高中物理人教版选修34周末班讲义113简谐运动的回复力和能量教师版.docx
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高中物理人教版选修34周末班讲义113简谐运动的回复力和能量教师版
●简谐运动的回复力和能量
学习目标
1.理解简谐运动的运动规律,掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律.(重、难点)
2.掌握简谐运动回复力的特征.(重点)
3.对水平的弹簧振子,能定性地说明弹性势能与动能的转化过程.
考点一、简谐运动的回复力
1.回复力
(1)定义:
振动质点受到的总能使其回到__________的力.
(2)方向:
指向__________.
(3)表达式:
F=______.
答案:
平衡位置平衡位置-kx
2.简谐运动的动力学特征
如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成______,并且总是指向__________,质点的运动就是简谐运动.
答案:
正比平衡位置
1.回复力的方向总是与位移的方向相反.(√)
2.回复力的方向总是与速度的方向相反.(×)
3.回复力的方向总是与加速度的方向相反.(×)
1.公式F=-kx中的k是否就是指弹簧的劲度系数?
【提示】 不一定.做简谐运动的物体,其回复力特点为F=-kx,这是判断物体是否做简谐运动的依据,但k不一定是弹簧的劲度系数.
2.弹簧振子从平衡位置到达最大位移处的过程中,回复力如何变化?
从最大位移处向平衡位置运动的过程中呢?
【提示】 由回复力F=-kx可知:
从平衡位置到达最大位移处的过程中,回复力逐渐增大,方向一直指向平衡位置.从最大位移处向平衡位置运动的过程中,回复力逐渐减小,方向一直指向平衡位置.
1.回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的,它可以是一个力,也可以是多个力的合力,还可以由某个力的分力提供.如图1131甲所示,水平方向的弹簧振子,弹力充当回复力;如图1131乙所示,竖直方向的弹簧振子,弹力和重力的合力充当回复力;如图1131丙所示,m随M一起振动,m的回复力是静摩擦力.
图1131
2.简谐运动的回复力的特点
(1)由F=-kx知,简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比,回复力的方向与位移的方向相反,即回复力的方向总是指向平衡位置.
(2)公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定.
(3)根据牛顿第二定律得,a=
=-
x,表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比,加速度方向与位移方向相反.
1.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动,在振子向平衡位置运动的过程中( )
A.振子所受的回复力逐渐增大
B.振子的位移逐渐减小
C.振子的速度逐渐减小
D.振子的加速度逐渐减小
E.弹簧的形变量逐渐减小
【解析】 该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系,应根据牛顿第二定律进行分析.当振子向平衡位置运动时,位移逐渐减小,而回复力与位移成正比,故回复力也减小.由牛顿第二定律a=
得加速度也减小.物体向着平衡位置运动时,回复力与速度方向一致,即加速度与速度方向一致,故物体的速度逐渐增大,D正确.故正确答案为B、D、E.
【答案】 BDE
2.如图1132所示,分析做简谐运动的弹簧振子m的受力情况.
图1132
【解析】 弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力,回复力为效果力,受力分析时不分析此力,故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力.
【答案】 受重力、支持力及弹簧给它的弹力.
3.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动,在振子向平衡位置运动的过程中( )
A.振子所受的回复力逐渐增大
B.振子的位移逐渐增大
C.振子的速度逐渐减小
D.振子的加速度逐渐减小
3.D [该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系,应根据牛顿第二定律进行分析.当振子向平衡位置运动时,位移逐渐减小,而回复力与位移成正比,故回复力也减小.由牛顿第二定律a=F/m得加速度也减小.物体向着平衡位置运动时,回复力与速度方向一致,故物体的速度逐渐增大,正确答案选D.]
点评 分析回复力变化时,应始终抓住F=-kx这一关系.若判断速度的变化,应找出加速度与速度方向的关系.
图1
4.如图1所示,对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析,正确的是( )
A.重力、支持力、弹簧的弹力
B.重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C.重力、支持力、回复力、摩擦力
D.重力、支持力、摩擦力
4.A [本题主要考查回复力的来源及性质.一定要明确,回复力不是做简谐运动物体受到的具体的力,它是由物体受到的具体的力所提供.在此题中弹簧的弹力充当回复力,因此只有选项A正确.]
点评 回复力是按效果命名的,它是由物体受到的具体的力所提供,故解决这类问题时一定要进行全面的受力分析.
判断是否为简谐运动的方法
(1)以平衡位置为原点,沿运动方向建立直线坐标系.
(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外),对振动物体进行受力分析.
(3)将力在振动方向上分解,求出振动方向上的合力.
(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F=-kx(或a=-
x),若符合,则为简谐运动,否则不是简谐运动.
考点二、简谐运动的能量
1.振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是______和______互相转化的过程.
(1)在最大位移处,______最大,______为零.
(2)在平衡位置处,______最大,______最小.
2.简谐运动的能量特点:
在简谐运动中,振动系统的机械能______,而在实际运动中都有一定的能量损耗,因此简谐运动是一种________的模型.
答案:
动能势能势能动能动能势能守恒理想化
1.简谐运动是一种理想化的振动.(√)
2.水平弹簧振子运动到平衡位置时,回复力为零,因此能量一定为零.(×)
3.弹簧振子位移最大时,势能也最大.(√)
1.振子经过同一位置时,位移、回复力、加速度、速率、动能各物理量的关系如何?
【提示】 振子经过同一位置时,位移、回复力、加速度、速率、动能一定相同,但速度不一定相同,方向可能相反.
2.振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′时各物理量的关系如何?
【提示】 位移、回复力、加速度大小相等,方向相反,动能、势能相等,速度大小相等,方向可能相同也可能相反,且振子往复通过一段路程(如OP)所用时间相等,即tOP=tPO.
简谐运动的特点
如图1134所示的弹簧振子.
图1134
振子的运动
位移
加速度
速度
动能
势能
O→B
增大,方向向右
增大,方向向左
减小,方向向右
减小
增大
B
最大
最大
0
0
最大
B→O
减小,方向向右
减小,方向向左
增大,方向向左
增大
减小
O
0
0
最大
最大
0
O→C
增大,方向向左
增大,方向向右
减小,方向向左
减小
增大
C
最大
最大
0
0
最大
C→O
减小,方向向左
减小,方向向右
增大,方向向右
增大
减小
(1)在简谐运动中,位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小,与速度和动能的变化步调相反.
(2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点.
(3)最大位移处是速度方向变化的转折点.
(4)简谐运动的位移与前面学过的位移不同,简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段,位移起点是平衡位置,是矢量.
图2
1.如图2所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,平衡位置为O,已知振子的质量为
M,若振子运动到B处时将一质量为m的物体轻轻地放到M的上面,且m和M无相对
滑动地一起运动,下述正确的是( )
A.振幅不变
B.振幅减小
C.最大动能不变
D.最大动能减少
1.AC [当振子运动到B处时,M的动能为零,放上m,系统的总能量为弹簧所储存的弹性势能Ep,由于简谐运动过程中系统的机械能守恒,即振幅不变,故A正确.当M和m运动至平衡位置O时,M和m的动能和即为系统的总能量,此时动能最大,故最大动能不变,C正确.]
点评 在分析简谐运动的能量问题时,要弄清运动质点的受力情况和所受力的做功情况,弄清是什么能之间的转化及转化关系等.
在分析问题时,注意找准振子到达B处时M动能为零这一关键点.
2.在光滑斜面上的物块A被平行于斜面
图3
的轻质弹簧拉住静止于O点,如图3所示,现将A沿斜面拉到B点无初速度释放,物块
在BC范围内做简谐运动,则下列说法正确的是( )
A.OB越长,振动能量越大
B.在振动过程中,物块A的机械能守恒
C.A在C点时,由物块与弹簧构成的系统势能最大,在O点时最小
D.A在C点时,由物块与弹簧构成的系统势能最大,在B点时最小
2.AC [由弹簧、物块A所构成的系统在简谐运动中机械能守恒,且动能、重力势能、弹性势能不断相互转化.在平衡位置O处动能最大,在最大位移处势能最大.做简谐运动的物体的能量跟振幅有关,振幅越大,机械能就越大,所以A正确;在简谐运动中,系统机械能守恒,但物块A的重力势能与动能总和不断变化,A的机械能不守恒,B是错误的;在简谐运动中,系统在最大位移处势能最大,在平衡位置动能最大,势能最小,所以选项C是正确的,而D是错误的.]
点评 简谐运动的能量一般指振动系统的机械能,振动的过程就是动能和势能相互转化的过程.
3.如图5所示,质量
图5
为m的物体A放在质量为M的物体B上,B与弹簧相连,它们一起在光滑水平面上做
简谐运动,振动过程中A、B之间无相对运动.设弹簧的劲度系数为k,则物体A做简
谐运动的回复力的比例系数k′为( )
A.kB.
k
C.
kD.
k
3.C [A、B一起做简谐运动,对A、B组成的系统而言,回复力是弹簧的弹力,而对于A而言,回复力则是B对A的静摩擦力.当物体离开平衡位置的位移为x时,利用整体法和牛顿第二定律求出整体的加速度,再利用隔离法求A受到的静摩擦力(即A需要的回复力).
对A、B组成的系统,由牛顿第二定律得F=(M+m)a.
又F=-kx,则a=-
.
对A由牛顿第二定律得Ff=ma=-
kx.
由以上分析可知:
做简谐运动的物体A所受的静摩擦力提供回复力,其比例系数为k′=
k.]
方法总结 对简谐运动中的力学问题,也应象普通力学问题一样进行严格的受力分析,而不能简单的认为回复力是弹簧的弹力或其他某一力.
4.一平台在竖直方向上做简谐运动,一物体置于其上一起振动,则有( )
A.当平台振动到最低点时,物体对平台的正压力最大
B.当平台振动到最高点时,物体对平台的正压力最小
C.当平台向上振动经过平衡位置时,物体对平台的正压力最大
D.当平台向下振动经过平衡位置时,物体对平台的正压力最小
4.AB [平台在竖直方向做简谐运动,放在平台上的物体也在竖直方向上随平台一起做简谐运动,物体做简谐运动的回复力由它所受的重力mg和平台对它的支持力FN的合力提供,物体在最高点时,回复力和加速度均向下且最大,由牛顿第二定律得mg-FN=mamax.
所以,在最高点时,平台对物体的支持力最小,由牛顿第三定律知,物体对平台的压力也最小.在最低点时,回复力和加速度均向上且最大,由牛顿第二定律得FN-mg=mamax
所以,在最低点时,平台对物体的支持力最大,由牛顿第三定律知,物体对平台的压力也最大.物体通过平衡位置时,加速度和回复力均为零,则FN=mg,即平台对物体的支持力等于物体的重力,与运动方向没关系.选项A、B正确.]
方法总结 简谐运动中,质点在关于平衡位置对称的两点,其回复力大小相等、方向相反、呈对称性.但其中的某一个力不一定呈对称性.
5.把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,它围绕平衡位置O在A、B间振动,如图1135所示,下列结论正确的是( )
A.小球在O位置时,动能最大,加速度最小
B.小球在A、B位置时,动能最小,加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中,回复力一直做正功
D.小球从B到O的过程中,振子振动的能量不断增加
E.小球从B到O的过程中,动能增大,势能减小,总能量不变
【解析】 小球在平衡位置O时,弹簧处于原长,弹性势能为零,动能最大,位移为零,加速度为零,A项正确;在最大位移A、B处,动能为零,加速度最大,B项正确;由A→O,回复力做正功,由O→B,回复力做负功,C项错误;由B→O,动能增加,弹性势能减少,总能量不变,D项错误.E项正确.
【答案】 ABE
6.弹簧振子做简谐运动,其位移x与时间t的关系如图1136所示,则( )
图1136
A.在t=1s时,速度的值最大,方向为负,加速度为零
B.在t=2s时,速度的值最大,方向为负,加速度为零
C.在t=3s时,速度的值最大,方向为正,加速度最大
D.在t=4s时,速度的值最大,方向为正,加速度为零
E.当t=5s时,速度为零,加速度最大,方向为负
【解析】 当t=1s和t=5s时,位移最大,加速度最大,速度为零,选项A错误,E正确;当t=2s时,位移为零,加速度为零,而速度最大,速度方向要看该点切线斜率的正负,t=2s时,速度为负值,选项B正确;当t=3s时,位移最大,加速度最大,速度为零,选项C错误;当t=4s时,位移为零,加速度为零,速度最大,方向为正,选项D正确.
【答案】 BDE
7.如图1137所示为一弹簧振子的振动图象,在A,B,C,D,E,F各时刻中:
(1)哪些时刻振子有最大动能?
(2)哪些时刻振子有相同速度?
(3)哪些时刻振子有最大势能?
(4)哪些时刻振子有相同的最大加速度?
【解析】 由题图知,B,D,F时刻振子在平衡位置,具有最大动能,此时振子的速率最大;A,C,E时刻振子在最大位移处,具有最大势能,此时振子的速度为0.B,F时刻振子向负方向运动,D时刻振子向正方向运动,可知D时刻与B,F时刻虽然速率相同,但方向相反.A,E两时刻振子的位移相同,C时刻振子的位移虽然大小与A,E两时刻相同,但方向相反.由回复力知识可知C时刻与A,E时刻振子受力大小相等,但方向相反,故加速度大小相等,方向相反.
【答案】
(1)B,D,F时刻振子有最大动能.
(2)A,C,E时刻振子速度相同,B,F时刻振子速度相同.
(3)A,C,E时刻振子有最大势能. (4)A,E时刻振子有相同的最大加速度.
对简谐运动能量的三点认识
(1)决定因素:
对于一个确定的振动系统,简谐运动的能量由振幅决定,振幅越大,系统的能量越大.
(2)能量获得:
系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的.
(3)能量转化:
当振动系统自由振动后,如果不考虑阻力作用,系统只发生动能和势能的相互转化,机械能守恒.
1.做简谐运动的振子每次通过同一位置时,相同的物理量是( )
A.速度B.加速度
C.位移D.动能
1.BCD [振子通过同一位置时,位移、加速度的大小和方向都相同.速度的大小相同,但方向不一定相同,因此B、C、D正确.]
2.弹簧振子在做简谐运动的过程中,下列说法正确的是( )
A.加速度的方向总是与位移的方向相同,而与速度方向相反
B.在物体靠近平衡位置运动时,速度方向与位移方向相反,且大小都减小
C.从平衡位置到最大位移处它的动能逐渐减小
D.从最大位移处到平衡位置它的机械能逐渐减小
2.C [由牛顿第二定律,知a=
=-
x,a与x成正比,x减小时,a的大小也减小,a与x的方向总相反,A错;靠近平衡位置运动时,位移减小,速度增大,B错;从平衡位置到最大位移处的运动是振子远离平衡位置的运动,速度减小,动能减小,C正确;简谐运动过程中机械能守恒,D错.]
3.做简谐运动的物体,其加速度a随位移x变化的规律应是下图中的( )
3.B [以弹簧振子为例,F=-kx=ma,所以a=-
,故a=-k′x,故正确选项应为B.]
图6
4.如图6所示,弹簧振子B上放一个物块A,在A与B一起做简谐运动的过程中,下
列关于A受力的说法中正确的是( )
A.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C.物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D.物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
4.D [物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用.摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力,所以随时间变化其大小和方向都变化,D选项正确.]
5.质点做简谐运动,从质点经过某一位置时开始计时,则( )
A.当质点再次经过此位置时,经过的时间为一个周期
B.当质点的速度再次与零时刻的速度相同时,经过的时间为一个周期
C.当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时,经过的时间为一个周期
D.当质点经过的路程为振幅的4倍时,经过的时间为一个周期
5.D [若从最大位移处开始计时,当质点再次经过此位置时,经过的时间为一个周期,若从其他位置开始计时,则小于一个周期,故A错误;当速度再次与零时刻的速度相同时,有可能是过关于平衡位置对称的两个点,故B错误;当加速度再次与零时刻的加速度相同时,有可能是两次经过平衡位置一侧的某个点,故C错误;一个周期的路程为振幅的4倍.]
图7
6.如图7所示,在光滑水平桌面上有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,开始时振子被
拉到平衡位置O的右侧A处,此时拉力大小为F,然后轻轻释放振子,振子从初速度为
零的状态开始向左运动,经过时间t后,第一次到达平衡位置O处,此时振子的速度为
v,则在这个过程中振子的平均速度( )
A.等于
B.等于
C.小于
D.等于不为零的某值,但由题设条件无法求出
6.B [
由于振子从A→O的运动不是匀变速直线运动,A点加速度最大,O点加速度为零,v-t图象如图所示,故
>
,即A、C选项都不对;由F回=-kx知,A→O位移大小为
,据平均速度定义
=
=
,故B对.]
7.一质点做简谐运动的图象如图8所示,则该质点( )
图8
A.在0~0.01s内,速度与加速度同向
B.在0.01s~0.02s内,速度与回复力同向
C.在0.025s时,速度为正,加速度为正
D.在0.04s时,速度最大,回复力为零
7.AC [F、a与x始终反向,所以由x的正负就能确定a的正负.在x-t图象上,图线各点切线的斜率表示该点的速度,由斜率的正负又可确定v的正负,由此判断A、C正确.]
8.甲、乙两弹簧振子,振动图象如图9所示,则可知( )
图9
A.两弹簧振子完全相同
B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1
C.振子甲速度为零时,振子乙速度最大
D.两振子的振动频率之比f甲∶f乙=1∶2
8.CD [仔细观察图象,从图象上尽可能多地获取信息.从图象中比较甲、乙两弹簧振子的振幅和周期,并与物理模型相联系,通过对图象并结合模型的分析,选出正确选项.从图象中可以看出,两弹簧振子周期之比T甲∶T乙=2∶1,得频率之比f甲∶f乙=1∶2,D选项正确;弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关,周期不同,说明两弹簧振子不同,A错误;由于弹簧的劲度系数k不一定相同,所以两振子受回复力(F=-kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1,所以B错误;由简谐运动的特点可知,在振子到达平衡位置时位移为零,速度最大;在振子到达最大位移处时,速度为零,从图象中可以看出,在振子甲到达最大位移处时,振子乙恰好到达平衡位置,所以C正确.]
9.如图10所示,
图10
物体A置于物体B上,一轻质弹簧一端固定,另一端与B相连,在弹性限度范围内,A
和B一起在光滑水平面上做往复运动(不计空气阻力),并保持相对静止,则下列说法正
确的是( )
A.A和B均做简谐运动
B.作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C.B对A的静摩擦力对A做负功,而A对B的静摩擦力对B不做功
D.B对A的静摩擦力始终对A做正功,而A对B的静摩擦力始终对B做负功
9.AB [A、B保持相对静止,其水平方向的运动等效于水平方向上弹簧振子的运动,故A对;A物体做简谐运动的回复力是由B对A的静摩擦力提供的,设B对A的静摩擦力为F时,弹簧伸长量为x,对A物体有F=mAa,对A、B整体有kx=(mA+mB)a,联立得F=
,由此可知B项正确;B对A的静摩擦力可以对A做正功,也可以对A做负功,故C、D错.]
图11
10.如图11为一水平弹簧振子的振动图象,由此可知( )
A.在t1时刻,振子的动能最大,所受的弹性力最大
B.在t2时刻,振子的动能最大,所受的弹性力最小
C.在t3时刻,振子的动能最大,所受的弹性力最小
D.在t4时刻,振子的动能最大,所受的弹性力最大
10.B [从图象的横坐标和纵坐标可以知道此图是机械振动图象,它所描述的是一个质点在不同时刻的位置,t2和t4是在平衡位置处,t1和t3是在最大位移处,头脑中应出现弹簧振子振动的实物图形.根据弹簧振子振动的特征,弹簧振子在平衡位置时的速度最大,加速度为零,即弹性力为零;在最大位移处,速度为零,加速度最大,即弹性力为最大,所以B项正确.]
图12
11.如图12所示的弹簧振子,O为平衡位置,B、C为最大位移位置,以向右的方向为
正方向,则振子从B运动到O的过程中,位移为________,大小逐渐________,回复力
方向为________,大小逐渐________,振子速度方向为________,大小逐渐________,
动能逐渐________,势能逐渐________.(选填“正”、“负”、“增大”或“减小”)
图13
11.正 减小 负 减小 负 增大 增大 减小
解析 振子从B向O运动的过程中,位置在O点的右方,与O的距离逐渐减小,故位移为正值,大小逐渐减小.由F=-kx和a=-
x可知,回复力和加速度的大小均在减小,方向为负,振子的速度方向为负,大小逐渐增大,故动能逐渐增大,势能逐渐减小.
12.甲、乙两弹簧振子的劲度系数相等,且水平放置,其振动图象如图13所示,则它们振动的机械能大小关系是E甲________E乙(选填“>”“=”“<”);振动频率的大小关系是f甲________f乙(选填“>”“=”“<”);在0~4s内,甲的加速度为正向最大的时刻是________,乙的加速度为正向最大的时刻是________.
12.> < 3s末 0.5s末和2.5s末
解析 振动的机械能是由振幅决定的.由题图可知A甲=10cm,A乙=5cm,因此E甲>E乙,由图象知:
T甲=4s,T乙=2s.则f甲=
=
Hz,f乙=
=
Hz,故f甲知a与x成正比且方向相反,加速度为正向最大的时刻也就是位移为负向最大的时刻,对于甲对应时刻应为t=3s;对于乙,加速度正向最大的对应时刻应为t1=0.5s和t2=2.5s.
13.如图
图14
14所示,斜面光滑,轻质弹簧一端固定在斜面上,下端挂一质量为m的小球.向下拉动小球,释放后小球来回振动.试证明小球的振动为简谐运动.
13.见解析
解析 设O点为小球振动的平衡位置,此时弹簧形变量为x0.且mgsinθ=kx0,现把小球沿斜面向下拉动,偏离平衡位置的位移为x.设沿斜面向下为正方向.