整理导数微积分综合.docx
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整理导数微积分综合
【导数】
（1）（u ± v）′＝ u′± v′
（2）（u v）′＝ u′v ＋ u v′
（记忆方法：
u v ＋ u v ，分别在“u”上、“v”上加′）
（3）（c u）′＝ c u′（把常数提前）
╭ ｕ ╮′ u′v － u v′
（4）│——│ ＝ ——————— （ v ≠ 0 ）
╰ ｖ ╯ v²
【关于微分】
左边：
d打头
右边：
dx置后
再去掉导数符号′即可
【微分】
设函数ｕ＝u（x），ｖ＝v（x）皆可微，则有：
（1）d（u ± v）＝ du ± dv
（2）d（u v）＝ du·v ＋ u·dv
╭ ｕ ╮ du·v － u·dv
（3）d│——│ ＝ ——————— （ v ≠ 0 ）
╰ ｖ ╯ v²
（5）复合函数（由外至里的“链式法则”）
dy
—— ＝ f′（u）·φ′（x）
dx
其中y ＝ f（u），u ＝ φ′（x）
（6）反函数的导数：
1
[ fˉ¹（y）]′＝ —————
f′（x）
其中， f′（x）≠ 0
【导数】
注：
【】里面是次方的意思
（1）常数的导数：
（c）′＝ 0
（2）x的α次幂：
╭ 【α】╮′ 【α － 1】
│ｘ │ ＝ αｘ
╰ ╯
（3）指数类：
╭ 【x】╮′ 【x】
│ａ │ ＝ ａ lna （其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）
╰ ╯
╭ 【x】╮′ 【x】
│ｅ │ ＝ ｅ
╰ ╯
（4）对数类：
╭ ╮′ 1 1
│log ｘ│ ＝ ——log ｅ ＝ ——— （其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）
╰ a ╯ x a xlna
1
（lnx）′＝ ——
x
（5）正弦余弦类：
（sinx）′＝ cosx
（cosx）′＝ －sinx
【微分】
注：
【】里面是次方的意思
（1）常数的微分：
dC ＝ 0
（2）x的α次幂：
【α】 【α － 1】
dｘ ＝ αｘ dx
（3）指数类：
【x】 【x】
dａ ＝ ａ lnadx （其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）
【x】 【x】
dｅ ＝ ｅ dx
（4）对数类：
1 1
dlog ｘ ＝ ——log ｅ ＝ ———dx （其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）
a x a xlna
1
dlnx ＝ ——dx
x
（5）正弦余弦类：
dsinx ＝ cosxdx
dcosx ＝ －sinxdx
【导数】
（6）其他三角函数：
1
（tanx）′＝ ———— ＝ sec²x
cos²x
1
（cotx）′＝ － ———— ＝ －csc²x
sin²x
（secx）′＝ secx·tanx
（cscx）′＝ －cscx·cotx
（7）反三角函数：
１
（arcsinx）′＝ ——————— （－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²
１
（arccosx）′＝ － ——————— （－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²
１
（arctanx）′＝ —————
1＋x²
１
（arccotx）′＝ － —————
1＋x²
【微分】
（6）其他三角函数：
1
dtanx ＝ ———— ＝ sec²xdx
cos²x
1
dcotx ＝ － ———— ＝ －csc²xdx
sin²x
dsecx ＝ secx·tanxdx
dcscx ＝ －cscx·cotx dx
（7）反三角函数：
１
darcsinx ＝ ———————dx （－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²
１
darccosx ＝ － ———————dx （－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²
１
darctanx ＝ —————dx
1＋x²
１
darccotx ＝ － —————dx
1＋x²
导数的应用
（一）—— 中值定理
特殊形式
【拉格朗日中值定理】—————→【罗尔定理】
【拉格朗日中值定理】
如果函数y ＝ f（x）满足：
（1）在闭区间〔a ，b〕上连续；
（2）在开区间（a ，b）上可导。
则：
在（a ，b）内至少存在一点ξ（ a ＜ ξ ＜ b ），使得
f（b）－ f（a）
f′（ξ）＝ ————————
b － a
【罗尔定理】
如果函数y ＝ f（x）满足：
（1）在闭区间〔a ，b〕上连续；
（2）在开区间（a ，b）上可导；
（3）在区间端点的函数值相等，即f（a）＝ f（b）。
则：
在（a ，b）内至少存在一点ξ（ a ＜ ξ ＜ b ），使得f′（ξ）＝0。
导数的应用
（二）—— 求单调性、极值（辅助作图）
【单调性】
（1）如果x ∈（a ，b）时，恒有f′（x）＞ 0 ，
则f（x）在（a ，b）内单调增加；
（2）如果x ∈（a ，b）时，恒有f′（x）＜ 0 ，
则f（x）在（a ，b）内单调减少。
【极值】
若函数f（x）在点x₁处可导，且f（x）在x₁处取得
极值，则f′（x₁）＝ 0 。
导数的应用（三）—— 曲线的凹向与拐点（辅助作图 ）
【凹向】
设函数y ＝ f（x）在区间（a ，b）内具有二阶导数，
（1）若当x∈（a ，b）时，恒有f〃（x）＞ 0 ，
则曲线y ＝ f（x）在区间（a ，b）内上凹；
（2）若当x∈（a ，b）时，恒有f〃（x）＜ 0 ，
则曲线y ＝ f（x）在区间（a ，b）内下凹。
【拐点】
曲线上凹与下凹的分界点。
第一类：
常数的积分
∫0dx ＝ C
∫dx ＝ x ＋ C （1的积分）
∫kdx ＝ kx ＋ C
第二类：
x的α次幂的积分
【α】 1 【α＋1】
∫x dx ＝ ——— x ＋ C （α ≠ 1）
α＋1
第三类：
倒数的积分 【注意：
绝对值】
1
∫——dx ＝ ln|x| ＋ C （x ≠ 0）
x
第四类：
指数的积分
【x】 1 【x】
∫a dx ＝ ——— a ＋ C （a ＞ 0 ，a ≠ 1）
lna
【x】 【x】
∫e dx ＝ e ＋ C
第五类：
三角函数的积分
∫sinxdx ＝ －cosx ＋ C
∫cosxdx ＝ sinx ＋ C
∫tanxdx ＝ －ln|cosx| ＋ C 【选记】
∫cotxdx ＝ ln|sinx| ＋ C 【选记】
∫sec²xdx ＝ tanx ＋ C
∫csc²xdx ＝ －cotx ＋ C
第六类：
结果为反三角函数
1
∫————dx ＝ arcsinx ＋ C ＝ －arccosx ＋ C₁
/￣￣￣
√ 1－x²
1
∫————dx ＝ arctanx ＋ C ＝ －arccotx ＋ C₁
1＋x²
b b
∫ f（x）dx ＝ F（b）－ F（a）＝ F|
a a
导数表
基本函数推到过程
这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程：
⒈y=c（c为常数）y'=0
⒉y=x^ny'=nx^（n-1）3.y=a^xy'=a^xlnay=e^xy'=e^x
⒋y=logax（a为底数，x为真数）y'=1/x*lna
y=lnxy'=1/x
⒌y=sinxy'=cosx
⒍y=cosxy'=-sinx
⒎y=tanxy'=1/cos^2x
⒏y=cotxy'=-1/sin^2x
⒐y=arcsinxy'=1/√（1-x^2）
⒑y=arccosxy'=-1/√（1-x^2）
⒒y=arctanxy'=1/（1+x^2）
⒓y=arccotxy'=-1/（1+x^2）
⒔y=u^v==>y'=v'*u^v*lnu+u'*u^（v-1）*v
引用的常用公式
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
⒈y=f[g（x）],y'=f'[g（x）]·g'（x）『f'[g（x）]中g（x）看作整个变量，而g'（x）中把x看作变量』
⒉y=u/v,y'=（u'v-uv'）/v^2
⒊y=f（x）的反函数是x=g（y），则有y'=1/x'
编辑本段推导过程
证：
1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：
y=c，△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。
⒉这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到y=e^xy'=e^x和y=lnxy'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
⒊y=a^x,
△y=a^（x+△x）-a^x=a^x（a^△x-1）
△y/△x=a^x（a^△x-1）/△x
如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。
由设的辅助函数可以知道：
△x=loga（1+β）。
所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β
显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。
而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。
把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x（a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。
可以知道，当a=e时有y=e^xy'=e^x。
⒋y=logax
△y=loga（x+△x）-logax=loga（x+△x）/x=loga[（1+△x/x）^x]/x
△y/△x=loga[（1+△x/x）^（x/△x）]/x
因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，所以lim△x→0loga（1+△x/x）^（x/△x）=logae，所以有
lim△x→0△y/△x=logae/x。
可以知道，当a=e时有y=lnxy'=1/x。
这时可以进行y=x^ny'=nx^（n-1）的推导了。
因为y=x^n，所以y=e^ln（x^n）=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx·（nlnx）'=x^n·n/x=nx^（n-1）。
⒌y=sinx
△y=sin（x+△x）-sinx=2cos（x+△x/2）sin（△x/2）
△y/△x=2cos（x+△x/2）sin（△x/2）/△x=cos（x+△x/2）sin（△x/2）/（△x/2）
所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos（x+△x/2）·lim△x→0sin（△x/2）/（△x/2）=cosx
⒍类似地，可以导出y=cosxy'=-sinx。
⒎y=tanx=sinx/cosx
y'=[（sinx）'cosx-sinx（cos）']/cos^2x=（cos^2x+sin^2x）/cos^2x=1/cos^2x
⒏y=cotx=cosx/sinx
y'=[（cosx）'sinx-cosx（sinx）']/sin^2x=-1/sin^2x
⒐y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
⒑y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
⒒y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
⒓y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
⒔联立：
①（ln（u^v））'=（v*lnu）'
②（ln（u^v））'=ln'（u^v）*（u^v）'=（u^v）'/（u^v）
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
⒋y=u土v,y'=u'土v'
⒌y=uv,y=u'v+uv'
均能较快捷地求得结果。
编辑本段公式
⒈y=f【g（x）】，y'=f'【g（x）】·g'（x）『f'【g（x）】中g（x）看作整个变量，而g'（x）中把x看作变量』
⒉y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
⒊y=f（x）的反函数是x=g（y），则有y'=1/x'
证：
1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：
y=c，⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
⒉这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到y=e^xy'=e^x和y=lnxy'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
⒊y=a^x,
⊿y=a^（x+⊿x）-a^x=a^x（a^⊿x-1）
⊿y/⊿x=a^x（a^⊿x-1）/⊿x
如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
由设的辅助函数可以知道：
⊿x=loga（1+β）。
所以（a^⊿x-1）/⊿x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β
显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。
而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x（a^⊿x-1）/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道，当a=e时有y=e^xy'=e^x。
（一）建设项目环境影响评价的分类管理 ⒋y=logax
⊿y=loga（x+⊿x）-logax=loga（x+⊿x）/x=loga【（1+⊿x/x）^x】/x
2.环境保护行政法规 ⊿y/⊿x=loga【（1+⊿x/x）^（x/⊿x）】/x
因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga（1+⊿x/x）^（x/⊿x）=logae，所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。
可以知道，当a=e时有y=lnxy'=1/x。
这时可以进行y=x^ny'=nx^（n-1）的推导了。
因为y=x^n，所以y=e^ln（x^n）=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx·（nlnx）'=x^n·n/x=nx^（n-1）。
⒌y=sinx
⊿y=sin（x+⊿x）-sinx=2cos（x+⊿x/2）sin（⊿x/2）
⊿y/⊿x=2cos（x+⊿x/2）sin（⊿x/2）/⊿x=cos（x+⊿x/2）sin（⊿x/2）/（⊿x/2）
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos（x+⊿x/2）·lim⊿x→0sin（⊿x/2）/（⊿x/2）=cosx
⒍类似地，可以导出y=cosxy'=-sinx。
B.环境影响登记表 ⒎y=tanx=sinx/cosx
y'=【（sinx）'cosx-sinx（cos）'】/cos^2x=（cos^2x+sin^2x）/cos^2x=1/cos^2x
⒏y=cotx=cosx/sinx
2.环境影响评价技术导则 y'=【（cosx）'sinx-cosx（sinx）'】/sin^2x=-1/sin^2x
3.划分评价单元 ⒐y=arcsinx
建设项目环境影响评价技术服务机构（以下简称“环评机构”）应当按照《建设项目环境影响评价资质管理办法》的规定申请建设项目环境影响评价资质（以下简称“环评资质”），经国家环境保护部审查合格，取得《建设项目环境影响评价资质证书》后，方可在环评证书规定的资质等级和评价和范围内从事环境影响评价技术服务。
x=siny
4.环境影响评价工作等级的调整 x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
（三）安全预评价程序 ⒑y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
⒒y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
疾病成本法和人力资本法将环境污染引起人体健康的经济损失分为直接经济损失和间接经济损失两部分。
直接经济损失有：
预防和医疗费用、死亡丧葬费；间接经济损失有：
影响劳动工时造成的损失（包括病人和非医务人员护理、陪住费）。
这种方法一般通常用在对环境有明显毒害作用的特大型项目。
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
1.建设项目环境影响评价机构的资质管理 ⒓y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
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