北师大版八年级上册第七章74 平行线的性质教案.docx

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北师大版八年级上册第七章74平行线的性质教案

7.4　平行线的性质（教案）

教学目标

知识与技能：

会根据“两直线平行,同位角相等”证明“两直线平行,内错角相等”和“两直线平行,同旁内角互补”,并能简单地应用这些结论.

过程与方法：

了解性质定理与判定定理的联系,初步感受互逆的思维过程.

情感态度与价值观：

进一步理解证明的步骤、格式和方法,发展演绎

推理能力.

教学重难点

【重点】理解和简单应用平行线的性质定理.

【难点】运用公理、定理进行简单的推理,以及用几何语言进行表述.教学准备

【教师准备】问题探索和例题的教学用图.

【学生准备】复习平行线的判定定理.

教学过程

一、导入新课

导入一:

师:

同学们,上课前,老师在纸上画了一个∠A,准备用量角器测量它的度数时,因不小心将纸片撕破,只剩下如图所示的一部分,如果不能同时反向延长CD,EF的话,你能否利用所学的数学知识测出∠A的度数?

（多媒体展示）

（学生思考,互相交流解决方法）

生1:

根据两直线平行,同位角相等的知识,可以过C点作FE的平行线,构造∠A的同位角,则可以测出∠A的度数.

生2:

根据两直线平行,内错角相等的知识,也可以过C点作FE的平行线,构造∠A的内错角.

师:

同学们利用平行线的性质解决这个问题的想法太棒了!

那么,你知道这些性质是如何证明的吗?

这节课就让我们来探究这个问题.

（板书课题:

4　平行线的性质）

[设计意图]　通过趣味题导入,激发学生的探究知识的欲望,点燃学生思维的火花,使其进入最佳的学习状态.

导入二:

如图所示,工人在修一条高速公路时在前方遇到一座高山,为了降低施工难度,工程师决定绕过这座山,如果第一个弯是左拐30°,那么第二个弯应朝什么方向,才能不改变原来的方向?

[处理方式]　先给学生2分钟的时间自己探究,得出结论后小组讨论,最后选代表发言.学生观察,小组讨论,交流问题并发表见解,教师进一步引导学生分析,引导学生将这个问题如何转化成数学问题.在学生探究讨论的过程中,少部分学生可能对题意理解不透彻,此时教师可以结合实际问题加以引导,引导性语言如下:

（1）不改变方向,在数学中的理解应是什么;

（2）在这个问题中包含了什么问题;（3）如何将它转化为数学问题.

[设计意图]　通过实例,让学生从具体的实例中发现数学问题,进而寻求解决问题的方法,使学生懂得数学来源于现实生活,服务于现实生活,同时也调动了学生的积极性,提高了学生的兴趣.

2、新知构建

[过渡语]　上节课我们通过推理证得了平行线的判定定理,知道它们的条件是角的大小关系,其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换,那么得到的命题是真命题吗?

（1）、两直线平行,同位角相等

思路一

活动内容:

画出直线a的平行线b,结合画图过程思考:

画出的平行线被第三条直线c所截的同位角的关系是怎样的?

[处理方式]　本节证明平行线的性质定理,将性质定理“两直线平行,同位角相等”的证明作为选学内容,因此,第一部分以自学阅读的形式呈现,自学教材第175页内容（包括证明过程）,学有余力的学生可以思考探究:

应用平行线的性质定理“两直线平行,同位角相等”可以得出什么?

[设计意图]　学生在自学的过程中,理解平行线的性质,并明确两直线平行的性质定理“两直线平行,同位角相等”是推理论证后面两个性质定理的基础;“同位角相等”是在“两直线平行”的前提下才成立的,是平行线特有的性质.要避免一提到同位角就以为其相等的错误.

思路二

师:

我们先来证明定理:

两直线平行,同位角相等.你能否发现定理的条件是什么?

生:

两条平行直线被第三条直线所截.

师:

结论是什么?

生:

同位角相等.

师:

证明命题,要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意,可以把这个文字证明题转化为下列形式.

【课件展示】　

已知:

如图所示,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同位角.

求证:

∠1=∠2.

请同学们自主学习教材第175页“两直线平行,同位角相等”的证明过程.

（学生阅读思考,互相交流心得）

师:

利用这个定理,你能证明哪些熟悉的结论?

思路三

【问题】　

已知:

如图所示,直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.

求证:

∠1=∠2.

【思考】

（1）∠1和∠2在数量关系上有哪两种情况?

（2）过直线外一点有几条直线与这条直线平行?

[设计意图]为接下来用反证法证明上述定理作准备.

证明:

假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如图所示.

根据“同位角相等,两直线平行”,可知GH∥CD.

又因为AB∥CD,所以此时经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.

这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.

这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2.

【思考】　为什么不能按如下方法证明上述定理?

∵AB∥CD,

∴∠2=∠AMN.

又∵∠1=∠AMN,

∴∠1=∠2.

（2）、两直线平行,内错角相等;同旁内角互补

（多媒体出示）根据同位角相等可以判定两直线平行,反过来,如果两直线平行,同位角之间有什么关系呢?

内错角、同旁内角之间又有什么关系呢?

1.两条平行直线被第三条直线所截,同位角是相等的,那么内错角、同旁内角之间有什么关系呢?

∵a∥b（已知）,

∴∠1=∠2（两条直线平行,同位角相等）.

∵∠1=∠3（对顶角相等）,

∴∠2=∠3（等量代换）.

师:

由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢?

【学生活动】同学们积极举手回答问题.教师根据学生叙述,给出板书:

两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.

2.下面请同学们自己推导同旁内角是互补的,并归纳总结出平行线的第三条性质.请一名同学到黑板上板演,其他同学在练习本上完成.师生共同订正推导过程并写出第三条性质,形成正确板书.

∵a∥b（已知）,

∴∠1=∠2（两直线平行,同位角相等）.

∵∠1+∠4=180°（邻补角的定义）,

∴∠2+∠4=180°（等量代换）,

即两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,简单说成“两直线平行,同旁内角互补”.

师:

我们知道了平行线的性质,在今后我们经常要用它们去解决、论述一些问题,所需要知道的条件是两条直线平行,才有同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,即它们的符号语言分别为:

∵a∥b（已知）,

∴∠1=∠2（两直线平行,同位角相等）.

∵a∥b（已知）,

∴∠2=∠3（两直线平行,内错角相等）.

∵a∥b（已知）,

∴∠2+∠4=180°（两直线平行,同旁内角互补）.

（板书在三条性质的对应位置上）

[处理方式]在完成“两直线平行,同位角相等”的证明后,要求学生自主证明“两直线平行,内错角相等”“两直线平行,同旁内角互补”,然后将学生的证明过程整理出来,与教材中的进行对比,感受证明的过程和规范格式.通过对平行线性质的探索,使学生对证明的步骤、格式有更进一步的认识,认识证明的必要性.引导学生使用符号语言,充分调动学生的主动性和积极性,发展学生的符号感.

[设计意图]在前面复习引入的基础上,通过学生的观察、分析、讨论,此时学生已能够进行推理,在这里教师不必包办代替,而应充分调动学生的主动性和积极性,进而培养学生分析问题的能力,在学生有成就感的同时也激励了学生的学习兴趣.

（3）、两类定理的比较

两条直线被第三条直线所截.

平行线的判定

平行线的性质

条件

结论

条件

结论

同位角相等

两直线平行

两直线平行

同位角相等

内错角相等

两直线平行

两直线平行

内错角相等

同旁内角互补

两直线平行

两直线平行

同旁内角互补

　　[处理方式]　引导学生分组探究,并明确平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反.性质是由条件“平行”得到结论“角的关系”;判定是由条件“角的关系”得到结论“平行”.

[设计意图]　初步建立平行线的性质定理和判定定理之间的联系,初步感受互逆的思维过程.具体为:

在判定中,把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提,角相等或互补是已知,结论是两直线平行,则判定是由“角相等或互补”推理论证“两直线平行”.在性质中,两直线平行是条件,结论是角相等或互补,性质是用来说明两个角相等或互补的,即由“两直线平行”推理论证“角相等或互补”.

四、平行线的传递性

如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.

已知:

直线a,b,c被直线d所截,且a∥b,c∥b.

求证:

a∥c.

[处理方式]　学生自行尝试解答,小组合作探究后,对比不同的解法,并推荐一人回答问题,这样的氛围,激发了学生强烈的学习兴趣.

[设计意图]　对学生中出现的不同解法给予肯定,培养学生的解题能力.

议一议:

完成一个定理的证明,需要哪些环节?

与同伴进行交流.

[处理方式]　引导学生回顾证明过程,梳理证明活动中的经验,小组尝试整理证明的步骤.

教师强调:

（1）证明的一般步骤:

①理解题意;②根据题意正确画出图形;③结合图形,写出“已知”和“求证”;④分析题意,探索证明的思路;⑤依据寻求的思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;⑥检查表达过程是否正确、完善.

（2）证明的思路:

①可以从求证出发向已知追溯,也可以由已知向结论探索,还可以从已知和结论两个方向同时出发,互相接近.②对于用文字叙述的命题的证明,要先分清命题的条件和结论,然后根据题意画出图形,写出已知和求证,证明即可.

[设计意图]　使学生明确证明的步骤与思路,能更好地完成几何证明题.

[知识拓展]　该定理的主要作用是判断两个角相等,即由两条直线之间的“位置关系”转化为两角之间的“数量关系”,能正确找到内错角是证明该定理的重点.

如图所示,AB∥CD,∠CDE=140°,则∠A的度数为（　　）

A.140°B.60°C.50°D.40°

〔解析〕　∵∠CDE=140°,∴∠ADC=180°-140°=40°,∵AB∥CD（已知）,∴∠A=∠ADC=40°（两直线平行,内错角相等）.故选D.

三、课堂总结

四、课堂练习

1.平行线的性质定理有:

　　　　,　　　　,　　　　. 

答案:

两直线平行,同位角相等　两直线平行,内错角相等　两直线平行,同旁内角互补

2.如图所示,∠4=∠C,∠1=∠2,求证BD平分∠ABC.

证明:

∵∠4=∠C,∴AD∥BC,∴∠2=∠3.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,即BD平分∠ABC.

3.如图所示,CD∥OB,EF∥AO,求证∠1=∠O.

证明:

∵CD∥OB,∴∠1=∠2,又∵EF∥AO,∴∠2=∠O,∴∠1=∠O.

五、板书设计

4　平行线的性质

探索1　两直线平行,同位角相等

探索2　两直线平行,内错角相等

探索3　两直线平行,同旁内角互补

探索4　平行于同一条直线的两条直线平行

六、布置作业

（1）、教材作业

【必做题】教材随堂练习.

【选做题】教材习题7.5第4题.

（2）、课后作业

【基础巩固】1.如图所示,由AB∥CD能得到∠1=∠2的是（　　）

2.如图所示,已知AB∥CD,E是AB上一点,ED平分∠BEC交CD于D,∠BEC=100°,则∠D的度数是（　　）

A.100°B.80°C.60°D.50°

3.如图所示,AB∥CD,DB⊥BC于B,∠2=50°,则∠1的度数（　　）

A.40°B.50°C.60°D.140°

4.如图所示,AB∥CD,EF分别交AB,CD于M,N,∠EMB=50°,MG平分∠BMF,MG交CD于G,则∠1等于（　　）

A.65°B.50°C.115°D.120°

5.如图所示,AB∥EF∥DC,EG∥BD,则图中与∠1相等的角（∠1除外）有（　　）

A.6个B.5个C.4个D.2个

【能力提升】6.如图所示,已知∠1与∠2互补,∠3=100°,求∠4的度数.

7.如图所示,直线AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于P.求证∠P=90°.

8.如图所示,C,P,D在一条直线上,∠BAP与∠APD互补,∠1=∠2.求证∠E=∠F.

【拓展探究】

9.如图所示,AB∥ED,∠CAB=135°,∠ACD=80°.求∠CDE的度数.

【答案与解析】

1.B

2.D（解析:

根据角平分线的定义可得∠BED=50°,再根据平行线的性质可得∠D=∠BED=50°.）

3.A

4.A（解析:

综合运用平行线的性质和三角形内角和定理求出∠1的度数.）

5.B

6.解:

∵∠1+∠2=180°,∠2=∠5,∴∠1+∠5=180°,∴a∥b,∴∠3=∠4,∴∠4=100°.

7.证明:

∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.又∵EP,FP分别平分∠BEF,∠DFE,∴∠BEF=2∠PEF,∠DFE=2∠PFE.∴∠PEF+∠PFE=90°,∴∠P=90°.

8.证明:

∵∠BAP+∠APD=180°,∴AB∥CD.∴∠BAP=∠CPA.∵∠1=∠2,∴∠EAP=∠FPA,∴AE∥FP,∴∠E=∠F.

9.解:

如图所示,过点C作CF∥AB,∵CF∥AB,∴∠A+∠ACF=180°（两直线平行,同旁内角互补）.而∠A=135°,则∠ACF=45°,∴∠FCD=∠ACD-∠ACF=80°-45°=35°.又∵CF∥AB,AB∥ED,∴CF∥DE,∴∠FCD=∠CDE（两直线平行,内错角相等）,∴∠CDE=35°.