完整版高等代数北大版习题参考答案.docx
《完整版高等代数北大版习题参考答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版高等代数北大版习题参考答案.docx（50页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
完整版高等代数北大版习题参考答案
第九章欧氏空间
1.设A=〔aij是一个n阶正定矩阵,而
:
=〔Xi,X2,,Xn〕,:
=〔y〔,y2,,yn〕,
在Rn中定义内积〔口,肉=aAF',
1〕证实在这个定义之下,Rn成一欧氏空间；
2〕求单位向量
谷1=〔1,0,…,0〕,&2=〔0,1,…,0〕,...,&n=〔0,0L,1〕
的度量矩阵；
3〕具体写出这个空间中的柯西一布湿柯夫斯基不等式.
解1〕易见〔口,°〕=aAP是R上的一个二元实函数,且
〔1〕〔：
.,：
〕_:
上-一〔■-〕一_上：
一-上：
_〔：
：
〕
⑵〔kct,E〕=〔ka〕AE,=k〔EAo〔〕=k〔P,ct〕,
⑶〔J-'K,〕=〔、"F〕二二t一上一--=〔：
•,〕〔■,〕,
（4）（二,二）=「--"=：
ajXiyj,
（a,a）=0.
2〕设单位向量
的度量矩阵为B=〔bij〕,那么
因此有
4〕由定义,知
〔c〔,E〕=£ajXiyjg|=W,c〔〕=fcajXiXj|E|=J〔0,0〕=Ea,jy,yj
i,j,Vi,j,Vi,j
故柯西一布湿柯夫斯基不等式为
£ajXiyj壬Eaijxp^Za0y,yj
i,jVi,ji,j
2.在R4中,求"之间<"?
〔内积按通常定义〕,设:
1:
=〔2,1,3,2〕'=〔1,2,-2,1〕
1〕,
2：
=〔1,2,2,3〕'=〔3,1,-5,1〕
2〕,,
3〕«=〔1,1,1,2〕,P=〔3,2,—1,0〕.
解1〕由定义,得
〔：
1〕=21123〔-1〕21=0
所以
2〕由于
〔：
"：
〕=13212531=18
〔:
"：
〕=11222233=18
〔：
"：
〕=33112233=36
cos：
:
:
=18_.2
J18T362,
所以
3〕同理可得
〔；〕=3
3
〔口,口〕=17〔叩〕=3cos所以:
:
13
=cos
\77
3.d（a,E）=|a一叫通常为"的距离,证实;
d（a,B）Md（cc,用+d（g,y）.
证由距离的定义及三角不等式可得
d（ot,E）=|口-丫|=|（口-日）+（E_丫）
<|a-P|+|P-V
=d（：
"：
）d（LL
4在R4中求一单位向量与（1,1,—1,1）（1,—1,—1,1）（2,1,1,3）正交.
解设a=（x〔,X2,X3,X4泻三个向量分别正交,得方程组
J_X1X2-X3X4=0
4X1—X2—X3+X4—0■>
J2X1x2x33x4=0
由于方程组的系数矩阵A的秩为3,所以可令
X3=1、为=4,X2=0,X4=-3,即a=（4,0,1,-3）.
再将其单位化,那么
11
=一a=^（4,0,1,-3）,
aJ26
即为所求.
5.设0（1OL2,an是欧氏空间V的一组基,证实：
1）如果Y3使（Y,%）=0（i=1,2,,n,,那么丫=0.
2）如果71^2^V使对任一«亡V有（丫「a）=（丫2,二）,那么匕=E.
证1）由于%%,an为欧氏空间V的一组基,且对了wv,有
（丫,%）=0（1,2,……,n）,
"n
所以可设=k1:
•1•k2：
•2
且有
'’,ki：
i,k2；2•,knf
=虹,:
ik2,:
2••F,:
、
即证y=o.
2〕由题设,对任一a在V总有〔\口〕=〔了2,^〕,特别对基％也有〔4i%〕=〔,2,立i〕,或者〔4—,2,口i〕=0〔i=1,2,,n〕,
再由1〕可得；『1—；,2=.,即证=丫2.
6设&1,公,如是三维欧氏空间中一组标准正交基,证实：
1
:
1=二2；1•2；2-；33
1--
:
2=丁2；1-；2.2；3
3
1cc
；3"；1_2；2_2；3
3
也是一组标准正交基.
证由于
1
:
1,：
2=匚2；1.2；2一；3,2；1-；2.2；3
9
1
=-〔2；1,2；1•2；2,-；2.-；3,2；31
9
=：
Z+（—2）十（―2）]=0,
同理可得
（电皿）=骸2,S）=0,
另一方面
1
:
「七=匚2；1.2；2一；3,2；1.2；2一；3
9
=94；1,；1•4；2,W,一；3,一；31
1
=-（441）=1,
同理可得
即证％,口2,0〔3也是三维欧氏空间中的一组标准正交基.
7.设角,@2,83,84,&5也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基,V=项口2.2,"3〕,其中
二1=；1'；5,工2=；1-；2■；4
3=2色+我2十耳3,
求Vi的一组标准正交基.
解首先证实ai^t2^〔3线性无关.事实上,由
〔：
1,：
2,：
3〕
=（、,
1
1
2、
0
-1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0>
『1
1
2、
0
-1
1
0
0
1
0
1
0
J
0
0>
其中A=
的秩为3,所以二1,皿2,履3线性无关.
将正交化,可得
单位化,有
%222…）,
10
1,、
=2〔；1,；2,；3一；5〕,
8.求齐次线性方程组
2x〔+x2—x3+x4—3x5=0
•M
十X2—X3+X5=0
5
的解空间〔作为R的子空间〕的一组标准正交基.
又一3x5=-2x1-x2+x3
x5=—x1—x2*X3
可得根底解系为
：
1=（1,0,0,-5,-1）,：
2=（0,1,0,-4,-1）,
它就是所求解空间的一组基.将其正交化,可得
（,2,*）:
再将Pi,「2,「3单位化,可得
1
（7,6,15,1,2）,3、35
1
1：
——（1,0,0,-5,-1）,2
3.3
1
——（-7,9,0,-1,-2）,3
315
那么*11?
12?
13就是所求解空间的一组标准正交基.
求R凶4的一组标准正交基〔由基
9.在R凶4中定义内积为〔f,g〕=J」f〔x〕g〔x〕dx
出发作正交化〕.
—x,将其正交化,可得'〔=.1=1,
2
解取R[X]4的一组基为OC1=1,a2=x,a3=x,口
2=-•2
G2,-1）
（-1,-1）
用=x,其中〔口2,^〕=j
1
Ix,1dx=0,
又由于
（.3,^）=（^2,&）=_[；
dx=2,
3
（Ei,Ei）=』」1,1dx=2,
所以-：
3=：
3
（「3,\）:
"1
（：
2,W）
同理可得：
4
（:
4,\）:
UUj一1一
♦xdx=0,
2
1
=x
-,
3
2）-：
2）2
G4,-3^33
—（"3）'x飞X'
（：
3,W）=.
〔基！
G'4,-
G'3,'2）:
-2
再将用罗2,P3,^4单位化,即得n1
.102〞,143ox
222x'
3=〔3x-1〕,4=〔5x一3x〕,
44
那么・』2,%,七即为所求的一组标准正交基.
10.设V是一n维欧氏空间q#0是V中一固定向量
1〕证实:
V1={x|〔x,a〕=0,xwV}是V的一个子空间;
2〕证实:
V1的维数等于n-1.
证1〕由于00wV1,因而V1空.下面证实V1对两种运算封闭.事实上,任取x1,x^V1,
那么有〔x〔,a〕=〔x2,a〕=0,于是又有〔x〔+x2,a〕=〔x〔+a〕+〔x2+a〕=0,
所以x1+x2在V1.另一方面,也有〔kx1,.〕=k〔x1,口〕=0,即kx1在V1.故V1是V的一个子空间.
2〕由于«.0是线性无关的,可将其扩充为V的一组正交基a^2^Pn,且〔叫,0〕=0
〔i=2,3,…n〕,听KV〔〔i=2,3,川n〕.下面只要证实：
对任意的E亡Vi,E可以由七,七,…气
线性表出,贝UV1的维数就是n—1.
事实上,对任意的PeVi,都有6在V,于是有线性关系8=k〔a+k2叮2+…+k『n,
且〔g,Ct〕=k1〔a,a〕+k2〔L,a〕i+灯〔气&〕,
但有假设知〔「.〕=〔心.〕=0〔i=1,2,-,n〕,
所以k1〔a,a〕=0,又由于a.0,故k〔=0,从而有P=k2^2+…+k』n,
再由E的任意性,即证.
11.1〕证实：
欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的.
2〕利用上述结果证实：
任一欧氏空间都存在标准正交基.
证：
1〕设土,％,…,％与鸟,口2,",虬是欧氏空间V的两组不同基,它们对应的度量矩阵
分别是A=〔aij〕和B=〔bij〕,另外,设％,%,…,％到用,日2,…,队的过渡矩阵为
-1=Ci「i,G2「2…,C&n
c=〔Cj〕,即<,
、=端％+&2%十…+Cn«n
bij=〔'i,*〕=〔C「i…•Cni,n,C1j,1…•"*〕
='、'Cki（:
k,Cij,1•Cnj：
n）
k4
nn
=、'、CkiCsj（:
k,：
s）k4s4
nn
=££CkiCsi^ks,k4s4
另一方面,令
D=C'A=（dij）,C‘AC=DC=（eD,
那么D的元素为
n
dis―Ckii'ks,
k4
故C'AC的元素
nnn
eij='disCsj=%CCki：
ks）Csj=bij（i,j=[2,n）,
s=1s=1nz!
即证C'AC=B.再由立1,0〔2广’,％；用,曰2,_,如,皆为V的基,所以C非退化,从而B与A合同.
2〕在欧氏空间V中,任取一组基0〔1,口2,…,c«n,它的度量矩阵为A=〔aij〕,其中
aij=〔%,叫〕,且度量矩阵A是正定的,又由于正定矩阵与单位矩阵合同,即E=CAC.于是只要
〔"眼…,凡〕=〔%,立2,…«n〕C,
日1,日2,…,队就是所求的
那么由上面1〕可知基日1,日2,…,九的度量矩阵为E,这就是说,
标准正交基.
[（%,%）（%,口2）川（％,%）'
_（%,%）（电呵）川^2^m）
Ei=*>■■
■Kdd
早rf・
?
％%）9m,%）川^m^m）j
证实：
当且仅当△手0时％,Ot2-,O〔m线性无关.
证设有线性关系
k〔C〔i+k2C〔2十+kmC〔m=0,
将其分别与Cti取内积,可得方程组
k〔i,：
•〔〕k2〔：
i,：
2〕&km〔:
i,：
m〕=0〔i=1,2,•,m〕,
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0,即证.
13.证实：
上三角的正交矩阵必为对角矩阵,且对角线上元素为+1或-1.
证设
角矩阵.由于A是正交阵,所以A」=A',即
A=
角1
a12
3
a22
9
+
b11
b12■-
b22■
+
'b1n、
'b2n
:
的
a2n
.・-
ann；
bnnJ
所以aij=0（i#j）,因而
|an'、
A=旬2为对角阵.再由A‘A=E,知a2=1,即证血=1或-1.
Iann/
14.1）设A为一个n阶矩阵,且A.0,证实A可以分解成
A=QT,
其中Q是正交矩阵,T是
-上三角矩阵
t11t12
…X
t1n
t22
…t2n
T=
农
tnn?
且tiiA0（i=1,2…,n）,并证实这个分解是唯一的；
2）设A是n阶正交矩阵,证实存在一上三角矩阵T,使
A=TT.
证1〕设A的n个列向量是a1,a2.…an,由于A#0,因此a1,a2,…,an是线性无关的.从
而它们也是V的一组基,将其正交单位化,可得一组标准正交基为
1=1
l?
1
其中
：
1=「1
-2=「2-（「2,1）1
=：
'n-〔：
’n,1〕」-〔：
'n,n」〕n」
■-A—t
-1111
•与2-t121t222
A=（»：
2,：
n）=（1,2,,n）
tnnJ
且令
tnn
也1…bm、
Q=1"==〔听"2,…,气〕,
S…bn」
那么有A=QT,由于七,％,…,气是一组标准正交基,故Q是正交矩阵.
再证唯一性,设A=QiTi=QT是两种分解,其中Q,Qi是正交矩阵,T,Ti是主对角线元素大于零的上三角阵,那么Qi^QuLT-1,由于Qi〞Q是正交矩阵,从而T1T-1也是正交矩阵,且TiT」为上三角阵,因此,T〔T」是主对角线元为i或-i的对角阵,但是T与Ti的主对角线元大于零,所以TiT的主对角线元只能是i,故TiT」=E,即证Ti=T.进而有Q=Q〔,从而分解是唯一的.
2〕由于A是正定的,所以A与E合同,即存在可逆阵C使A=C'C,再由i〕知C=QT,其中Q是正交矩阵T为三角阵,所以A=T'Q'QT=T'T.
i5.设n是欧氏空间中一单位向量,定义Aa=ot一2〔听,ot〕n,
证实：
i〕A是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射；
2〕A是第二类的；
3〕如果n维欧氏空间中正交变换A以i作为一个特征值,且属于特征值i的特征子空间
Vi的维数为n-1,那么A是镜面反射.
证：
i〕V",有:
A〔k〔a+k2?
〕=ki"+k^-2仪,/+k^〕n
=k〔a+k2E-2kip^tp-2k2p^p=k〔Aa+k2AP,
所以A是线性变换.
又由于〔A：
A：
〕=「一2〔,：
〕-2〔,■〕］
=〔口,P〕一2〔¥〕〔听,P〕-2〔W〕〔听,E〕+4p尸邪罗〕〔V〕,
注意到〔皿,听〕=i,故〔A.,AP〕=〔□,E〕,此即A是正交变换.
2〕由于是单位向量,将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基七&2,…,&n,那么
"2（5=项
A^i=奇一2（叮,与）.（i=2,3,,n）
w、
-1
即A（七敬,…,&n）=（■%,…,株）L,
所以A是第二类的.
3）A的特征值有n个,由A有n-1个特征值为1,另一个不妨设为扁,那么存在
F.、
……,、,^1
一组基&1,粉,,&n使A（",&2",&n）=作1,鬼,,@n）,
〔b
由于A是正交变换,所以（缶,81）=（A%,A%）=&02（&1,*）,
但人o#0,所以,-0=—1,于是
A1=-〞,A-=i（i=2,3,,n）
0,；）=0（i=2,3,,n）
1
现令n=厂二桐,那么n是单位向量,且与耳2,…,8n正交,那么七&2,…,耳n为欧氏空间V；1
的一组基.又由于
111
A=A（-寸=一A〞=一（-；1）=-
同肉同,
：
=k〔k2；2kn；n
A：
=k〔Ak2A；2knA；n=一临k2；2…、；n,
（「,）=W*2；2.Wn,）=M,
所以a—2「,叫吐=_临皿+k2&2+…+knan,即证.
16.证实：
反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数.
证:
设匚是属于特征值乳的特征向量,即A%=以,那么
BaE=日（_泌）=_日泌=-（aE心-（",
于是‘'--,'一’--‘
令九=a+bi,可得a=0,即证君=bi.
17.求正交矩阵T使T'AT成对角形,其中A为
1）
-2
-2
-2
-2
2）
-4
-2
-2
-4
‘0
0
4
1、
0
0
1
4
4
1
0
0
4
0
0>
3）
—1
-3
3
-3>
q
1
1
r
-3
-1
-3
3
5）
1
1
1
1
3
-3
-1
-3
1
1
1
1
「3
3
-3
-b
<1
1
1
b
4）
解1）由
对应的特征向量为
=：
「.一2,-1,2,：
2=2,-2,1,：
3=1,2,2,
‘2
故所求正交矩阵为
J2
2
1、
1
-1
-2
2
且TAT=
4
<2
1
2;
—2.」
O
-2
2
1
3
--5
岛一5.,
君3=1.的特征向量为
/一1=七=1的特征向量为
正交化,可得
再单位化,有：
1
：
2=-2,1,0,:
3=2,
=-1,22"：
2
=-2,1,0"：
3
于是所求正交矩阵为
3-1,-2,2,2
-4
1,1,
—,—,1|,
<55）
1
-2,1,0,3
5
'1
2
2
~3
切
3/5
2
1
4
~3
<5
3/5
2
5
0
L
且T'AT
T=
3、5
-1
-4
可得A的特征值为\=5,九2
相应的特征向量为
10
-4
-1
-4
=-5,,3=3,,4
：
1=1,1,1,1,「2=1,1,
-1,一1）,
：
3十1,1,-1,1,：
4=11,
T,-1,1）,
将其正交单位化,可得标准正交基为
1
1,2=21,
1,-1,
T）,
（-1,
1,
-1,
1尸
4=（1,-1,
-1,
1）,
1
1,
-1,
1、
广5
_1
1,
1,
1,
-1
-5
T=」
且TAT=
2
1,
-1,
-1,
-1
3
U,
-1,
1,
1/
-3>
故所求正交矩阵为
O
1
.+1
3
-3
3、
3
丸+1
3
-3
-3
3
舄+1
3
3
-3
3
L+1j
*1=
8,7吃=
七3=九4
=_4.
4）由|ZE—A=
可得A的特征值为
3-
=0+4）（%_8）,
相应的特征向量为
正交化后得
再单位化,可得
故所求正交矩阵为
2,3
3
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
可得A的特征值为7七=4,岛2=兀3=九4=0.
相应的特征向量为
：
1=1,1,1,1"2=-1,1,0,0,
戏3=（-1,
0,1,0）.4
=（-1,0,0,
1）,
将其正交化,可得
日1=（
-1,
1,-1,1^2
=（1,1,0,
.〕,
「3=
1
1、
-1,0,P
『11
4=|———
1
1）
<2,
2,；
133,
3,
）
再单位化后,有
故所求正交矩阵为
2
1
2
1
1
2
1
2
0
0
1
一..6
1
•、6
2
6
0
1
2,3
1
2、3
1
2,3
且TAT-
0
0
°,
18用正交线性替换化以下二次型为标准形：
222
1）x1+2x2+3x3-4x1x2-4x2x3；
222
2）x1-2^2x^4x1x^H4x1x^H8x2x3；
3）2x1x22x3x4；
八2222
4）x1+x2+x3+x4—2x1x2+6x1x3—4x1x4—4x2x3+6x2x4-2x3x4.
解1〕设原二次型对应的矩阵为
A,那么
1
-2
0、
A=
-2
2
-2
<0
-2
3）
且A的特征多项式为
冷E—A=（赤一2）Q+1）0—5）,
特征值为
相应的特征向量为
%=（2,-1,—2%=（2,2,1）,
口3=（1,-2,2）,
单位化后,有
1
■=3（2,
…1」__1,__
-1,-2）七=3（2,2,1）%=3（1,-2,2）,
令X=TY,其中
‘2
T=!
-1
3
'、2
21、
2-2,
12>
那么
X'AX=2y〔2-y；+5y；.
2）原二次型对应的矩阵为
「1-2
A=-2-2
I24
且A的特征多项式为
仲E—A=0+7）0_2）2,
特征值为
相应的特征向量为
%=（1,2,-2^2=（-2,1,0%=（2,0,1）,
正交化,可得
nnc"24
E1=1,2,—2〞2=-2,1,0样3=—,-,1
<55；
再单位化,有
HH22、ff21「皿f245）
1：
,2,了,0,3^,^,
<333）I75*5』13/53/53】5^
令X=TY,其中
1
2
2、
3
<5
3/5
2
1
4
3
75
3际
2
0
5
一3
T=
2
22
2y22y3.
XAX--7
3〕原二次型对应的矩阵为
"0
1
0
0、
1
0
0
0
0
0
0
1
\0
0
1
0>
A=
Y1
且A的特征多项式为
|止-A=（人+1）2（"1）2,
特征值为
相应的特征向量为
「1
=1,1,0,0,：
2=0,0,1
升级会员 