学年人教版选修34 简谐运动的回复力和能量 教案.docx

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学年人教版选修34简谐运动的回复力和能量教案

3

简谐运动的回复力和能量

（教师用书独具）

●课标要求

1.知道简谐运动的回复力特点及回复力的来源．

2.知道振幅越大，振动的能量（总机械能）越大．

3.掌握简谐运动的判断方法．

4.理解简谐运动中各物理量的变化规律，会分析具体问题．

●课标解读

1.掌握简谐运动回复力的特征，能准确分析回复力的来源．

2.理解简谐运动的规律，掌握在一次全振动过程中位移、加速度、速度和能量的变化规律．

3.会用能量守恒的观点，分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律．

4.通过对弹簧振子做简谐运动的分析，在培养学生分析和解决问题的能力的同时，使学生知道从个别到一般的思维方法．

●教学地位

本节内容是该章的重点内容，振动过程的特征分析是高考的热点，也是理解简谐运动的一个关键点．

（教师用书独具）

●新课导入建议

前面两节课我们从运动学的角度研究了简谐运动的规律，物体的运动形式是由受力决定的，那么简谐运动的受力有何特点呢？

这节课我们就来学习简谐运动的动力学特征和能量转化的规律．

●教学流程设计

课　标　解　读

重　点　难　点

1.知道回复力的概念，会分析其来源.

2.能从力的角度说明什么样的振动是简谐运动.

3.会分析简谐运动中回复力、加速度、位移、速度、动能、势能等各物理量的变化.

4.能理解简谐运动中机械能守恒，知道能量大小与振幅有关.

1.简谐运动回复力的特征及相关物理量的变化规律．（重点）

2.对简谐运动中能量转化和守恒的具体分析．（重点）

3.物体做简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度等变化规律的分析总结．（难点）

4.具体问题中分析回复力的来源．（难点）

简谐运动的回复力

1.基本知识

（1）简谐运动的回复力

①方向特点：

总是指向平衡位置．

②作用效果：

把物体拉回到平衡位置．

③来源：

回复力是根据力的效果（选填“性质”或“效果”）命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．

④表达式：

F＝－kx．即回复力与物体的位移大小成正比，负号表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由振动系统决定．

（2）简谐运动的动力学特征

如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．

2.思考判断

（1）回复力的方向总是与位移的方向相反．（√）

（2）回复力的方向总是与速度的方向相反．（×）

（3）回复力的方向总是与加速度的方向相反．（×）

3.探究交流

图11－3－1

如图11－3－1，m和M保持相对静止，在弹簧的作用下一起在光滑的水平面上做简谐运动．m的回复力由谁提供？

【提示】　M对m的静摩擦力提供．

简谐运动的能量

1.基本知识

（1）振动系统的状态与能量的关系

①振子的速度与动能：

速度不断变化，动能也不断变化．

②弹簧形变量与势能：

弹簧形变量在不断变化，因而势能也在不断变化．

（2）简谐运动的能量

一般指振动系统的机械能．振动的过程就是动能和势能互相转化的过程．

①在最大位移处，势能最大，动能为零．

②在平衡位置处，动能最大，势能最小．

③在简谐运动中，振动系统的机械能守恒（选填“守恒”或“减小”），因此简谐运动是一种理想化的模型．

（3）决定能量大小的因素

振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，振动越强．一个确定的简谐运动是等幅振动．

2.思考判断

（1）简谐运动是一种理想化的振动．（√）

（2）弹簧振子位移最大时，加速度也最大．（√）

（3）弹簧振子位移最大时，势能也最大．（√）

3.探究交流

图11－3－2

如图11－3－2所示，在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？

动能最大的位置有几个？

【提示】　在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端．动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候．

对回复力的理解

【问题导思】　

1.回复力是一种新性质的力吗？

2.简谐运动的回复力有什么特点？

1.回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的．可能是一个力的分力，也可能是几个力的合力．

2.简谐运动的回复力：

F＝－kx.

（1）由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．

（2）公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．

（3）根据牛顿第二定律得，a＝

＝－

x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．

回复力F＝－kx和加速度a＝－

x是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用以上两式来证明某个振动为简谐运动．

图11－3－3

　（2013·岳阳检测）一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图11－3－3所示．

（1）小球在振动过程中的回复力实际上是________；

（2）该小球的振动是否为简谐运动？

【审题指导】　

（1）分析小球受力可知回复力来源．

（2）证明回复力与位移是否满足F＝－kx关系．

【解析】　

（1）此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力．

（2）设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg①

当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为

F回＝mg－k（x＋h）②

将①代入②式得：

F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动．

【答案】　

（1）弹力和重力的合力　

（2）是简谐运动

判断一个振动为简谐运动的方法

根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：

1.通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图象是否满足正弦规律来判断．

2.对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断．

3.根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－

x进行判断．

1.若将弹簧下端固定，上端连接一个小球由平衡的位置下压弹簧一段距离后释放，小球的运动是否为简谐运动？

【解析】　小球静止时的位置为其运动时的平衡位置，设此时弹簧压缩量为x0，由力的平衡条件可知：

kx0＝mg，向下再压缩x，释放后小球受到指向平衡位置的合力大小为：

F＝k（x＋x0）－mg＝kx，考虑到力的方向和位移方向的关系，应有：

F＝－kx.由此可见，小球的运动为简谐运动．

【答案】　是简谐运动

简谐运动中各个物理量的变化规律

【问题导思】　

1.在简谐运动中，位移的含意是什么？

2.做简谐运动的物体，在动能和势能相互转化的过程中，总能量守恒吗？

振子以O点为平衡位置做简谐运动，如图11－3－4所示：

图11－3－4

　各物理量的变化规律为：

振子的运动

A→O

O→A′

A′→O

O→A

位移

方向

向右

向左

向左

向右

大小

减小

增大

减小

增大

回复力

方向

向左

向右

向右

向左

大小

减小

增大

减小

增大

加速度

方向

向左

向右

向右

向左

大小

减小

增大

减小

增大

速度

方向

向左

向左

向右

向右

大小

增大

减小

增大

减小

振子的动能

增大

减小

增大

减小

弹簧的势能

减小

增大

减小

增大

系统总能量

不变

不变

不变

不变

1.简谐运动中在最大位移处，x、F、a、Ep最大，v＝0，Ek＝0；在平衡位置处，x＝0，F＝0，a＝0，Ep最小，v、Ek最大．

2.简谐运动中振动系统的动能和势能相互转化，机械能的总量不变，即机械能守恒．

　（2013·长沙检测）一质点做简谐运动的图象如图11－3－5所示，则该质点（　　）

图11－3－5

A．在0.015s时，速度和加速度都为－x方向

B．在0.01s～0.03s内，速度与加速度先反方向后同方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小

C．在第八个0.01s内，速度与位移方向相同，且都在不断增大

D．在每1s内，回复力的瞬时功率有100次为零

【审题指导】　

（1）由图象获取T、A和质点的振动特征．

（2）由简谐运动各参量的变化规律解析判断．

【解析】　该题考查各物理量在图象中的表示，要根据图象把握运动过程．在0.015s时，从图象中可以看出，速度方向沿－x方向，而加速度方向沿＋x方向，A项错误．在0.01s～0.03s时间内，速度方向先沿－x方向，后沿＋x方向，速度先减小后增大，而加速度方向始终沿＋x方向，加速度大小先增大后减小，所以B正确．在第八个0.01s内的位移沿＋x方向且逐渐增大，而速度却在不断减小，所以C错误．由图可知：

T＝0.04s，1s内的周期数n＝

＝25，当回复力为零时，回复力的功率为零，当回复力最大时，质点速度为零，回复力的功率也为零，这样一个周期内，功率为零的时刻有四次，因此，在每1s内回复力的瞬时功率为零的次数有4×25＝100（次），所以D正确．

【答案】　BD

简谐运动的图象能够反映简谐运动的规律，因此将简谐运动的图象跟具体的运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种好方法．根据图象可以获得以下信息：

1.振幅A、周期T（注意单位）．

2.某一时刻振动质点离开平衡位置的位移．

3.某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向．

判定方法：

因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴．

速度方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移增加，振动质点的速度方向是远离t轴，下一时刻位移减小，振动质点的速度方向是指向t轴．

4.某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．

2.如图11－3－6所示，一弹簧振子在光滑水平面A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.

图11－3－6

（1）简谐运动的能量取决于________，本题中物体振动时________和________相互转化，总________守恒．

（2）振子在振动过程中有以下说法，正确的是（　　）

A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小

B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小

C．振子在向平衡位置振动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小

D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变

【解析】　

（1）简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时只有动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．

（2）振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以B对；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D对；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错．

【答案】　

（1）振幅　动能　势能　机械能

（2）ABD

易错案例警示——不理解简谐运

动的能量与振幅的关系导致错误

　（2013·无锡检测）如图11－3－7所示，一弹簧振子在B、C间做简谐运动，平衡位置为O，振幅为A，已知振子的质量为M.若振子运动到C处时，将一质量为m的物体放到M的上面，m和M一起运动且无相对滑动，下列叙述正确的是（　　）

图11－3－7

A．振幅不变　　　　　　　B．振幅减小

C．最大动能不变D．最大动能减小

【正确解答】　振子运动到C处时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能．由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确、D错误．

【答案】　AC

【易错分析】　本题易错选项及错误原因分析如下：

易错选项

错误原因

B

不能从能量守恒的角度考虑问题，只简单认为质量变大了，运动的最大距离就短了，即振幅减小

D

应该是最大动能不变．质量大了，最大速度小了，把最大速度的变化简单地等效为最大动能的变化

Ｋ

1.如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图象是（　　）

【解析】　由F＝－kx知B选项正确．

【答案】　B

2.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（　　）

A．振子所受的回复力逐渐增大

B．振子的位移逐渐增大

C．振子的速度逐渐减小

D．振子的加速度逐渐减小

【解析】　振子的位移指由平衡位置指向振动物体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小．而回复力与位移成正比，故回复力也减小．由牛顿第二定律a＝F/m得，加速度也减小，物体向平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大．

【答案】　D

图11－3－8

3.（2013·大连质检）如图11－3－8所示为某一质点的振动图象，|x1|>|x2|，由图可知，在t1和t2两个时刻，质点振动的速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为（　　）

A．v1

B．v1

C．a1>a2，方向相同

D．a1>a2，方向相反

【解析】　由图象知t1、t2两时刻质点都在沿x轴负方向运动，越靠近平衡位置，速度越大，故选项A正确．由a＝－k′x可知，选项D正确．

【答案】　AD

4.做简谐运动的弹簧振子，振子质量为m，最大速度为v，则下列说法中正确的是（　　）

A．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零

B．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到

mv2之间的某一个值

C．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零

D．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一个值

【解析】　相距半个周期的两个时刻，速度的大小相等，方向相反．因此由W＝

mv

－

mv

＝0可知，A对，B错．由于在开始计时时速度的大小未知，由Δv＝v1－（－v1）＝2v1，0≤v1≤v可知，C错，D对．

【答案】　AD

5.（2013·新课标全国卷Ⅱ）

图11－3－9

如图11－3－9，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅为A，则A________A0（填“>”、“<”或“＝”）．

【解析】　当弹簧振子通过平衡住置时，a、b之间粘胶脱开，a、b由于惯性继续向右运动，弹簧伸长，对物块有向左的拉力，物块a向右做减速运动，动能减少，物块b在光滑水平面上做匀速直线运动，动能不变，由能量守恒定律知只有物块a减少的动能转化为弹簧的弹性势能，所以弹簧的最大伸长量减小，故振幅减小．

【答案】　<

1.（2013·郑州检测）如图11－3－10所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析正确的是（　　）

图11－3－10

A．重力、支持力、弹簧的弹力

B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力

C．重力、支持力、回复力、摩擦力

D．重力、支持力、摩擦力

【解析】　弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力，C、D错；回复力为效果力，受力分析时不分析此力，B错；故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力，A正确．

【答案】　A

2.关于做简谐运动的物体的说法正确的是（　　）

A．加速度与位移方向有时相同，有时相反

B．速度方向与加速度方向有时相同，有时相反

C．速度方向与位移方向有时相同，有时相反

D．加速度方向总是与位移方向相反

【解析】　回复力的方向与位移的方向始终相反，加速度的方向与回复力的方向一致，选项A错误，D正确；当离开平衡位置时，速度与位移的方向相同，当向平衡位置运动时，速度与位移的方向相反，故选项B、C正确．

【答案】　BCD

3.公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板．一段时间内货物在竖直方向振动可视为简谐运动，周期为T.竖直向上为正方向，以某时刻为计时起点，其振动图象如图11－3－11所示，则（　　）

图11－3－11

A．t＝

T时，货物对车厢底板的压力最大

B．t＝

T时，货物对车厢底板的压力最小

C．t＝

T时，货物对车厢底板的压力最大

D．t＝

T时，货物对车厢底板的压力最小

【解析】　要使货物对车厢底板的压力最大，则车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图象可知在

T时，货物向上的加速度最大，则C选项正确；货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图象可知在

时，货物向下的加速度最大，所以选项A、B、D错误．

【答案】　C

4.如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动周期，则下列选项中正确的是（　　）

时刻状态物理量

0

T/4

T/2

3T/4

T

甲

零

正向

最大

零

负向

最大

零

乙

零

负向

最大

零

正向

最大

零

丙

正向

最大

零

负向

最大

零

正向

最大

丁

负向

最大

零

正向

最大

零

负向

最大

A.若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v

B．若丁表示位移x，则甲表示相应的速度v

C．若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v

D．若乙表示位移x，则丙表示相应的速度v

【解析】　本题可结合如图所示的弹簧振子的振动情况具体分析．在振子从平衡位置（t＝0）向右（正方向）运动到正向最大位移的过程中，其速度为正且由最大值减小到零，A正确；在振子从负向最大位移处运动，经

周期回到平衡位置时，振子向右运动，速度为正且增大，B正确；若振子从正向最大位移向平衡位置运动时，振子的速度为负且逐渐增大，C错误；若振子从平衡位置向负向最大位移处运动，则振子的速度为负且逐渐减小，D错误．

【答案】　AB

图11－3－12

5.（2013·黄山检测）如图11－3－12所示是某一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是（　　）

A．在第1s内，质点速度逐渐增大

B．在第2s内，质点速度逐渐增大

C．在第3s内，动能转化为势能

D．在第4s内，动能转化为势能

【解析】　质点在第1s内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A错误；在第2s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，势能转化为动能，所以选项D错误．

【答案】　BC

图11－3－13

6.（2013·沈阳检测）如图11－3－13所示，质量为m的物体A放在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对滑动．设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于（　　）

A．kx　　B．（

）kx　　C．（

）kx　　D．0

【解析】　本题考查连接体问题。

A、B一起做简谐运动，对A、B组成的系统而言，回复力是弹簧的弹力，而对于A而言，回复力则是B对A的静摩擦力．利用整体法和牛顿第二定律求出整体的加速度，再利用隔离法求A受到的静摩擦力．

对A、B组成的系统，由牛顿第二定律得F＝（M＋m）a.

又F＝kx，则a＝

.

对A由牛顿第二定律得f＝ma＝（

）kx.故选C.

【答案】　C

图11－3－14

7.（2013·安庆高二检测）如图11－3－14是质点做简谐振动的图象，由此可知（　　）

A．t＝0时，质点的位移、速度均为零

B．t＝1s时，质点的位移为正向最大，速度为零，加速度为负向最大

C．t＝2s时，质点的位移为零，速度为负向最大值，加速度为零

D．质点的振幅为5cm，周期为2s

【解析】　t＝0时，质点的位移为零，但是速度不为零，A错；t＝1s时，质点的位移为正向最大，速度为零，由a＝－

x可知加速度为负向最大，B对；t＝2s时，质点的位移为零，速度为负向最大值，加速度由a＝－

x可知为零，C对；由图象可知质点的振幅为5cm，周期为4s，D错．

【答案】　BC

8.如图11－3－15所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置（不计阻力），则下列判断正确的是（　　）

图11－3－15

A．m做简谐运动，OC＝OB

B．m做简谐运动，OC≠OB

C．回复力F＝－kx

D．回复力F＝－3kx

【解析】　m在平衡位置O处两弹簧均处于原长状态，则m振动后任取一位置A，如图．设在A处m的位移为x，则在A处m所在水平方向的合力F＝k2x＋k1x＝（k2＋k1）x，考虑到回复力F与x方向关系有：

F＝－（k2＋k1）x＝－3kx，选项D正确，C错误；可见m做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，选项A正确，B错误．

【答案】　AD

9.做简谐运动的弹簧振子质量为0.2kg，当它运动到平衡位置左侧20cm时受到的回复力是4N；当它运动到平衡位置右侧40cm时，它的加速度为（　　）

A．20m/s2，向右　　　　　B．20m/s2，向左

C．40m/s2，向右D．40m/s2，向左

【解析】　加速度方向指向平衡位置，因此方向向左．由力和位移的大小关系F＝kx可知，当x＝40cm时，F＝8N，a＝

＝40m/s2，方向指向平衡位置，D正确．

【答案】　D

10.（2013·山东省实验中学检测）甲、乙两弹簧振子，振动图象如图11－3－16所示，则可知（　　）

图11－3－16

A．两弹簧振子完全相同

B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1

C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大

D．振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2

【解析】　由图可知f甲∶f乙＝1∶2，因此振子不相同，A选项不正确，D选项正确．由图可知C正确．因F甲＝k甲A甲，F乙＝k乙A乙，由于k甲和k乙关系未知，因此无法判断F甲∶F乙＝2∶1，所以B不正确．

【答案】　CD

图11－3－17

11.（2013·青岛检测）如图11－3－17所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中（　　）

A．小球最大动能应等于mgA

B．弹簧的弹性势能和