人教版高中物理必修一第12讲共点力作用下物体的平衡问题教师版.docx
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人教版高中物理必修一第12讲共点力作用下物体的平衡问题教师版
共点力作用下物体的平衡问题
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1.明确共点力平衡的条件；
2.学会三角形定则和平行四边形定则；
3.掌握平衡条件下力的动态变化专题；
4.掌握平衡条件下力的最值问题；
5.熟练掌握与这部分知识相关的数学手段（平面几何、正弦定理等）。
一、共点平衡的两种状态：
1、静态平衡：
v=0，a=0
2、动态平衡：
v≠0，a=0
说明：
（1）在竖直面内摆动的小球，摆到最高点时，物体做竖直上抛运动到达最高点时，虽然速度都为零，但此时a≠0，不是平衡态。
（2）物理中的缓慢移动可认为物体的移动速度很小，趋于0，物体处于动态平衡状态。
二、共点力作用下物体的平衡条件：
合外力为零，即F合=0，在正交分解法时表达式为：
ΣFx=0；ΣFy=0。
在静力学中，若物体受到三个共点力的作用而平衡，则这三个力矢量构成一封闭三角形，在讨论极值问题时，这一点尤为有用。
具体地说：
1.共点平衡（正交分解平衡）；
2.杠杆平衡；
3.多个力平衡时，力的延长线相交于一点（比较难）。
三、求解共点力作用下物体平衡问题的解题步骤：
1.确定研究对象；
2.对研究对象进行受力分析，并画受力图；
3.据物体的受力和已知条件，采用力的合成、分解、图解、正交分解法，确定解题方法；
4.解方程，进行讨论和计算。
四、可能涉及到的解题方法；
1.几何法（矢量三角形或平行四边形；正弦定理；三角函数；相似三角形法等）；
2.整体法、隔离法；
3.函数法；
4.极值法。
类型一：
整体法、隔离法静态分析
例1.在粗糙水平面上放着一个三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个物体，m1>m2，如图所示，若三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块（）
A．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右
B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左
C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m1、m2、θ1、θ2的数值均未给出
D．没有摩擦力作用
解析：
解法一（隔离法）：
把三角形木块隔离出来，它的两个斜面上分别受到两木块对它的压力FN1、FN2，摩擦力F1、F2。
由两木块平衡条件知，斜面对木块的支持力和摩擦力的合力竖直向上，大小等于其重力大小。
因此在每一个斜面上，木块对斜面的压力和摩擦力的合力竖直向下，而没有水平分量，所以木块在水平方向无滑动趋势，因此不受地面的摩擦力作用。
解法二（整体法）：
由于三角形木块和斜面上的两物体都静止，可以把它们看成一个整体，如右图所示，竖直方向受到重力（m1+m2+M）g和支持力FN作用处于平衡状态，水平方向无任何滑动趋势，因此不受地面的摩擦力作用。
例2.如图所示，重为mg的均匀链条挂在等高的两钩上，链条悬挂处与水平方向成θ角，试求：
（1）链条两端的张力大小；
（2）链条最低处的张力大小。
解析：
（1）在求链条两端的张力时，可把链条当做一个质点处理，两边受力具有对称性使两端点的张力F大小相等，受力分析如图甲所示。
取链条整体为研究对象。
由平衡条件得竖直方向2Fsinθ=mg，
所以链条两端的张力为F=
。
（2）求链条最低处张力时，可将链条一分为二，取一半链条为研究对象。
受力分析如图乙所示，由平衡条件得水平方向所受力为
F′=Fcosθ=
cosθ=
。
例3.有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑。
AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。
现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是（）
A．FN不变，f变大B．FN不变，f变小
C．FN变大，f变大D．FN变大，f变小
解析：
以两环和细绳整体为对象，可知竖直方向上始终二力平衡，FN=2mg不变；以Q环为对象，如图2-4-22所示，在重力、细绳拉力F和OB弹力N作用下平衡，设细绳与竖直方向的夹角为α，则N=mgtanα，当P环向左移的过程中α将减小，N也将减小。
再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的弹力N和OA对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小。
答案B正确。
类型二：
动态分析——三力平衡
第一种：
三个力平衡，一个大小方向都不变，一个仅方向不变，一个都变。
解题方法：
三角形定则，或者平行四边形定则。
例4.如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α。
在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态，今使板与斜面的夹角β缓慢增大至水平，在这个过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？
解析：
取球为研究对象，球所受三个力构成封闭的三角形，当挡板逆时针转动时，FN2的方向也逆时针转动，作出如图所示的动态矢量三角形。
由图可见，FN1随β增大而始终减小，FN2随β增大先减小后增大。
即球对斜面的压力FN1'随β增大而减小。
球对挡板的压力FN2'在β＜90°时，随β增大而减小；在β＞90°随β增大而增大；β=90°时球对挡板的压力最小。
第二种：
三个力平衡，一个大小方向不变，另两个大小方向都变。
解题方法：
平面几何法（相似三角形、圆周角等）。
例5.一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。
现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是（）
A．FN先减小，后增大B．FN始终不变
C．F先减小，后增大D．F始终不变
解析：
取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力（大小为F），BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力（大小为G）的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图2-4-13所示，得到一个力三角形（如图中画斜线部分），此力三角形与几何三角形OBA相似。
设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得
=
=
，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小。
故B正确。
例6.如图所示，重为G的物体用两根绳子OA、OB悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针缓慢转过90°，始终保持α角大小不变，且物体始终静止，绳OA的拉力为T1，绳OB的拉力为T2，则在此旋转过程中不可能发生的是（ ）
A．T1先减小后增大
B．T1先增大后减小
C．T2逐渐减小
D．T2最终变为零
解析：
如左图所示，把G、T1和T2三个力建立一个矢量三角形，由平面几何知识可知，若把G固定，旋转过程中，由于角度不变，三角形的顶点的轨迹是个圆。
可知，T2逐渐减小，直至最后变为零，而T1先增大后减小，所以不可能的只有A选项。
选A。
类型三：
结合力矩平衡判断
例7.如图，两个质量分别为m、4m的小球A、B之间用轻杆固结，并通过长为L的轻绳挂在光滑的定滑轮上，求系统平衡时，OA、OB段绳长各为多少？
解析：
解法一（相似三角形）：
分别以A、B为研究对象，作出受力图。
此题中杆子处于自由状态，故其杆子的弹力必沿杆子的方向。
而同一根绳，由滑轮分开，两侧拉力相等，即T=T'，由力三角形与几何三角形相似得：
=
，
=
解得OA=4OB；
又OA+OB=L，故OA=
L，OB=
L。
解法二（力矩平衡）：
系统平衡，AB两球的力矩必然平衡；而且两绳对滑轮的力，水平方向必须平衡，所以可以知OA和OB两绳与水平方向的夹角θ相等；
如图，根据杠杆平衡原理：
mg·OC=4mg·OD
mg·OAcosθ=4mg·OBcosθ
解得：
OA=4OB
又OA+OB=L
所以OA=
L，OB=
L。
类型四：
利用正交分解、三角函数处理平衡问题
例8.在机械设计中亦常用到下面的力学原理，如图8所示，只要使连杆AB与滑块m所在平面间的夹角θ大于某个值，那么，无论连杆AB对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称之为“自锁”现象。
为使滑块能“自锁”，θ应满足什么条件？
（设滑块与所在平面间的动摩擦因数为μ）
解析：
滑块m的受力分析如图所示，将力F分别在水平和竖直两个方向分解，则：
在竖直方向上：
N=mg+Fsinθ
在水平方向上：
Fcosθ=f≤μN
由以上两式得：
Fcosθ≤μ（mg+Fsinθ）
因为力F可以很大，所以上式可以写成：
Fcosθ≤μFsinθ
故θ应满足的条件为θ≥arctan
基础演练
1.（2018北京朝阳高一上期末）有两个大小分别为3N和4N的共点力，它们合力的大小可能是（ ）
A．0B．4NC．8ND．12N
答案：
B
2.（2018北京昌平高一上期末）如图所示，一倾斜木板上放一质量为m物体，当板的倾角θ逐渐增大时，物体始终保持静止状态，则物体所受（ ）
A．重力变大B．支持力变大C．摩擦力变大D．合外力变大
答案：
C
3.（2018北京西城高一上期末）如图所示，在水平地面上放着斜面体B，物体A置于斜面体B上。
一水平向右的力F作用于物体A。
地面对斜面体B的支持力和摩擦力分别用N和f表示。
若力F逐渐变大的过程中，两物体始终保持静止状态。
则此过程中（ ）
A．N变大B．N不变C．f变大D．f不变
答案：
C
4.（2018北京重点中学高一上期中）如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。
一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为N，OP与水平面的夹角为θ。
下列关系正确的是（ ）
A．F=
B．F=mgtanθC．N=
D．N=mgtanθ
答案：
A
5.如图2-4-26所示，A、B两物体的质量分别是mA和mB，而且mA＞mB，整个系统处于静止，滑轮的质量和一切摩擦不计，如果绳的一端由P点缓慢向右水平移动到Q点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ如何变化？
（）
A．物体A的高度升高，θ角变小
B．物体A的高度升高，θ角不变
C．物体A的高度不变，θ角变大
D．物体A的高度降低，θ角变小
答案：
B
6.如图所示，一个重为5N的大砝码，用细线悬挂在O点，现在用力F拉法码，使悬线偏离竖直方向30°时处于静止状态，此时所用拉力F的最小值为（）
A．5.0NB．2.5NC．8.65ND．4.3N
答案：
B
7.如图所示，用绳索将重球挂在墙上，不考虑墙的摩擦。
如果把绳的长度加一些，则球对绳的拉力F1和球对墙的压力F2的变化情况是（）
A．F1增大，F2减小
B．F1减小，F2增大
C．F1和F2都减小
D．F1和F2都增大
答案：
C
8.物体静止在斜面上，若斜面倾角增大（物体仍静止），物体受到的斜面的支持力和摩擦力的变化情况是（）
A．支持力增大，摩擦力增大B．支持力增大，摩擦力减小
C．支持力减小，摩擦力增大D．支持力减小，摩擦力减小
答案：
C
巩固提高
1.如图2-4-23所示，长为5m的细绳两端分别系于竖立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B。
绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时求绳中张力
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