山东省济南市学业水平考试数学试题.docx
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山东省济南市学业水平考试数学试题
山东省济南市2018年学业水平考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（2018济南，1，4分）4的算术平方根是（）
A．2B．－2C．±2D．
【答案】A
2．（2018济南，2，4分）如图所示的几何体，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
【答案】D
3．（2018济南，3，4分）2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力．数字7600用科学记数法表示为（）
A．0.76×104B．7.6×103C．7.6×104D．76×102
【答案】B
4．（2018济南，4，4分）“瓦当”是中国古建筑装饰××头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
ABCD
【答案】D
5．（2018济南，5，4分）如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝35°，则∠BAF的度数为（）
A．17.5°B．35°C．55°D．70°
F
【答案】B
6．（2018济南，6，4分）下列运算正确的是（）
A．a2＋2a＝3a3B．（－2a3）2＝4a5
C．（a＋2）（a－1）＝a2＋a－2D．（a＋b）2＝a2＋b2
【答案】C
7．（2018济南，7，4分）关于x的方程3x－2m＝1的解为正数，则m的取值范围是（）
A．m＜－B．m＞－C．m＞D．m＜
【答案】B
8．（2018济南，8，4分）在反比例函数y＝－图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
【答案】C
9．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（）
A．（0，4）B．（1，1）C．（1，2）D．（2，1）
【答案】C
10．（2018济南，10，4分）下面的统计图大致反应了我国2012年至2017年人均阅读量的情况．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）
A．与2016年相比，2017年我国电子书人均阅读量有所降低
B．2012年至2017年，我国纸质书的人均阅读量的中位数是4.57
C．从2014年到2017年，我国纸质书的人均阅读量逐年增长
D．2013年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的1.8倍还多
3.12
【答案】B
11．（2018济南，11，4分）如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）
A．6π－B．6π－9C．12π－D．
O
【答案】A
12．（2018济南，11，4分）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：
P（1，0）、Q（2，－2）都是“整点”．抛物线y＝mx2－4mx＋4m－2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（）
A．≤m＜1B．＜m≤1C．1＜m≤2D．1＜m＜2
【答案】B
【解析】
解：
∵y＝mx2－4mx＋4m－2＝m（x－2）2－2且m＞0,
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，－2），对称轴是直线x＝2．
由此可知点（2，0）、点（2，－1）、顶点（2，－2）符合题意．
方法一：
①当该抛物线经过点（1，－1）和（3，－1）时（如答案图1），这两个点符合题意．
将（1，－1）代入y＝mx2－4mx＋4m－2得到－1＝m－4m＋4m－2．解得m＝1．
此时抛物线解析式为y＝x2－4x＋2．
由y＝0得x2－4x＋2＝0．解得x1＝2－≈0.6，x2＝2＋≈3.4．
∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．
则当m＝1时，恰好有（1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，－1）、（3，－1）、（2，－1）、（2，－2）这7个整点符合题意．
∴m≤1．【注：
m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大，】
答案图1（m＝1时）答案图2（m＝时）
②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．
此时x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．
将（0，0）代入y＝mx2－4mx＋4m－2得到0＝0－4m＋0－2．解得m＝．
此时抛物线解析式为y＝x2－2x．
当x＝1时，得y＝×1－2×1＝－＜－1．∴点（1，－1）符合题意．
当x＝3时，得y＝×9－2×3＝－＜－1．∴点（3，－1）符合题意．
综上可知：
当m＝时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，－1）、（3，－1）、（2，－2）、（2，－1）都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴m＝不符合题．
∴m＞．
综合①②可得：
当＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围城的区域（含边界）内有七个整点，故答案选B．
方法二：
根据题目提供的选项，分别选取m＝，m＝1，m＝2，依次加以验证．
①当m＝时（如答案图3），得y＝x2－2x．
由y＝0得x2－2x＝0．解得x1＝0，x2＝4．
∴x轴上的点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）符合题意．
当x＝1时，得y＝×1－2×1＝－＜－1．∴点（1，－1）符合题意．
当x＝3时，得y＝×9－2×3＝－＜－1．∴点（3，－1）符合题意．
综上可知：
当m＝时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，－1）、（3，－1）、（2，－2）、（2，－1）都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴m＝不符合题．∴选项A不正确．
答案图3（m＝时）答案图4（m＝1时）答案图5（m＝2时）
②当m＝1时（如答案图4），得y＝x2－4x＋2．
由y＝0得x2－4x＋2＝0．解得x1＝2－≈0.6，x2＝2＋≈3.4．
∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．
当x＝1时，得y＝1－4×1＋2＝－1．∴点（1，－1）符合题意．
当x＝3时，得y＝9－4×3＋2＝－1．∴点（3，－1）符合题意．
综上可知：
当m＝1时，点（1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，－1）、（3，－1）、（2，－2）、（2，－1）都符合题意，共有7个整点符合题意，
∴m＝1符合题．
∴选项B正确．
③当m＝2时（如答案图5），得y＝2x2－8x＋6．
由y＝0得2x2－8x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝3．
∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．
综上可知：
当m＝2时，点（1，0）、（2，0）、（3，0）、（2，－2）、（2，－1）都符合题意，共有5个整点符合题意，
∴m＝2不符合题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（2018济南，13，4分）分解因式：
m2－4＝____________；
【答案】（m＋2）（m－2）
14．（2018济南，14，4分）在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若于个白色做子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑包棋子的概率是，则白色棋子的个数是＝____________；
【答案】15
15．（2018济南，15，4分）一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是＝____________；
【答案】5
16．（2018济南，16，4分）若代数式的值是2，则x＝____________；
【答案】6
17．（2018济南，17，4分）A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发____________小时后和乙相遇．
【答案】．
【解析】y甲＝4t（0≤t≤4）；y乙＝；
由方程组解得.
∴答案为．
18．（2018济南，18，4分）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：
①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面积是4．其中一定成立的是____________．（把所有正确结论的序号填在横线上）
【答案】①②④．
【解析】设EH＝AB＝a，则CD＝GH＝a．
∵∠FGH＝90°，∴∠BGF＋∠CGH＝90°.
又∵∠CGH＋∠CHG＝90°,
∴∠BGF＝∠CHG…………………………………故①正确．
同理可得∠DEH＝∠CHG.
∴∠BGF＝∠DEH.
又∵∠B＝∠D＝90°，FG＝EH,
∴△BFG≌△DHE…………………………………故②正确．
同理可得△AFE≌△CHG.∴AF＝CH.
易得△BFG∽△CGH.∴＝.∴＝.∴BF＝.
∴AF＝AB－BF＝a－.∴CH＝AF＝a－.
在Rt△CGH中，∵CG2＋CH2＝GH2，
∴32＋（a－）2＝a2.解得a＝2.∴GH＝2.∴BF＝a－＝.
在Rt△BFG中，∵cos∠BFG＝＝，∴∠BFG＝30°.
∴tan∠BFG＝tan30°＝.…………………………………故③正确．
矩形EFGH的面积＝FG×GH＝2×2＝4…………………………………故④正确．
三、解答题（本大题共9小题，共78分）
19．（2018济南，19，6分）
计算：
2－1＋│－5│－sin30°＋（π－1）0．
解：
2－1＋│－5│－sin30°＋（π－1）0．
＝＋5－＋1
＝6
20．（2018济南，20，6分）
解不等式组：
解：
由①，得
3x－2x＜3－1.
∴x＜2.
由②，得
4x＞3x－1.
∴x＞－1.
∴不等式组的解集为－1＜x＜2.
21．（2018济南，21，6分）
如图，在□ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE＝CF，连接EF交BD于点O．
求证：
OB＝OD．
证明：
∵□ABCD中，
∴AD＝BC,AD∥BC.
∴∠ADB＝∠CBD.
又∵AE＝CF，
∴AE＋AD＝CF＋BC.
∴ED＝FB.
又∵∠EOD＝∠FOB,
∴△EOD≌△FOB.
∴OB＝OD．
22．（2018济南，22，8分）
本学期学校开展以“感受中华传统买德”为主题的研学部动，组织150名学生多观历史好物馆和民俗晨览馆，每一名学生只能参加其中全顺活动，共支付票款2000元，票价信息如下：
地点
票价
历史博物馆
10元/人
民俗展览馆
20元/人
（1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？
（2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？
解：
（1）设参观历史博物馆的有x人，则参观民俗展览馆的有（150－x）人，依题意，得
10x＋20（150－x）2000.
10x＋3000－20x＝2000.
－10x＝－1000.
∴x＝100.
∴150－x＝50.
答：
参观历史博物馆的有100人，则参观民俗展览馆的有50人．
（2）2000－150×10＝500（元）.
答：
若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款500元．
23．（2018济南，23，8分）
如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相较于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB＝6，求PD的长度．
【解析】
解：
（1）方法一：
连接AD（如答案图1所示）．
∵BA是⊙O直径，∴∠BDA＝90°．
∵＝，∴∠BAD＝∠C＝60°．
∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－60°＝30°．
第23题答案图1第23题答案图2
方法二：
连接DA、OD（如答案图2所示），则∠BOD＝2∠C＝2×60°＝120°．
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°－120°）＝30°．
即∠ABD＝30°．
（2）∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°．
在Rt△BAD中，∵∠ABD＝30°，
∴DA＝BA＝×6＝3．∴BD＝DA＝3．
在Rt△BAP中，∵cos∠ABD＝，∴cos30°＝＝．∴BP＝4．
∴PD＝BP－BD＝4－3＝．
24．（2018济南，24，10分）
某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝________，b＝_______；
（2）“D”对应扇形的圆心角为_______度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
解：
（1）a＝36÷0.45＝80.
b＝16÷80＝0.20.
（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：
8÷80×360°＝36°.
（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：
2000×0.25＝500（人）．
（4）列表格如下：
A
B
C
A
A,A
B,A
C,A
B
A,B
B,B
C,B
C
A,C
B,C
C,C
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：
＝．
25．（2018济南，25，10分）
如图，直线y＝ax＋2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．
（1）求a和b的值；
（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；
（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．
第25题图第25题备用图
【解析】
解：
（1）将点A（1，0）代入y＝ax＋2，得0＝a＋2．∴a＝－2．
∴直线的解析式为y＝－2x＋2．
将x＝0代入上式，得y＝2．∴b＝2．∴点B（0，2）．
（2）由平移可得：
点C（2，t）、D（1，2＋t）．
将点C（2，t）、D（1，2＋t）分别代入y＝，得．解得．
∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．
分别连接BC、AD（如答案图1）．
∵B（0，2）、C（2，2），∴BC∥x轴，BC＝2．
∵A（1，0）、D（1，4），∴AD⊥x轴，AD＝4．
∴BC⊥AD．
∴S四边形ABDC＝×BC×AD＝×2×4＝4．
第25题答案图1
（3）①当∠NCM＝90°、CM＝CN时（如答案图2所示），过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E．
设点N（m，0）（其中m＞0），则ON＝m，CE＝2－m．
∵∠MCN＝90°，∴∠MCF＋∠NCE＝90°．
∵NE⊥直线l于点E，∴∠ENC＋∠NCE＝90°．
∴∠MCF＝∠ENC．
又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，∴△NEC≌△CFM．
∴CF＝EN＝2，FM＝CE＝2－m．
∴FG＝CG＋CF＝2＋2＝4．∴xM＝4．
将x＝4代入y＝，得y＝1．∴点M（4，1）．
第25题答案图2第25题答案图3
②当∠NMC＝90°、MC＝MN时（如答案图3所示），过点C作直线l⊥y轴与点F，则CF＝xC＝2．过点M作MG⊥x轴于点G，MG交直线l与点E，则MG⊥直线l于点E，EG＝yC＝2．
∵∠CMN＝90°，∴∠CME＋∠NMG＝90°．
∵ME⊥直线l于点E，∴∠ECM＋∠CME＝90°．
∴∠NMG＝∠ECM．
又∵∠CEM＝∠NGM＝90°，CM＝MN，∴△CEM≌△MGN．
∴CE＝MG，EM＝NG．
设CE＝MG＝a，则yM＝a，xM＝CF＋CE＝2＋a．∴点M（2＋a，a）．
将点M（2＋a，a）代入y＝，得a＝．解得a1＝－1，a2＝－－1．
∴xM＝2＋a＝＋1．
∴点M（＋1，－1）．
综合①②可知：
点M的坐标为（4，1）或（＋1，－1）．
26．（2018济南，26，12分）
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问
（1）中的结论是否仍成立？
如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在
（2）的条件下，若AB＝6，求CF的最大值．
第26题图1第26题图2
【解析】
解：
（1）∠ADE＝30°．
（2）
（1）中的结论是否还成立
证明：
连接AE（如答案图1所示）．
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°．
又∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°．
又∵CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE.∴AD＝AE,∠1＝∠2.
∴∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝∠BAC＝120°.即∠DAE＝120°.
又∵AD＝AE,∴∠ADE＝∠AED＝30°．
答案图1答案图2
（3）∵AB＝AC，AB＝6，∴AC＝6．
∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，
∴△ADF∽△ACD.∴＝.∴AD2＝AF·AC．∴AD2＝6AF．∴AF＝．
∴当AD最短时，AF最短、CF最长．
易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长（如答案图2所示），此时AD＝AB＝3．
∴AF最短＝＝＝．
∴CF最长＝AC－AF最短＝6－＝.
27．（2018济南，27，12分）
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋4过A（2，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）．
（1）求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；
（2）如图2，若∠ACP＝45°，求m的值；
（3）如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由．
第27题图1第27题图2第27题图3
【解析】
解：
（1）将点A（2，0）和点B（4，0）分别代入y＝ax2＋bx＋4，得
．解得．∴该抛物线的解析式为y＝x2－3x＋4.
将x＝0代入上式，得y＝4.∴点C（0，4），OC＝4．
在Rt△AOC中，AC＝＝＝2.
设直线AC的解析式为y＝kx＋4,
将点A（2，0）代入上式，得0＝2k＋4．解得k＝－2．
∴直线AC的解析式为y＝－2x＋4．
同理可得直线BC的解析式为y＝－x＋4．
求tan∠ACB方法一：
过点B作BG⊥CA，交CA的延长线于点G（如答案图1所示），则∠G＝90°．
∵∠COA＝∠G＝90°，∠CAO＝∠BAG，∴△GAB∽△OAC.
∴＝＝＝2.∴BG＝2AG.
在Rt△ABG中，∵BG2＋AG2＝AB2,∴（2AG）2＋AG2＝22.AG＝.
∴BG＝,CG＝AC＋AG＝2＋＝.
在Rt△BCG中，tan∠ACB＝＝＝.
第27题答案图1第27题答案图2
求tan∠ACB方法二：
过点A作AE⊥AC，交BC于点E（如答案图2所示），则kAE·kAC＝－1.
∴－2kAE＝－1.∴kAE＝.
∴可设直线AE的解析式为y＝x＋m．
将点A（2，0）代入上式，得0＝×2＋m．解得m＝－1．
∴直线AE的解析式为y＝x－1．
由方程组解得．∴点E（，）．
∴AE＝＝.
在Rt△AEC中，tan∠ACB＝＝＝.
求tan∠ACB方法三：
过点A作AF⊥BC，交BC点E（如答案图3所示），则kAF·kBC＝－1.
∴－kAF＝－1.∴kAF＝1.
∴可设直线AF的解析式为y＝x＋n．
将点A（2，0）代入上式，得0＝2＋n．解得n＝－2．
∴直线AF的解析式为y＝x－2．
由方程组解得．∴点F（3，1）．
∴AF＝＝，CF＝＝3.
在Rt△AEC中，tan∠ACB＝＝＝．
第27题答案图3
（2）方法一：
利用“一线三等角”模型
将线段AC绕点A沿顺时针方向旋转90°，得到线段AC′，则
AC′＝AC，∠C′AC＝90°，∠CC′A＝∠ACC′＝45°．
∴∠CAO＋∠C′AB＝90°．
又∵∠OCA＋∠CAO＝90°，
∴∠OCA＝∠C′AB．
过点C′作C′E⊥x轴于点E．则∠C′EA＝∠COA＝90°．
∵∠C′EA＝∠COA＝90°，∠OCA＝∠C′AB，AC′＝AC，
∴△C′EA≌△AOC．
∴C′E＝OA＝2，AE＝OC＝4．
∴OE＝OA＋AE＝2＋4＝6．
∴点C′（6，2）．
设直线C′C的解析式为y＝hx＋4．
将点C′（6，2）代入上式，得2＝6h＋4．解得h＝－．
∴直线C′C的解析式为y＝－x＋4．
∵∠ACP＝45°，∠ACC′＝45°，∴点P在直线C′C上．
设点P的坐标为（x，y），则x是方程x2－3x＋4＝－x＋4的一个解．
将方程整理，得3x2－14x＝0．
解得x1＝，x2＝0（不合题意，舍去）．
将x1＝代入y＝－x＋4，得y＝．
∴点P的坐标为（，）．
第27题答案图4第27题答案图5
（2）方法二：
利用正方形中的“全角夹半角”模型．
过点B作BH⊥CD于点H，交CP于点K，连接AK．易得四边形OBHC是正方形．
应用“全角夹半角”可得AK＝OA＋HK．
设K（4，h），则BK＝h，HK＝HB－KB＝4－h，AK＝OA＋HK＝2＋（4－h）＝6－h．
在Rt△ABK中，由勾股定理，得AB2＋BK2＝AK2．∴22＋h2＝（6－h）2．解得h＝．
∴点K（4，）．
设直线CK的解析式为y＝hx＋4．
将点K（4，）代入上式，得＝4h＋4．解得h＝－．
∴直线CK的解析式为y＝－x＋4．
设点P的坐标为（x，y），则x是方程x2－3x＋4＝－x＋4的一个解．
将方程整理，得3x2－14x＝0．
解得x1＝，x2＝0（不合题意
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