2-13x+11=0；2，-13，11.

【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.

三、运用新知，深化理解

1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.

（1）5x2-1=4x

（2）4x=81

（3）4x（x+2）=25

（4）（3x-2）（x+1）=8x-3

解：

（1）5x-4x-仁0;5，-4，-1；

（3）4x+8x-25=0;4,8,-25

（4）3x-7x+1=0;3,-7,1.

2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式•

（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

（2）一个长方形的长比宽多2,面积是100，求长方形的长x；

（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.

解：

（1）4x2=25;4x2-25=0；

（2）x（x-2）=100;x2-2x-100=0;

（3）x=（1-x）2;x2-3x+1=0.

3.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根，求a的值.

解：

Tx=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.

二4a+8-5=0解得：

a=-.

四、师生互动，课堂小结

1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元

1.布置作业：

从教材相应练习和“习题22.1”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分

22.2—元二次方程的解法

1.直接开平方法和因式分解法

孰字目皈

鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望,体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心•

【教学重点】

利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程•

【教学难点】

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程•

住'孰学13程

一、情境导入，初步认识

问：

怎样解方程（x+1）2=256?

解：

方法1:

直接开平方，得x+仁土16

所以原方程的解是xi=15,X2=-17

方法2:

原方程可变形为：

（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0

即（x+17）（x-15）=0

所以x+17=0或x-15=0

原方程的解xi=15,X2=-17

【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.

二、思考探究，获取新知

例1用直接开平方法解下列方程

（1）（3x+1）2=7;

（2）y2+2y+仁24;（3）9n2-24n+16=11.

解:

⑴二

（2）-1±2j

（3）4±JH

【教学说明】运用开平方法解形如（x+m=n（n》0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.

例2用因式分解法解下列方程:

（1）5x2-4x=0

（2）3x（2x+1）=4x+2

（3）（x+5）2=3x+15

解=o化=4

（2）x（=

（3）x）=

=-5,x2=-2

【教学说明】解这里的

（2）（3）题时，注意整体划归的思想

三、运用新知，深化理解

1.用直接开平方法解下列方程

（1）3（x-1）2-6=0

（2）x-4x+4=5

（3）（x+5）=25

解；

（1）%|二1+」2,尤2=1-辽

（2）兀］=2+jSfx-!

=2—5

（3）x）=0=—10

（4）曲=I=-3

2.用因式分解法解下列方程：

（1）x2+x=0

（2）x2-2!

3x=0

（3）3兀'-6x=-3（4）4x2-121=0

（5）（z-4）a=（5-2z）2

解：

（1）%（=0,xa=-1

（2）%（=0fXj=2

（3）尤［=x2二1

小HII

（4）%）=y,%2=-y

（5）篇］=3,=1

3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.

解：

设小圆形场地的半径为xm.

则可列方程2nx2=n（x+5））.

解得xi=5+52,X2=5-5-2（舍去）.

答：

小圆形场地的半径为（5+5=2）m.

【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评•

四、师生互动，课堂小结

1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.

2.对于形如a（x-k）2=b（a^0,b>0）的方程，只要把（x-k）看作一个整体，就可转化为x2=n（n》0）的形式用直接开平方法解.

3.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.

IS后作业

1.布置作业：

从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分

2.配方法

丫严数学目换

【知识与技能】

1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程

2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能

【过程与方法】

通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.

【情感态度】

学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

使学生掌握用配方法解一元二次方程.

【教学难点】

发现并理解配方的方法.

住'孰学13程

一、情境导入，初步认识

问题要使一块矩形场地的长比宽多6m并且面积为16m，场地的长和宽分别是多少？

设场地的宽为xm则长为（x+6）m根据矩形面积为16m,得到方程X

（x+6）=16,整理得到x2+6x-16=0.

【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.

二、思考探究，获取新知

探究如何解方程x2+6x-16=0？

问题1通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？

举例说明.

【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：

等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x+m2=n（n>0），运用直接开平方法可求解.

问题2你会用直接开平方法解下列方程吗？

（1）（x+3）2=25

（2）x+6x+9=25

（3）x+6x=16

（4）x2+6x-16=0

【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x2+6x-16=0转化

为（x+3）2=25的形式，从而求得方程的解.

解：

移项得：

x2+6x=16,

两边都加上9即（-）2,使左边配成x2+bx+（b2）2的形式，得:

x+6x+9=16+9,

左边写成完全平方形式，得：

（x+3）2=25,开平方,得：

x+3=±5,（降次）

即x+3=5或x+3=-5

解一次方程得：

xi=2,x2=-8.

【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法

例1填空:

（1）

x+8x+16=（x+4）

（3）

4x+4x+1=（2x+1）

例2列方程:

（1）x2+6x+5=0

（2）2x2+6x+2=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

解：

（1二-1>x:

--5

小53J3

⑵尤|二亍一亍巧二-亍-亍

（3）X|=J5~2fx2=-§_2

【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳

【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：

（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0;

（2）把常数项移到方程的右边；

（3）方程两边同时除以二次项系数a；

（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解

三、运用新知，深化理解

1.用配方法解下列方程：

（1）2x2-4x-8=0

（2）x2-4x+2=0

（3）x2--x-1=0

2.如果x2-4x+y2+6y+、z2+13=0,求（xy）z的值.

【答案】1.

（1）^=1+j5tx2=1-j5

（2）x,=2+辽心=2-5

~4~

2.x=2,y=~39z=-2,（xy）:

【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路

四、师生互动，课堂小结

1.用配方法解一元二次方程的步骤•

2.用配方法解一元二次方程的注意事项

1.布置作业：

从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分

a『

3.公式法

汽数字目赣

【知识与技能】

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念

2.会熟练应用公式法解一元二次方程.

【过程与方法】

通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一

步认识特殊与一般的关系•

【情感态度】

经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观

占

八、、・

【教学重点】

求根公式的推导和公式法的应用.

【教学难点】

一元二次方程求根公式的推导.

奇孰学已程

一、情境导入，初步认识

用配方法解方程：

（1）x2+3x+2=0

（2）2x2-3x+5=0

解：

（1）xi=-1,x2=-2

（2）无解

二、思考探究，获取新知

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a^0），你能否用上面配

方法的步骤求出它们的两根？

问题已知ax2+bx+c=0（a^0），试推导它的两个根

—6+—4c广

—b—7//—

la'

【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成

具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去•

探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0）的根由方程的系数a,b,c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-

4ac>0时，将a,b,c代入式子x

b.b24ac

就得到方程的根，当

b-4acv

0时,方程没有实数根.

（2）Xb叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0）的求根公

式•

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示•

例1用公式法解下列方程：

12x-4x-仁0②5x+2=3x

3（x-2）（3x-5）=0④4x-3x+1=0

解：

①乂1=1+空,X2=1-空

2xi=2,x2=--

3xi=2,x2=

4无解

【教学说明】

（1）对②、③要先化成一般形式；

（2）强调确定a,b,c的值，注意它们的符号；（3）先计算b2-4ac的值，再代入公式.

三、运用新知，深化理解

1.用公式法解下列方程：

（1）x2+x-12=0

（2）x2-2x--=0

（3）x+4x+8=2x+11

（4）x（x-4）=2-8x

（5）x2+2x=0

（6）x2+2、..5x+10=0

解：

（1）xi=3,X2=-4;

2.3、2.3

（2）xi=,x2=

（3）Xi=1,X2=-3;

（4）Xi=-2+6,X2=-2-6;

（5）xi=0,X2=-2;

（6）无解.

【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式

四、师生互动，课堂小结

1.求根公式的概念及其推导过程.

2.公式法的概念.

3.应用公式法解一元二次方程.

［课后作业

1.布置作业：

从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

4.一元二次方程根的判别式

孰学目皈

【知识与技能】

1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证;

2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.

【过程与方法】

1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；

2.向学生渗透分类讨论的数学思想；

3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.

【情感态度】

1.体验数学的简洁美；

2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.

【教学重点】

根的判别式的正确理解与运用

【教学难点】

含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用

爷孰学过程

一、情境导入，初步认识

用公式法解下列一元二次方程

（1）x+5x+6=0

（2）9x2-6x+1=0

（3）x2-2x+3=0

解：

（1）xi=-2,x2=-3

（2）Xi=X2=

（3）无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识

、思考探究，获取新知

观察解题过程，可以发现：

在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c的值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“△”来表示，即△=b2-4ac.

我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现:

【归纳结论】

（1）当4>0时，方程有两个不相等的实数根

4ac

（2）当4=0时，方程有两个相等的实数根,xi=X2=-―;

（3）当△<0时，方程没有实数根.

例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况:

（1）2常'—=0；

（2）16x5-24x+9=0；

（3）x2-45^+9=0；

（4）3x2+■10x=2x2+8x

解：

（1）有两个不相等的实数根；

（2）有两个相等的实数根；

（3）无实数根；

（4）有两个不相等的实数根.

例2当m为何值时，方程（m+1x2-（2m-3）x+m+1=0,

（1）有两个不相等的实数根？

（2）有两个相等的实数根？

（3）没有实数根？

解：

（1）m<丄且m^-1;

（2）

m=-

（3）m>-.

【教学说明】注意

（1）中的m+R0这一条件.

、运用新知，深化理解

1.方程x2-4x+4=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根

D.没有实数根

2.已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：

x2+mx=1-2n必有两个不相等的实数根•

【答案】1.B

2.证明：

•••x2+2x-m+1=0没有实数根，4-4（1-m）v0,二m<0.对于方程x2+mx=1-2m即x2+mx+2m-1=0△=nn-8m+4,■/m<0,•••△>0,二x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根•

【教学说明】引导学生灵活运用知识.

四、师生互动，课堂小结

1.用判别式判定一元二次方程根的情况

（1）A>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；

（2）A=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.

（3）A<0时，一元二次方程无实数根.

2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条

件.

【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.

®课后作业

1.布置作业：

从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

孰学&思

*5.一元二次方程的根与系数的关系

认数字目瞼

【知识与技能】

1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.

2.通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程

【过程与方法】

通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.

【情感态度】

在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.

【教学重点】

元二次方程根与系数之间的关系的运用

【教学难点】

一元二次方程根与系数之间的关系的运用

劈孰学日程

一、情境导入，初步认识

1.完成下列表格

方程

丫］

Xl*X2

-5.r+6=0

H4-10=0

-5

-3

-10

问题你发现了什么规律？

1用语言叙述你发现的规律：

（两根之和为一次项系数的相反数；两根之

积为常数项）

2设方程x2+px+q=0的两根为xi,X2，用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-

p,x1•x2=q）

2.完成下列表格

方程

篇］+玄工

X,*x2

2/-3咒-2=0

-1

3/+1=0

问题上面发现的结论在这里成立吗？

（不成立）

请完善规律：

①用语言叙述发现的规律：

（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比）

②设方程ax2+bx+c=0的两根为xi,X2,用式子表示你发现的规律.（xi+X2=-

—,Xi•X2=c）aa

、思考探究，获取新知

通过以上活动你发现了什么规律？

对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a^

0）这一规律是否成立？

试通过求根公式加以说明.

■2■■2

2b.b4acb.b4ac,b

ax+bx+c=0的两根％,x2,x1+x2=-,

2a2aa

xi•X2=

【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系,体会知识形成的过程，加深对知识的理解.

例1不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：

（1）x2-6x-15=0;

（2）3x2+7x-9=0;

（3）5x-1=4x2.

解:

（1）x1+x2=6,x1•x2=-15;

（2）x1+x2=-,x1•x2=-3;

【教学说明】本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x=-3代入方程先

求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.

例3已知a,B是方程x2-3x-5=o的两根，不解方程，求下列代数式的值

⑴令+*+用（3）a

-B

解:

（1）-y；

（2）l9；（3）泗或-29*

三、运用新知，深化理解

1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积

（1）x2-3x=15

（2）5x-1=4x

（3）x-3x+2=10

（4）4x2-144=0

（5）3x（x-1）=2（x-1）

（6）（2x-1）2=（3-x）2

2.两根均为负数的一元二次方程是（）

A.7x2-12x+5=0

B.6x-13x-5=0

C.4x2+21x+5=0

D.x+15x-8=0

【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.

【答案】1.

（1）xi+X2=3,x伙2=-15

（2）Xi+X2=0,XiX2=-1

（3）x计X2=3,xiX2=-8

（4）x汁X2=0,xiX2=-36

（5）Xi+X2=,X1X2=

（6）Xi+X2=-,X1X2=--

2.C

【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评•

四、师生互动，课堂小结

1.一元二次方程的根与系数的关系•

2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.

课后作业

1.布

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