第三部分数列.docx

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第三部分数列

数列口诀

等差等比两数列，通项公式Ｎ项和。

两个有限求极限，四则运算顺序换。

数列问题多变幻，方程化归整体算。

数列求和比较难，错位相消巧转换，

取长补短高斯法，裂项求和公式算。

归纳思想非常好，编个程序好思考：

一算二看三联想，猜测证明不可少。

还有数学归纳法，证明步骤程序化：

首先验证再假定，从Ｋ向着K加１，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。

数列

（1）数列的概念和简单表示法

①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．

②了解数列是自变量为正整数的一类函数．

（2）等差数列、等比数列

①理解等差数列（通项公式10、09，08，07）（10、09，08，07）、等比数列（通项公式（11、09、07）（11、09、07）的概念．

②掌握等差数列（和10、09、07）（10、09、07）、等比数列（和11、08、07）（11、08、07）的通项公式与前

项和公式．（单项和和的关系09、08、）（09、08、）

③能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系（09,08）（09,08），并能用有关知识解决相应的问题．

④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．

第1讲　数列的概念与简单表示法

【2013年高考会这样考】

1．以数列的前几项为背景，考查“归纳—推理”思想．

2．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项．

3．考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知Sn与an的关系求an等．

【复习指导】

1．本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主．

2．对于归纳通项公式的题目，归纳出通项后要进行验证．

3．熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用．

基础梳理

1．数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．

2．数列的分类

分类原则

类型

满足条件

按项数分类

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

按项与项间的大小关系分类

递增数列

an＋1＞an

其中n∈N＋

递减数列

an＋1＜an

常数列

an＋1＝an

按其他标准分类

有界数列

存在正数M，使|an|≤M

摆动数列

an的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．

4．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an＝f（n）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

5．Sn与an的关系

已知Sn，则an＝

在数列{an}中，若an最大，则

若an最小，则

一个联系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．

两个区别

（1）若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性．

（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现．

三种方法

由递推式求通项an的方法：

（1）an＋1－an＝f（n）型，采用叠加法；

（2）

＝f（n）型，采用叠乘法；

（3）an＋1＝pan＋q（p≠0,1，q≠0）型，采用待定系数法转化为等比数列解决．

第2讲　等差数列及其前n项和

【2013年高考会这样考】

1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．

2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．

【复习指导】

1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．

2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．

基础梳理

1．等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．

2．等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋（n－1）d.

3．等差中项

如果A＝

，那么A叫做a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．

（2）若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，

则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N*）．

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．

（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

（5）S2n－1＝（2n－1）an.

（6）若n为偶数，则S偶－S奇＝

；

若n为奇数，则S奇－S偶＝a中（中间项）．

5．等差数列的前n项和公式

若已知首项a1和末项an，则Sn＝

，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋

d.

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝

n2＋

n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）．

7．最值问题

在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．

一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①

Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②

①＋②得：

Sn＝

.

两个技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

（1）若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….

（2）若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

四种方法

等差数列的判断方法

（1）定义法：

对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；

（2）等差中项法：

验证2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N*）都成立；

（3）通项公式法：

验证an＝pn＋q；

（4）前n项和公式法：

验证Sn＝An2＋Bn.

注　后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

第3讲　等比数列及其前n项和

【2013年高考会这样考】

1．以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定．

2．考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用．

【复习指导】

本讲复习时，紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前n项和公式，求和时要注意验证公比q是否为1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用．

基础梳理

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.

3．等比中项

若G2＝a·b（ab≠0），那么G叫做a与b的等比中项．

4．等比数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am·qn－m，（n，m∈N＋）．

（2）若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N＋），则ak·al＝am·an.

（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），

，{a

}，{an·bn}，

仍是等比数列．

（4）公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

5．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝

＝

.

一个推导

利用错位相减法推导等比数列的前n项和：

Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，

同乘q得：

qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，

两式相减得（1－q）Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝

（q≠1）．

两个防范

（1）由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

（2）在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．

三种方法

等比数列的判断方法有：

（1）定义法：

若

＝q（q为非零常数）或

＝q（q为非零常数且n≥2且n∈N*），则{an}是等比数列．

（2）中项公式法：

在数列{an}中，an≠0且a

＝an·an＋2（n∈N*），则数列{an}是等比数列．

（3）通项公式法：

若数列通项公式可写成an＝c·qn（c，q均是不为0的常数，n∈N*），则{an}是等比数列．

注：

前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．

第4讲　数列求和

【2013年高考会这样考】

1．考查非等差、等比数列求和的几种常见方法．

2．通过数列求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力．

【复习指导】

1．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式．

2．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．

基础梳理

数列求和的常用方法

1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和

（1）等差数列的前n项和公式：

Sn＝

＝na1＋

d；

（2）等比数列的前n项和公式：

Sn＝

2．倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

5．分组转化求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．

6．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝（100＋99）＋（98＋97）＋…＋（2＋1）＝5050.

一种思路

一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．

两个提醒

在利用裂项相消法求和时应注意：

（1）在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；

（2）在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．

三个公式

（1）

＝

－

；

（2）

＝

；

（3）

＝

－

.

第5讲　数列的综合应用

【2013年高考会这样考】

1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．

2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力．

【复习指导】

1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算．

2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．

3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法．

基础梳理

1．等比数列与等差数列比较表

不同点

相同点

等差数列

（1）强调从第二项起每一项与前项的