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优化水资源调度模型
摘要
随着社会的发展水资源匮乏的问题越来越明显，人们也意识到合理利用水资源的重要性。
本文主要从水的供需量出发，提出了调水、海水淡化、污水处理三管齐下的水资源战略，并分析了其对社会经济和环境的影响。
由于中国疆域广阔且水资源地区分布不均，我们将之分为华东、华南、华中、华北、西北、西南和东北七个地区，并将得到的数据预处理，汇总整理分为该七个区域。
为了清楚2025年水资源的供需状况，我们分别对需水量和供水量按照划分的区域进行了预测。
对丁•需水量，我们先用灰色关联度分析法计算得到影响需水屋最大的因素是人口数最和地区生产总值，并以此建立了计算需水量的多元回归线性模型。
我们用Logistic人口阻滞增长模型预测出2025年各地区人口数最，利用ARIMA模型得到2025年的各地区生产总值。
结合上述名尤线性回归模型求得2025年各地区的需水量（见表6）o对于供水量，作图分析2003年至2013年各地区盂水量的变化规律，并根据规律建立了一元线性回归模型预测出2025年各地区的供水最（见表8）。
利用上述需水最和供水最求差值，从中国南水北调工程启发，建立最优的调水方案。
首先按照南水北调路线和大型水库Z间的距离來确定各地区相互调水的距离，在保证各地需水暈的前提下建立了投资金额最低的调水方案（见表10）,利用Lingo软件计算得出总投资为1949.947亿元。
但该投资方案工作内容大且远距离调水难以实现，于是建立了调水、海水淡化和污水处理三方面协同利用水资源的优化调水模型,调水方案见表11,总投资为1704.768亿元。
相对于原有调水方案可节约投资成本245.179亿元。
结合实施战略后的预测数据值來分析该战略对经济、环境的影响。
我们提出补给白分率的概念来反映供给情况，从GDP、人口、补给白分率和污水处理量等方面进行分析。
结合数据建立了TOPSIS评价模型，求得正理想解与负理想解的差值，并对之进行排序。
最后发现该水资源战略对西北环境和经济和综合影响最大，达到了0.6073,而对华东这类水资源丰富的地区影响不大，仅0.0761o
最后对模型进行分析评价后，做出了一份非专业性的政府报告。
关键词：
线性回归模型优化水资源调度模型TOPSIS评价模型
1问题简介3
1.1问题重述3
1.2问题分析3
2问题假设4
3符号定义4
4模型建立4
4.12025年需水量预测模型4
4.1.1多元回归线性模型的建立5
4.1.2.人口的预测7
4.1.3地区生产总值的预测8
4.1.4多元线性回归方程的求解9
4.22025年供水量预测模型10
4.2.1模型的假设数据预处理10
4.2.2模型的建立与求解11
4.3水资源优化调度模型12
4.3.1数据分析与理论基础12
4.3.2模型的建立14
4.3.3模型的优化16
4.4问题二的评价模型18
4.4.1问题分析18
4.4.2模型的建立18
4.4.3模型求解19
5模型改进与评价20
5.1模型的改进20
5.2模型的评价20
6立场报告21
7参考文献22
附录22
1问题简介
1.1问题重述
淡水资源匮乏已经成了世界很多国家发展的瓶颈，人们也已经意识到了水资源对社会、经济、环境等方面的重要性。
现在需要从美国、中国、俄罗斯、埃及和阿拉伯之间任选一个国家，根据其2013年的水资源现状建立一个最佳的水资源战略，然后建立一个高效的、实际可行的、高效利用率成本的水资源模型来满足2025年的预期水资源需求。
这要求我们找到2013及以前水资源需求量，建立模型来预测2025年水资源的需求。
然后根据水资源供给量和水资源的调度、海水淡化以及水资源保护等方面的联系，建立战略模型求得2025年的供水量，求得与需求最误差最小时的最优解。
然后结合模型还要考虑该实施方案对经济、地理和环境方面的影响。
最重要的是要提供一份非技术性的政府立场报告，在报告屮简要的介绍该方法，以及该方法的可行性和成本核算，并要说明该方案的优点和“最佳”的原因。
1.2问题分析
我们以中国为例，分析其水资源供需问题。
我们首先需要建立一个预测模型，由于整个国家水资源地理分布不均的问题，我们可以将Z分为华东、华南、华中、华北、西北、西南和东北七个地区，分別从人口、地区生产总值、农业用水、工业用水、生活用水生态用水和人均用水量等方面上做相关性分析，确定关联度最大的因素为人口和地区生产总值。
根据ARIMA模型得到2025年的各地区生产总值，根据Logistic人口模型求得2025年的人口数星，然后建立多元回归线性预测模型，预测出各地区2025年的需水量。
我们假设在提供水资源战略方案模型前全国供水系统不会发生较大的变化，因此可以按照往年供水量直接预测2025年的供水量。
此处我们将得到的2003年〜2013年的各地区供水星绘制成折线图，发现其变化规律，建立了线性回归模型，预测出2025年的实际供水量。
需水量与供水帚:
之间存在淀的差值，而建立的水资源战略目的就是减小这些差值。
首先从人为调水方面解决水资源地区分布不均的问题。
以各地区大型水库为例，求得调水时的工程距离，然后将海水淡化和污水处理的费用转化成工程距离，在满足缺水地区供需量达到平衡时，求得的最小距离就是在水资源满足要求时经济可持续发展的最优解。
由于战略模型涉及调水匚程、海水淡化以及污水处理，而且该模型考虑了人口因素和地区生产总值，因此该模型对地理条件、环境保护和经济发展会有一定的影响。
结合上文中分析计算的得到的数据，我们可以综合考虑GDP、人口、补给白分率和污水处理量等方面对环境和经济的影响。
可以建立TOPSIS评价模型，将各因素转换成各种解，求得正理想解与负理想解的差值，并对之进行排序，分析该战略对各地区的影响程度。
2问题假设
•除本文提供的水资源处理战略模型外，2025年以前国家不会实施任何其他新的水资源处理方案。
即水资源供给不会发生较大的变化；
•不考虑港澳台地区的需水量和供水量问题；
•不考虑大型洪涝或者干旱灾害的影响；
•单位体积水资源调度、海水淡化和污水处理的价格在统计期间不会发生较大变化；
•GDP、人口数量、污水处理量和水资源调度战略可以反映对一个地区的经济和环境的影响；
•使用的统计数据真实可靠。
3符号定义
Symbol
Meaning
ZtiYtiyt
X
t年第i个影响因素对应的统计值
t年第i个影响因素对年供水量的关联度年需水量
人口数量
xm
r
Gt
Si
口然资源与环境条件所能容纳的最大人口数人口増长率
t年地区生产总值
i地区的供水量
Q
P
珀
最小二乘时误差平方和
水资源处理方案全年总投资量儿地区水资源富余量
biPu
出地区水资源短缺量从地区儿到地区州的运输量
从地区几到地区％的距离
CiJ
从地区儿到地区州运输的单价
4模型建立
4.12025年需水量预测模型
中国是一个疆域辽阔的国家，但同时也是一个水资源分布十分不均匀的国家,我们预测2025年的用水盂求量时，不能够将之一概而论，我们根据国家地理区域划分，将之划分为华东、华南、华中、华北、西北、西南和东北七个地区⑴，具体省份划分如下：
图一E
A国地区
「划分图
华东t也区：
包括山东、江苏、
安徽、
浙江、
福建、上海;
华南地区：
包括广东、广西、
海南：
华中地区：
包括湖北、湖南、
河南、
江西；
华北地区：
包括北京、天津、
河北、
山西、
内蒙古；
西北地区：
包括宁夏、新掘、
青海、
陕西、
甘肃；
西南地区：
包括四川、云南、
贵州、
西藏、
重庆；
东北地区：
包括辽宁、吉林、
黑龙江。
因为早期时间台湾、香港和澳门等地区的水资源耒列入统计，此处我们忽略了对港澳台地区水资源的探讨。
并将得到的数据按上述七个地方划分。
4,1.1多元回归线性模型的建立
Stepone定义与假设
盂水量是一个和生产生活息息相关的数据，我们在预测2025年的需水量时不能仅考虑往年数据而求变化规律，应考虑各种可能影响的因素，分析各自的影响程度和变化规律，从整体上来看需水量的变化。
对此我们假设需水量仅包括农业用水量、工业用水量、生活用水量和生态用水量，不考虑可能发生的大型洪涝或干旱灾害的情况，殆为t年第i个影响因素对应的统计值，心为t年第i个影响因素对年供水量的关联度，yt为年需水量的值，结合往年数据建立多元回归线性预测模型。
Steptwo数据处理与关联性分析囚
结合实际分析影响需水量的因素，我们可以从人口、地区生产总值、农业用水、工业用水、牛活用水牛】态用水和人均用水量等方面考虑，負找中国统计年慕，可以得到2003至2013年的各因素的数据如下表：
She€tl需水最与各内素统计值
年份
需水量
（亿
人口
（万人）
地区生产总值
（亿元）
农业用水
（亿2）
工4洞水
（亿
生活用水
（亿nV）
生态用水
（亿n?
〉
水・
（m1）
2003
5320.40
129227
135822.76
3432.81
1177.20
63089
79.47
41295
2004
5547.80
129988
159878.34
3585.70
1228.90
651.20
82.00
428.00
2005
5632.98
130756
184937.37
3580.00
1285.20
675.10
92.68
432.07
2006
5794.97
131448
216314.43
3664.45
1343.76
693.76
93.00
442.02
2007
5818.67
132129
265810.31
3599.51
1403.04
710.39
105.73
441.52
2008
5909.95
132802
314045.43
3663.46
1397.08
729.25
120.16
446.15
2009
5965.15
133450
340902.81
3723.11
1390.90
748.17
102.96
448.04
2010
6021.99
134091
401512.80
3689.14
1447.30
765.83
119.77
450.17
2011
6107.20
134735
473104.05
3743.60
1461.80
78990
111.90
45440
2012
6141.80
135404
519470.10
3880.30
1423.88
728.82
108.77
454.71
2013
6183.40
136072
568845.21
3921.50
1406.40
750.10
105.40
454.42
上表是从国家统计局收录的数据，由数据可以看出盂水量、人口数量和地区生产总值均成上升趋势，而农业用水、工业用水、生活用水、生态用水和人均用水量则在一定范圉内摆动，增长趋势不明显。
首先运用灰色关联度分析法对影响需水星的各个因素进行分析，根据计算得到的关联度筛选出影响需水量的主耍因子，建立需水量与主耍影响因子之间的多元线性回归预测模型。
计算上述各影响因子对该地区需水量的灰关联度。
设Yoi为第i个因素对年需水量的关联度，则计算结果分别为：
Yoi=0.5349.Yq5=0.3338、
yo2=1・0000、Yq6=0.3333.
Yo3=0.3363、Yq7=0.3336□
y04=0.3344、
其灰关诫度的大小排序为：
畑>Yoi>Yen>Yo4>Yos>Yo?
>丫*。
应选取灰关联度较大的因素作为主要影响因子。
同时分析得生活用水量与人口数最之间具有高度的相关性（灰相关度为1.0000）,可以认为人口数量是决定生需水量的关键因素；另一方而，地区生产总值与需水量两者之间的关系也很密切（灰相关度为0.5349），说明地区生产总值也在一定程度上影响了用水最。
而另外五个元素的关联度均在0.3左右，影响较小，因此不于考虑。
此处就建立关于人口数最与地区生产总值的多元回归线性预测模型。
Steptluee模型的建立⑶
预测的需水最作为因变量y,各影响因素作为H变此处仅考虑人口数量和地区生产总值，分别为冇、Z2,则理论上可写成如下的关系式：
y=Po+P1Z1+P2Z2+£（4.1）
式中，Bo为回归常数，Pix直2为回归系数：
£是随机因素，Ei~N（0,a2）,且可相互独立。
然而，由于样本数据有限，所以，式中的回归常数和回归系数无法求出精确值，只能通过对大量的和的实际观察数据的统计处理，求出它们的估计值b】・，则y与z之间的关系可实际表示为：
yf=b0+b]Z订+b2zi2HF可（4.2）
有11个实际观察数据（样本数据），则因变量y的每一个观察值与门变屋石的关系可表述如下：
{%=b°+bxzn+b2z12+…+巧）
（4.3）
（4.4）
『2=b°+biZ2i+t）2Z22H^2I
Yi=b0+blZu+b2zi2+…+可丿利用最小二乘法对参数进行估计，经过拟合后得到的模型为:
y=0.2495zx一0.0020z2-26604.2549
Stepfour模型的检验
模型参数估计完成后，需要对多元线性回归模型进行统计检验。
多元线性回归模型一般采用回归系数和回归方程的显菩性及残差进行检验。
此处我们对预测值与实际值进行残差检验，得到的数据如表三：
Sheet2总需水量回归分析预测结果
年份
需水量
预测值
残差值
相对误差绝对值
2003
5320.4
5363.31302
-42.9130
08066%
2004
5547.8
5504.94255
42.8574
0.7725%
2005
5633.0
5646.30644
-13.3064
0.2362%
2006
5795.0
575604350
389565
0.6722%
2007
5818.7
5826.71138
-8.0114
0.1377%
2008
5910.0
5897.91107
12.0889
0.2046%
2009
5965.2
6005.73182
-40.5318
0.6795%
2010
6022.0
6044.13880
-22.1388
0.3676%
2011
6107.2
6061.27905
45.9209
0.7519%
2012
6141.8
6135.22779
6.5722
0.1070%
2013
6183.4
6202.89458
-19.4946
0.3153%
由上述预测结果可知，误差均小于1%,则回归预测模型比较正确。
4,1.2.人口的预测
在现实生活中人口的增长不是一成不变的，其增长率是一个随着时间变化而变化的函数，因此在预测人口数量时，我们考虑建立Logistic模型，因随着人口数量的增加，口然资源、环境条件等对人口的再增长的限制作用越显著。
如果当人口较少时可以将增长率看成常数，当人口数量增加到一定数量后，就将增长率看成是一个随人口增加而减少的量。
Stepone模型假设与定义
•x为人口数量为人口增长率,t为年份。
设r（x）为x的线性函数,r（x）=i-sx,s为参数（工程师原则，优先使用线性）。
•自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为“卅即当x=xm时，增长率r=0o
Steptwo建模与求解（习：
由假设可得r（x）=r（l-^）,则有:
上式是一个可分离变最的方程，其解为:
x（t）=1+（佥_i）e-r（t-to）（46）
利用MATLAB软件对方程求解，并预测出2025年人口数量，具体预测值如下:
Sheet32025预测人口（单位：
万人）
地区
华北
东北
华东
华中
华南
西南
西北
人口
21127
11100
36944
26104
17359
19442
10386
由上表可知华东、华中和华北地区人口较多，东北和西北人口较少，这与实际情况相符，
Steptluee模型的检验：
由建立的模型计算可得:
器=*（1一三）（1一（4.7）
人口总数有如下规律：
•linif^ooxO）=xm,即无论初始值x（）如何，人口总数是以Xm为极限。
•当0VXoVxm时，^7=r（l-—）x>0,这说明x（t）是单调增加的。
当aiXm
XV詈■时，器>0，X=X（t）为凹函数；当X>y-时，器VO,X=X（t）为凸函数。
•人口变化率害在x>粤时取到最大值，即人口总数将达到极限值的一半at2
以前是加速生长期，经过这一点过后，生长速率会逐渐变小，最终达到
0o
4,1.3地区生产总值的预测
Stepone模型的建立同
我们从中国统计年鉴中得到各省份的地区生产总值的统计值，并将其按照规定的地区进行划分，现分别根据统计值进行2025年的地区生产总值的预测。
对于地区生产总值这种与过去值密切相关即存在强烈的白相关性的变量来说，进行单纯的回归分析模型不能很好地拟合和预测数据。
为此，我们把地区生产总值过去值及由于其它因素所引起的随机扰动纳入考量范围，建立了地区生产总值的p阶自回归模型AR（p）,公式如下：
=£XG—i+啓XG-2+…+兮XGt_p+1、（4.8）
其中①为t时刻地区生产总值，儿为随机扰动项。
如果*服从E（^）=0即可称弘为口噪声，此时认为治为一纯AR（p）过程。
记为：
（4.9）
Gt=（pxxG—i+也xGt_2+…+乌xG-p+E
但是如果R不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均过程MA（q）：
-％-％£t-2切£t-q（410）
将纯AR（p）与纯MA（q）结合，得到一个一般的F1回归移动平均过程ARMA（p,q）:
Gr=（P]XGt-1+甲2XGt一2+...+兮xG-p+£t
一％£t-l一&2£t-2%£t-q（4.11）
根据AIC和BIC准则定阶p、qc
该式表明：
•一个随机时间丿字列可以通过一个自回归移动平均过程生成，即该斥列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项來解释。
•如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来C这也正是随机时间字列分析模型的优势所在。
当随机过程是非平稳时间序列吋，大多数都表现有趋势性特征，我们要先消除趋势，将随机序列平稳化，之后再运用平稳随机时间序列的方法去实现。
对于一个非平稳的随机时间斥列通常可以通过差分的方法将它变换为半稳的，对差分后半稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。
如果我们将一个非平稳时间序列通过d次差分,将它变为平稳的,然后用一个平稳的ARMA（p,q）模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均时间序列，记为ARIMA（p,d,q）。
Steptwo模型的求解：
由国家统计局得到各地区往年生产总值数据见附件表一：
借助SPSS,由于数据不半稳，呈指数增长趋勃，故先对其取自然对数，使数据平稳。
再用ARIMA模型拟A出各参数值，并得到各地区2025年GDP的预测值为：
Sheet4各地2025年生产总值预测值
地区
华北
东北
华东
华中
华南
西南
西北
生产总值
169400.3
106345.8
431010.2
202457
160070.8
135145.3
78503.2
由上述预测值可以看出，华东地区包含的省份最多，且包括上海这一经济高度发展城市，则生产总值最高。
华北地区虽然包括北京、天津等市，但是还有内蒙古地区，则生产总值较少。
而西北地区经济较落后，基本符合实际情况。
4,1.4多元线性回归方程的求解
根据统计得到的各省份的需水最统计值分地区汇总后（具体数据见附录），求得各自多元线性回归方程的参数值，具体数据如下
Sh
东北
华北
-2.0134E+03
7.3939E+02
2.2990E-01
-1.8309E+00
地区b（）%
华东
-7.0759E+03
2.6090E-01
-2.6242E-03
华南
5.6680E+02
1.7139E-02
-5.2483E-04
华中
2.6197E+03
-6.5524E-02
26007E-03
西北
4.1892E+02
38885E-02
28025E-03
西南
3.1989E+03
-1.36S3E-01
1.4271E-03
上述数据是将各地往年人口数量、生产总值代入多元线性规划模型求得的各参数的估计值。
根据预测得到的人口数（shcet3）和地区生产总值（shcet4）代入模型一中，得到2025年各地区需水量的预测值如下表：
Sheet6各地区2025年需水量预测值
地区
华北
东北
华东
华中
华南
西南
西北
需水量
507.2143
786.5363
1431.9000
1435.8000
780.3026
729.6687
1042.8000
由上表可知华东和华中等地区因经济较发达，则需水域较人；而西北地区地处内陆，大部分面积又都是荒漠，门然条件无法满足生活生产等的要求，因此需水最较大。
4.22025年供水量预测模型
42.1模型的假设数据预处理
我们假设在提供水资源战略方案模型前全国供水系统不会发生较大的变化,因此可以按照往年供水量直接预测2025年的供水最。
此处我们将得到的2003年〜2013年的各地区供水屋绘制成折线图，发现其变化规律，建立了一元线性回归模型。
Sheet7各地区2003年-2013年供水量
供水量
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2012
2013
华北S]
478.5
479.9
489.9
499.2
499.5
485.1
490.1
497.0
512.1
508.4
东北S?
478.1
488.9
503.2
530.4
535.0
543.9
570.1
588.7
631.0
635.9
华东S3
1329.1
1461.0
1456.8
1528.2
1537.4
1579.0
1585.5
1599.6
1580.8
1617.0
华中S4
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