山东省济南市学业水平考试数学试题.docx

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山东省济南市学业水平考试数学试题

山东省济南市年学业水平考试数学试卷

一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分）

．（济南，，分）的算术平方根是（）

．．－．±．

【答案】

．（济南，，分）如图所示的几何体，它的俯视图是（）

．．．．

【答案】

．（济南，，分）年月，“墨子号”量子卫星实现了距离达千M的洲际量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力．数字用科学记数法表示为（）

．×．×．×．×

【答案】

．（济南，，分）“瓦当”是中国古建筑装饰××头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】

．（济南，，分）如图，是∠的平分线，∥，若∠＝°，则∠的度数为（）

．°．°．°．°

【答案】

．（济南，，分）下列运算正确的是（）

．＋＝．（－）＝

．（＋）（－）＝＋－．（＋）＝＋

【答案】

．（济南，，分）关于的方程－＝的解为正数，则的取值范围是（）

．＜－．＞－．＞．＜

【答案】

．（济南，，分）在反比例函数＝－图象上有三个点（，）、（，）、（，），若＜＜＜，则下列结论正确的是（）

．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜

【答案】

．（济南，，分）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点都在方格线的格点上，将△绕点顺时针方向旋转°，得到△′′′，则点的坐标为（）

．（，）．（，）．（，）．（，）

【答案】

．（济南，，分）下面的统计图大致反应了我国年至年人均阅读量的情况．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）

．与年相比，年我国电子书人均阅读量有所降低

．年至年，我国纸质书的人均阅读量的中位数是

．从年到年，我国纸质书的人均阅读量逐年增长

．年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的倍还多

【答案】

．（济南，，分）如图，一个扇形纸片的圆心角为°，半径为．如图，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）

．π－．π－．π－．

【答案】

．（济南，，分）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”．例如：

（，）、（，－）都是“整点”．抛物线＝－＋－（＞）与轴交于点、两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则的取值范围是（）

．≤＜．＜≤．＜≤．＜＜

【答案】

【解读】

解：

∵＝－＋－＝（－）－且＞,

∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（，－），对称轴是直线＝．

由此可知点（，）、点（，－）、顶点（，－）符合题意．

方法一：

①当该抛物线经过点（，－）和（，－）时（如答案图），这两个点符合题意．

将（，－）代入＝－＋－得到－＝－＋－．解得＝．

此时抛物线解读式为＝－＋．

由＝得－＋＝．解得＝－≈，＝＋≈．

∴轴上的点（，）、（，）、（，）符合题意．

则当＝时，恰好有（，）、（，）、（，）、（，－）、（，－）、（，－）、（，－）这个整点符合题意．

∴≤．【注：

的值越大，抛物线的开口越小，的值越小，抛物线的开口越大，】

答案图（＝时）答案图（＝时）

②当该抛物线经过点（，）和点（，）时（如答案图），这两个点符合题意．

此时轴上的点（，）、（，）、（，）也符合题意．

将（，）代入＝－＋－得到＝－＋－．解得＝．

此时抛物线解读式为＝－．

当＝时，得＝×－×＝－＜－．∴点（，－）符合题意．

当＝时，得＝×－×＝－＜－．∴点（，－）符合题意．

综上可知：

当＝时，点（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，－）、（，－）、（，－）、（，－）都符合题意，共有个整点符合题意，

∴＝不符合题．

∴＞．

综合①②可得：

当＜≤时，该函数的图象与轴所围城的区域（含边界）内有七个整点，故答案选．

方法二：

根据题目提供的选项，分别选取＝，＝，＝，依次加以验证．

①当＝时（如答案图），得＝－．

由＝得－＝．解得＝，＝．

∴轴上的点（，）、（，）、（，）、（，）、（，）符合题意．

当＝时，得＝×－×＝－＜－．∴点（，－）符合题意．

当＝时，得＝×－×＝－＜－．∴点（，－）符合题意．

综上可知：

当＝时，点（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，－）、（，－）、（，－）、（，－）都符合题意，共有个整点符合题意，

∴＝不符合题．∴选项不正确．

答案图（＝时）答案图（＝时）答案图（＝时）

②当＝时（如答案图），得＝－＋．

由＝得－＋＝．解得＝－≈，＝＋≈．

∴轴上的点（，）、（，）、（，）符合题意．

当＝时，得＝－×＋＝－．∴点（，－）符合题意．

当＝时，得＝－×＋＝－．∴点（，－）符合题意．

综上可知：

当＝时，点（，）、（，）、（，）、（，－）、（，－）、（，－）、（，－）都符合题意，共有个整点符合题意，

∴＝符合题．

∴选项正确．

③当＝时（如答案图），得＝－＋．

由＝得－＋＝．解得＝，＝．

∴轴上的点（，）、（，）、（，）符合题意．

综上可知：

当＝时，点（，）、（，）、（，）、（，－）、（，－）都符合题意，共有个整点符合题意，

∴＝不符合题．

二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）

．（济南，，分）分解因式：

－＝；

【答案】（＋）（－）

．（济南，，分）在不透明的盒子中装有个黑色棋子和若于个白色做子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑包棋子的概率是，则白色棋子的个数是＝；

【答案】

．（济南，，分）一个正多边形的每个内角等于°，则它的边数是＝；

【答案】

．（济南，，分）若代数式的值是，则＝；

【答案】

．（济南，，分）、两地相距，甲乙两人沿同一条路线从地到地．甲先出发，匀速行驶，甲出发小时后乙再出发，乙以的速度度匀速行驶小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）的关系如图所示，则甲出发小时后和乙相遇．

【答案】．

【解读】甲＝（≤≤）；乙＝；

由方程组解得.

∴答案为．

．（济南，，分）如图，矩形的四个顶点分别在矩形的各条边上，＝，＝，＝．有以下四个结论：

①∠＝∠；②△≌△；③∠＝；④矩形的面积是．其中一定成立的是．（把所有正确结论的序号填在横线上）

【答案】①②④．

【解读】设＝＝，则＝＝．

∵∠＝°，∴∠＋∠＝°.

又∵∠＋∠＝°,

∴∠＝∠…………………………………故①正确．

同理可得∠＝∠.

∴∠＝∠.

又∵∠＝∠＝°，＝,

∴△≌△…………………………………故②正确．

同理可得△≌△.∴＝.

易得△∽△.∴＝.∴＝.∴＝.

∴＝－＝－.∴＝＝－.

在△中，∵＋＝，

∴＋（－）＝.解得＝.∴＝.∴＝－＝.

在△中，∵∠＝＝，∴∠＝°.

∴∠＝°＝.…………………………………故③正确．

矩形的面积＝×＝×＝…………………………………故④正确．

三、解答题（本大题共小题，共分）

．（济南，，分）

计算：

－＋│－│－°＋（π－）．

解：

－＋│－│－°＋（π－）．

＝＋－＋

＝

．（济南，，分）

解不等式组：

解：

由①，得

－＜－.

∴＜.

由②，得

＞－.

∴＞－.

∴不等式组的解集为－＜＜.

．（济南，，分）

如图，在□中，连接，是延长线上的点，是延长线上的点，且＝，连接交于点．

求证：

＝．

证明：

∵□中，

∴＝∥.

∴∠＝∠.

又∵＝，

∴＋＝＋.

∴＝.

又∵∠＝∠,

∴△≌△.

∴＝．

．（济南，，分）

本学期学校开展以“感受中华传统买德”为主题的研学部动，组织名学生多观历史好物馆和民俗晨览馆，每一名学生只能参加其中全顺活动，共支付票款元，票价信息如下：

地点

票价

历史博物馆

元人

民俗展览馆

元人

（）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？

（）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？

解：

（）设参观历史博物馆的有人，则参观民俗展览馆的有（－）人，依题意，得

＋（－）.

＋－＝.

－＝－.

∴＝.

∴－＝.

答：

参观历史博物馆的有人，则参观民俗展览馆的有人．

（）－×＝（元）.

答：

若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款元．

．（济南，，分）

如图是⊙的直径，与⊙相切于点，与⊙相较于点，为⊙上的一点，分别连接、，∠＝°．

（）求∠的度数；

（）若＝，求的长度．

【解读】

解：

（）方法一：

连接（如答案图所示）．

∵是⊙直径，∴∠＝°．

∵＝，∴∠＝∠＝°．

∴∠＝°－∠＝°－°＝°．

第题答案图第题答案图

方法二：

连接、（如答案图所示），则∠＝∠＝×°＝°．

∵＝，∴∠＝∠＝（°－°）＝°．

即∠＝°．

（）∵是⊙的切线，∴∠＝°．

在△中，∵∠＝°，

∴＝＝×＝．∴＝＝．

在△中，∵∠＝，∴°＝＝．∴＝．

∴＝－＝－＝．

．（济南，，分）

某校开设了“”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图、图两幅均不完整的统计图表．

请您根据图表中提供的信息回答下列问题：

（）统计表中的＝，＝；

（）“”对应扇形的圆心角为度；

（）根据调查结果，请您估计该校名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；

（）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“”、“”、“”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．

解：

（）＝÷＝.

＝÷＝.

（）“”对应扇形的圆心角的度数为：

÷×°＝°.

（）估计该校名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：

×＝（人）．

（）列表格如下：

共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：

＝．

．（济南，，分）

如图，直线＝＋与轴交于点（，），与轴交于点（，）．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移（＞）个单位长度，得到对应线段，反比例函数＝（＞）的图象恰好经过、两点，连接、．

（）求和的值；

（）求反比例函数的表达式及四边形的面积；

（）点在轴正半轴上，点是反比例函数＝（＞）的图象上的一个点，若△是以为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标．

第题图第题备用图

【解读】

解：

（）将点（，）代入＝＋，得＝＋．∴＝－．

∴直线的解读式为＝－＋．

将＝代入上式，得＝．∴＝．∴点（，）．

（）由平移可得：

点（，）、（，＋）．

将点（，）、（，＋）分别代入＝，得．解得．

∴反比例函数的解读式为＝，点（，）、点（，）．

分别连接、（如答案图）．

∵（，）、（，），∴∥轴，＝．

∵（，）、（，），∴⊥轴，＝．

∴⊥．

∴四边形＝××＝××＝．

第题答案图

（）①当∠＝°、＝时（如答案图所示），过点作直线∥轴，交轴于点．过点作⊥直线于点，交轴于点．过点作⊥直线于点．

设点（，）（其中＞），则＝，＝－．

∵∠＝°，∴∠＋∠＝°．

∵⊥直线于点，∴∠＋∠＝°．

∴∠＝∠．

又∵∠＝∠＝°，＝，∴△≌△．

∴＝＝，＝＝－．

∴＝＋＝＋＝．∴＝．

将＝代入＝，得＝．∴点（，）．

第题答案图第题答案图

②当∠＝°、＝时（如答案图所示），过点作直线⊥轴与点，则＝＝．过点作⊥轴于点，交直线与点，则⊥直线于点，＝＝．

∵∠＝°，∴∠＋∠＝°．

∵⊥直线于点，∴∠＋∠＝°．

∴∠＝∠．

又∵∠＝∠＝°，＝，∴△≌△．

∴＝，＝．

设＝＝，则＝，＝＋＝＋．∴点（＋，）．

将点（＋，）代入＝，得＝．解得＝－，＝－－．

∴＝＋＝＋．

∴点（＋，－）．

综合①②可知：

点的坐标为（，）或（＋，－）．

．（济南，，分）

在△中，＝，∠＝°，以为边在∠的另一侧作∠＝∠，点为射线上任意一点，在射线上截取＝，连接、、．

（）如图，当点落在线段的延长线上时，直接写出∠的度数；

（）如图，当点落在线段（不含边界）上时，与交于点，请问（）中的结论是否仍成立？

如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（）在（）的条件下，若＝，求的最大值．

第题图第题图

【解读】

解：

（）∠＝°．

（）（）中的结论是否还成立

证明：

连接（如答案图所示）．

∵∠＝°，＝，∴∠＝∠＝°．

又∵∠＝∠，∴∠＝∠＝°．

又∵＝，

∴△≌△.∴＝,∠＝∠.

∴∠＋∠＝∠＋∠＝∠＝°.即∠＝°.

又∵＝,∴∠＝∠＝°．

答案图答案图

（）∵＝，＝，∴＝．

∵∠＝∠＝°且∠＝∠，

∴△∽△.∴＝.∴＝·．∴＝．∴＝．

∴当最短时，最短、最长．

易得当⊥时，最短、最长（如答案图所示），此时＝＝．

∴最短＝＝＝．

∴最长＝－最短＝－＝.

．（济南，，分）

如图，抛物线＝＋＋过（，）、（，）两点，交轴于点，过点作轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为，连接、．点是该抛物线上一动点，设点的横坐标为（＞）．

（）求该抛物线的表达式和∠的正切值；

（）如图，若∠＝°，求的值；

（）如图，过点、的直线与轴于点，过点作⊥，垂足为，直线与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．

第题图第题图第题图

【解读】

解：

（）将点（，）和点（，）分别代入＝＋＋，得

．解得．∴该抛物线的解读式为＝－＋.

将＝代入上式，得＝.∴点（，），＝．

在△中，＝＝＝.

设直线的解读式为＝＋,

将点（，）代入上式，得＝＋．解得＝－．

∴直线的解读式为＝－＋．

同理可得直线的解读式为＝－＋．

求∠方法一：

过点作⊥，交的延长线于点（如答案图所示），则∠＝°．

∵∠＝∠＝°，∠＝∠，∴△∽△.

∴＝＝＝.∴＝.

在△中，∵＋＝,∴（）＋＝＝.

∴＝＝＋＝＋＝.

在△中，∠＝＝＝.

第题答案图第题答案图

求∠方法二：

过点作⊥，交于点（如答案图所示），则·＝－.

∴－＝－.∴＝.

∴可设直线的解读式为＝＋．

将点（，）代入上式，得＝×＋．解得＝－．

∴直线的解读式为＝－．

由方程组解得．∴点（，）．

∴＝＝.

在△中，∠＝＝＝.

求∠方法三：

过点作⊥，交点（如答案图所示），则·＝－.

∴－＝－.∴＝.

∴可设直线的解读式为＝＋．

将点（，）代入上式，得＝＋．解得＝－．

∴直线的解读式为＝－．

由方程组解得．∴点（，）．

∴＝＝，＝＝.

在△中，∠＝＝＝．

第题答案图

（）方法一：

利用“一线三等角”模型

将线段绕点沿顺时针方向旋转°，得到线段′，则

′＝，∠′＝°，∠′＝∠′＝°．

∴∠＋∠′＝°．

又∵∠＋∠＝°，

∴∠＝∠′．

过点′作′⊥轴于点．则∠′＝∠＝°．

∵∠′＝∠＝°，∠＝∠′，′＝，

∴△′≌△．

∴′＝＝，＝＝．

∴＝＋＝＋＝．

∴点′（，）．

设直线′的解读式为＝＋．

将点′（，）代入上式，得＝＋．解得＝－．

∴直线′的解读式为＝－＋．

∵∠＝°，∠′＝°，∴点在直线′上．

设点的坐标为（，），则是方程－＋＝－＋的一个解．

将方程整理，得－＝．

解得＝，＝（不合题意，舍去）．

将＝代入＝－＋，得＝．

∴点的坐标为（，）．

第题答案图第题答案图

（）方法二：

利用正方形中的“全角夹半角”模型．

过点作⊥于点，交于点，连接．易得四边形是正方形．

应用“全角夹半角”可得＝＋．

设（，），则＝，＝－＝－，＝＋＝＋（－）＝－．

在△中，由勾股定理，得＋＝．∴＋＝（－）．解得＝．

∴点（，）．

设直线的解读式为＝＋．

将点（，）代入上式，得＝＋．解得＝－．

∴直线的解读式为＝－＋．

设点的坐标为（，），则是方程－＋＝－＋的一个解．

将方程整理，得－＝．

解得＝，＝（不合题意，舍去）．

将＝代入＝－＋，得＝．

∴点的坐标为（，）．

（）四边形是平行四边形．理由如下：

∵∥轴，∴＝＝．

将＝代入＝－＋，得＝－＋.解得＝，＝．

∴点（，）．

根据题意，得（，－＋），（，），（，）．

∴＝－＋），＝，＝－，＝．

①当＜＜时（如答案图所示），＝－

∵△∽△，∴＝．∴＝．

∴＝＝＝－．

∵△∽△，∴＝．∴＝．

∴＝．∴＝－．

∴＝－＝－（－）＝－．

∴＝＝－．

又∵∥，∴四边形是平行四边形．

第题答案图第题答案图

②当＞时（如答案图所示），同理可得：

四边形是平行四边形．

综合①、②可知：

四边形是平行四边形．