高中物理人教版选修34周末班讲义113简谐运动的回复力和能量教师版.docx
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高中物理人教版选修34周末班讲义113简谐运动的回复力和能量教师版
●简谐运动的回复力和能量
学习目标
1.理解简谐运动的运动规律，掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律．（重、难点）
2．掌握简谐运动回复力的特征．（重点）
3．对水平的弹簧振子，能定性地说明弹性势能与动能的转化过程.
考点一、简谐运动的回复力
1．回复力
（1）定义：
振动质点受到的总能使其回到__________的力．
（2）方向：
指向__________．
（3）表达式：
F＝______.
答案：
平衡位置平衡位置－kx
2．简谐运动的动力学特征
如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成______，并且总是指向__________，质点的运动就是简谐运动．
答案：
正比平衡位置
1．回复力的方向总是与位移的方向相反．（√）
2．回复力的方向总是与速度的方向相反．（×）
3．回复力的方向总是与加速度的方向相反．（×）
1．公式F＝－kx中的k是否就是指弹簧的劲度系数？
【提示】 不一定．做简谐运动的物体，其回复力特点为F＝－kx，这是判断物体是否做简谐运动的依据，但k不一定是弹簧的劲度系数．
2．弹簧振子从平衡位置到达最大位移处的过程中，回复力如何变化？
从最大位移处向平衡位置运动的过程中呢？
【提示】 由回复力F＝－kx可知：
从平衡位置到达最大位移处的过程中，回复力逐渐增大，方向一直指向平衡位置．从最大位移处向平衡位置运动的过程中，回复力逐渐减小，方向一直指向平衡位置．
1．回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图11 3 1甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图11 3 1乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图11 3 1丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力．
图11 3 1
2．简谐运动的回复力的特点
（1）由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．
（2）公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．
（3）根据牛顿第二定律得，a＝
＝－
x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．
1．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（ ）
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐减小
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
E．弹簧的形变量逐渐减小
【解析】 该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系，应根据牛顿第二定律进行分析．当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移成正比，故回复力也减小．由牛顿第二定律a＝
得加速度也减小．物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，即加速度与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，D正确．故正确答案为B、D、E.
【答案】 BDE
2.如图11 3 2所示，分析做简谐运动的弹簧振子m的受力情况．
图11 3 2
【解析】 弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力，回复力为效果力，受力分析时不分析此力，故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力．
【答案】 受重力、支持力及弹簧给它的弹力．
3．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（ ）
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
3．D [该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系，应根据牛顿第二定律进行分析．当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移成正比，故回复力也减小．由牛顿第二定律a＝F/m得加速度也减小．物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，正确答案选D.]
点评 分析回复力变化时，应始终抓住F＝－kx这一关系．若判断速度的变化，应找出加速度与速度方向的关系．
图1
4．如图1所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析，正确的是（ ）
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
4．A [本题主要考查回复力的来源及性质．一定要明确，回复力不是做简谐运动物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供．在此题中弹簧的弹力充当回复力，因此只有选项A正确．]
点评 回复力是按效果命名的，它是由物体受到的具体的力所提供，故解决这类问题时一定要进行全面的受力分析．
判断是否为简谐运动的方法
（1）以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系．
（2）在振动过程中任选一个位置（平衡位置除外），对振动物体进行受力分析．
（3）将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力．
（4）判定振动方向上合外力（或加速度）与位移关系是否符合F＝－kx（或a＝－
x），若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动．
考点二、简谐运动的能量
1．振动系统（弹簧振子）的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是______和______互相转化的过程．
（1）在最大位移处，______最大，______为零．
（2）在平衡位置处，______最大，______最小．
2．简谐运动的能量特点：
在简谐运动中，振动系统的机械能______，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种________的模型．
答案：
动能势能势能动能动能势能守恒理想化
1．简谐运动是一种理想化的振动．（√）
2．水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零．（×）
3．弹簧振子位移最大时，势能也最大．（√）
1．振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能各物理量的关系如何？
【提示】 振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能一定相同，但速度不一定相同，方向可能相反．
2．振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′时各物理量的关系如何？
【提示】 位移、回复力、加速度大小相等，方向相反，动能、势能相等，速度大小相等，方向可能相同也可能相反，且振子往复通过一段路程（如OP）所用时间相等，即tOP＝tPO.
简谐运动的特点
如图11 3 4所示的弹簧振子．
图11 3 4
振子的运动
位移
加速度
速度
动能
势能
O→B
增大，方向向右
增大，方向向左
减小，方向向右
减小
增大
B
最大
最大
0
0
最大
B→O
减小，方向向右
减小，方向向左
增大，方向向左
增大
减小
O
0
0
最大
最大
0
O→C
增大，方向向左
增大，方向向右
减小，方向向左
减小
增大
C
最大
最大
0
0
最大
C→O
减小，方向向左
减小，方向向右
增大，方向向右
增大
减小
（1）在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反．
（2）平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点．
（3）最大位移处是速度方向变化的转折点．
（4）简谐运动的位移与前面学过的位移不同，简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段，位移起点是平衡位置，是矢量．
图2
1．如图2所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为
M，若振子运动到B处时将一质量为m的物体轻轻地放到M的上面，且m和M无相对
滑动地一起运动，下述正确的是（ ）
A．振幅不变
B．振幅减小
C．最大动能不变
D．最大动能减少
1．AC [当振子运动到B处时，M的动能为零，放上m，系统的总能量为弹簧所储存的弹性势能Ep，由于简谐运动过程中系统的机械能守恒，即振幅不变，故A正确．当M和m运动至平衡位置O时，M和m的动能和即为系统的总能量，此时动能最大，故最大动能不变，C正确．]
点评 在分析简谐运动的能量问题时，要弄清运动质点的受力情况和所受力的做功情况，弄清是什么能之间的转化及转化关系等．
在分析问题时，注意找准振子到达B处时M动能为零这一关键点．
2．在光滑斜面上的物块A被平行于斜面
图3
的轻质弹簧拉住静止于O点，如图3所示，现将A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块
在BC范围内做简谐运动，则下列说法正确的是（ ）
A．OB越长，振动能量越大
B．在振动过程中，物块A的机械能守恒
C．A在C点时，由物块与弹簧构成的系统势能最大，在O点时最小
D．A在C点时，由物块与弹簧构成的系统势能最大，在B点时最小
2．AC [由弹簧、物块A所构成的系统在简谐运动中机械能守恒，且动能、重力势能、弹性势能不断相互转化．在平衡位置O处动能最大，在最大位移处势能最大．做简谐运动的物体的能量跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，所以A正确；在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块A的重力势能与动能总和不断变化，A的机械能不守恒，B是错误的；在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置动能最大，势能最小，所以选项C是正确的，而D是错误的．]
点评 简谐运动的能量一般指振动系统的机械能，振动的过程就是动能和势能相互转化的过程．
3．如图5所示，质量
图5
为m的物体A放在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做
简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动．设弹簧的劲度系数为k，则物体A做简
谐运动的回复力的比例系数k′为（ ）
A．kB.
k
C.
kD.
k
3．C [A、B一起做简谐运动，对A、B组成的系统而言，回复力是弹簧的弹力，而对于A而言，回复力则是B对A的静摩擦力．当物体离开平衡位置的位移为x时，利用整体法和牛顿第二定律求出整体的加速度，再利用隔离法求A受到的静摩擦力（即A需要的回复力）．
对A、B组成的系统，由牛顿第二定律得F＝（M＋m）a.
又F＝－kx，则a＝－
.
对A由牛顿第二定律得Ff＝ma＝－
kx.
由以上分析可知：
做简谐运动的物体A所受的静摩擦力提供回复力，其比例系数为k′＝
k.]
方法总结 对简谐运动中的力学问题，也应象普通力学问题一样进行严格的受力分析，而不能简单的认为回复力是弹簧的弹力或其他某一力．
4．一平台在竖直方向上做简谐运动，一物体置于其上一起振动，则有（ ）
A．当平台振动到最低点时，物体对平台的正压力最大
B．当平台振动到最高点时，物体对平台的正压力最小
C．当平台向上振动经过平衡位置时，物体对平台的正压力最大
D．当平台向下振动经过平衡位置时，物体对平台的正压力最小
4．AB [平台在竖直方向做简谐运动，放在平台上的物体也在竖直方向上随平台一起做简谐运动，物体做简谐运动的回复力由它所受的重力mg和平台对它的支持力FN的合力提供，物体在最高点时，回复力和加速度均向下且最大，由牛顿第二定律得mg－FN＝mamax.
所以，在最高点时，平台对物体的支持力最小，由牛顿第三定律知，物体对平台的压力也最小．在最低点时，回复力和加速度均向上且最大，由牛顿第二定律得FN－mg＝mamax
所以，在最低点时，平台对物体的支持力最大，由牛顿第三定律知，物体对平台的压力也最大．物体通过平衡位置时，加速度和回复力均为零，则FN＝mg，即平台对物体的支持力等于物体的重力，与运动方向没关系．选项A、B正确．]
方法总结 简谐运动中，质点在关于平衡位置对称的两点，其回复力大小相等、方向相反、呈对称性．但其中的某一个力不一定呈对称性．
5.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图11 3 5所示，下列结论正确的是（ ）
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加
E．小球从B到O的过程中，动能增大，势能减小，总能量不变
【解析】 小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项正确；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C项错误；由B→O，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，D项错误．E项正确．
【答案】 ABE
6.弹簧振子做简谐运动，其位移x与时间t的关系如图11 3 6所示，则（ ）
图11 3 6
A．在t＝1s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零
B．在t＝2s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零
C．在t＝3s时，速度的值最大，方向为正，加速度最大
D．在t＝4s时，速度的值最大，方向为正，加速度为零
E．当t＝5s时，速度为零，加速度最大，方向为负
【解析】 当t＝1s和t＝5s时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项A错误，E正确；当t＝2s时，位移为零，加速度为零，而速度最大，速度方向要看该点切线斜率的正负，t＝2s时，速度为负值，选项B正确；当t＝3s时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项C错误；当t＝4s时，位移为零，加速度为零，速度最大，方向为正，选项D正确．
【答案】 BDE
7．如图11 3 7所示为一弹簧振子的振动图象，在A，B，C，D，E，F各时刻中：
（1）哪些时刻振子有最大动能？
（2）哪些时刻振子有相同速度？
（3）哪些时刻振子有最大势能？
（4）哪些时刻振子有相同的最大加速度？
【解析】 由题图知，B，D，F时刻振子在平衡位置，具有最大动能，此时振子的速率最大；A，C，E时刻振子在最大位移处，具有最大势能，此时振子的速度为0.B，F时刻振子向负方向运动，D时刻振子向正方向运动，可知D时刻与B，F时刻虽然速率相同，但方向相反．A，E两时刻振子的位移相同，C时刻振子的位移虽然大小与A，E两时刻相同，但方向相反．由回复力知识可知C时刻与A，E时刻振子受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反．
【答案】
（1）B，D，F时刻振子有最大动能．
（2）A，C，E时刻振子速度相同，B，F时刻振子速度相同．
（3）A，C，E时刻振子有最大势能． （4）A，E时刻振子有相同的最大加速度．
对简谐运动能量的三点认识
（1）决定因素：
对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大．
（2）能量获得：
系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的．
（3）能量转化：
当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒．
1．做简谐运动的振子每次通过同一位置时，相同的物理量是（ ）
A．速度B．加速度
C．位移D．动能
1．BCD [振子通过同一位置时，位移、加速度的大小和方向都相同．速度的大小相同，但方向不一定相同，因此B、C、D正确．]
2．弹簧振子在做简谐运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．加速度的方向总是与位移的方向相同，而与速度方向相反
B．在物体靠近平衡位置运动时，速度方向与位移方向相反，且大小都减小
C．从平衡位置到最大位移处它的动能逐渐减小
D．从最大位移处到平衡位置它的机械能逐渐减小
2．C [由牛顿第二定律，知a＝
＝－
x，a与x成正比，x减小时，a的大小也减小，a与x的方向总相反，A错；靠近平衡位置运动时，位移减小，速度增大，B错；从平衡位置到最大位移处的运动是振子远离平衡位置的运动，速度减小，动能减小，C正确；简谐运动过程中机械能守恒，D错．]
3．做简谐运动的物体，其加速度a随位移x变化的规律应是下图中的（ ）
3．B [以弹簧振子为例，F＝－kx＝ma，所以a＝－
，故a＝－k′x，故正确选项应为B.]
图6
4．如图6所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下
列关于A受力的说法中正确的是（ ）
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
4．D [物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用．摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，所以随时间变化其大小和方向都变化，D选项正确．]
5．质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，则（ ）
A．当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期
B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期
C．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期
D．当质点经过的路程为振幅的4倍时，经过的时间为一个周期
5．D [若从最大位移处开始计时，当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期，若从其他位置开始计时，则小于一个周期，故A错误；当速度再次与零时刻的速度相同时，有可能是过关于平衡位置对称的两个点，故B错误；当加速度再次与零时刻的加速度相同时，有可能是两次经过平衡位置一侧的某个点，故C错误；一个周期的路程为振幅的4倍．]
图7
6．如图7所示，在光滑水平桌面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，开始时振子被
拉到平衡位置O的右侧A处，此时拉力大小为F，然后轻轻释放振子，振子从初速度为
零的状态开始向左运动，经过时间t后，第一次到达平衡位置O处，此时振子的速度为
v，则在这个过程中振子的平均速度（ ）
A．等于
B．等于
C．小于
D．等于不为零的某值，但由题设条件无法求出
6．B [
由于振子从A→O的运动不是匀变速直线运动，A点加速度最大，O点加速度为零，v－t图象如图所示，故
>
，即A、C选项都不对；由F回＝－kx知，A→O位移大小为
，据平均速度定义
＝
＝
，故B对．]
7.一质点做简谐运动的图象如图8所示，则该质点（ ）
图8
A．在0～0.01s内，速度与加速度同向
B．在0.01s～0.02s内，速度与回复力同向
C．在0.025s时，速度为正，加速度为正
D．在0.04s时，速度最大，回复力为零
7．AC [F、a与x始终反向，所以由x的正负就能确定a的正负．在x－t图象上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定v的正负，由此判断A、C正确．]
8．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图9所示，则可知（ ）
图9
A．两弹簧振子完全相同
B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．两振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
8．CD [仔细观察图象，从图象上尽可能多地获取信息．从图象中比较甲、乙两弹簧振子的振幅和周期，并与物理模型相联系，通过对图象并结合模型的分析，选出正确选项．从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，得频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D选项正确；弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误；由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子受回复力（F＝－kx）的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，所以B错误；由简谐运动的特点可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，所以C正确．]
9．如图10所示，
图10
物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，A
和B一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），并保持相对静止，则下列说法正
确的是（ ）
A．A和B均做简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．B对A的静摩擦力对A做负功，而A对B的静摩擦力对B不做功
D．B对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦力始终对B做负功
9．AB [A、B保持相对静止，其水平方向的运动等效于水平方向上弹簧振子的运动，故A对；A物体做简谐运动的回复力是由B对A的静摩擦力提供的，设B对A的静摩擦力为F时，弹簧伸长量为x，对A物体有F＝mAa，对A、B整体有kx＝（mA＋mB）a，联立得F＝
，由此可知B项正确；B对A的静摩擦力可以对A做正功，也可以对A做负功，故C、D错．]
图11
10．如图11为一水平弹簧振子的振动图象，由此可知（ ）
A．在t1时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大
B．在t2时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小
C．在t3时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小
D．在t4时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大
10．B [从图象的横坐标和纵坐标可以知道此图是机械振动图象，它所描述的是一个质点在不同时刻的位置，t2和t4是在平衡位置处，t1和t3是在最大位移处，头脑中应出现弹簧振子振动的实物图形．根据弹簧振子振动的特征，弹簧振子在平衡位置时的速度最大，加速度为零，即弹性力为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大，即弹性力为最大，所以B项正确．]
图12
11．如图12所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为
正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移为________，大小逐渐________，回复力
方向为________，大小逐渐________，振子速度方向为________，大小逐渐________，
动能逐渐________，势能逐渐________．（选填“正”、“负”、“增大”或“减小”）
图13
11．正 减小 负 减小 负 增大 增大 减小
解析 振子从B向O运动的过程中，位置在O点的右方，与O的距离逐渐减小，故位移为正值，大小逐渐减小．由F＝－kx和a＝－
x可知，回复力和加速度的大小均在减小，方向为负，振子的速度方向为负，大小逐渐增大，故动能逐渐增大，势能逐渐减小．
12．甲、乙两弹簧振子的劲度系数相等，且水平放置，其振动图象如图13所示，则它们振动的机械能大小关系是E甲________E乙（选填“>”“＝”“<”）；振动频率的大小关系是f甲________f乙（选填“>”“＝”“<”）；在0～4s内，甲的加速度为正向最大的时刻是________，乙的加速度为正向最大的时刻是________．
12．> < 3s末 0.5s末和2.5s末
解析 振动的机械能是由振幅决定的．由题图可知A甲＝10cm，A乙＝5cm，因此E甲>E乙，由图象知：
T甲＝4s，T乙＝2s．则f甲＝
＝
Hz，f乙＝
＝
Hz，故f甲知a与x成正比且方向相反，加速度为正向最大的时刻也就是位移为负向最大的时刻，对于甲对应时刻应为t＝3s；对于乙，加速度正向最大的对应时刻应为t1＝0.5s和t2＝2.5s.
13．如图
图14
14所示，斜面光滑，轻质弹簧一端固定在斜面上，下端挂一质量为m的小球．向下拉动小球，释放后小球来回振动．试证明小球的振动为简谐运动．
13．见解析
解析 设O点为小球振动的平衡位置，此时弹簧形变量为x0.且mgsinθ＝kx0，现把小球沿斜面向下拉动，偏离平衡位置的位移为x.设沿斜面向下为正方向．
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