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因式分解
8.2运用公式法
平方差公式：
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
即：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积；
3完全平方公式：
a2±2ab+b2＝（a±b）2；
即：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方
平方差公式的特点：
例如：
4x2－9y2＝（2x）2－（3y）2＝（2x＋3y）（2x－3y）
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
（2）完全平方公式的特点：
例如：
x2＋4xy＋4y2＝x2＋2·x·（2y）＋（2y）2＝（x＋2y）2
a2＋2·a·b＋b2＝（a＋b）2
注意①对某些多项式——符合乘法公式等号右边形式的二项式或三项式，可以把乘法公式逆向使用，即通过从右到左的变形来完成因式分解．千万注意，不可在分解因式之后，又继续做乘法计算；
②公式中的a、b，可以是单项式，也可以是多项式；
③有时需对所给多项式进行整理，使其符合公式要求，以便使用乘法公式进行因式分解；
④尤其需要注意在使用立方和（差）公式时，乘积中第二个因式的中间一项的系数是1，不可与完全平方式相混淆；
⑤把一个多项式分解因式，首先要审查有没有公因式，如果有，则务必先提公因式，然后考虑使用乘法公式；
⑥提公因式法与运用公式法往往交替使用，分解过程中，如出现新的公因式仍要提出；
⑦最后检查一下，是否每一个因式都分解到不能再分了．
运用公式的关键在于正确确定“a”和“b”。
例1把下列各式分解因式：
（1）16—
m2；
（2）（a＋b）2—1；
（3）—（x＋2）2＋16（x—1）2；（4）—
xy3＋0.09xy．
分析：
（1）16—
m2可写成42—
；
（2）把1看成12，即可利用平方差公式分解因式；
（3）根据加法交换律，—（x＋2）2＋16（x—1）2可写成[4（x—1）]2—（x＋2）2；
（4）先提公因式xy，得xy（—
y2＋0.09），然后利用平方差公式把—
y2＋0.09继续进行分解因式．
讲解
（1）16－
m2＝42－
＝
（2）（a＋b）2－1
＝［（a＋b）＋1］［（a＋b）－1］
＝（a＋b＋1）（a＋b－1）
（3）－（x＋2）2＋16（x－1）2
＝［4（x－1）］2－（x＋2）2
＝［4（x－1）＋（x＋2）］［4（x－1）－（x＋2）］
＝（5x－2）（3x－6）
＝3（x－2）（5x－2）
注意（3x－6）中有公因式3，必须提出公因式3，否则分解不彻底。
（4）－
xy3＋0.09xy
＝xy
＝xy
注意能应用平方差公式分解的多项式必须是二项式，而这两项都必须是完全平方式，并且这两项的符号相反，只有符合这些条件的多项式才能用平方差公式分解。
例2把下列各式分解因式：
（1）4a－4a2－1
（2）（a＋b）2＋2（a＋b）＋1
（3）
（4）（m－2n）2－6（2n－m）（m＋n）＋9（m＋n）2
分析
（1）可写成—（4a2—4a＋1），其中4a2—4a＋1＝（2a）2—2×2a×1十12；
（2）式中，将（a＋b）看作一个整体；
（3）式中有系数为分数，可提出
，另一个因式为（x2＋4xy＋4y2）；
（4）式中将（m—2n），3（m＋n）分别看作整体“a”“b”，这样四个式子均可应用完全平方公式进行分解．
讲解
（1）4a－4a2－1
＝－（4a2－4a＋1）
＝－［（2a）2－2·2a×1＋12］
＝－（2a＋1）2
（2）（a＋b）2＋2（a＋b）＋1
＝［（a＋b）＋1］2
＝（a＋b＋1）2
（3）
＝
（x2＋4xy＋4y2）
＝
（x＋2y）2
（4）（m－2n）2－6（2n－m）（m＋n）＋9（m＋n）2
＝（m－2n）2＋2（m－2n）·3（m＋n）＋［3（m＋n）］2
＝［（m－2n）＋3（m＋n）］2
＝（4m＋n）2
注意用完全平方公式公解的多项式应满足特点：
（1）是二次三项式；
（2）三项中两项是平方项，且符号相同；（3）剩下的一项是前两项的底数的积的2倍，而符号正负不限。
例3选择恰当公式将下列各式分解因式：
（1）x4－16；
（2）－x2＋4x－4；
（3）（m＋n）2＋2（m＋n）＋1
分析
（1）x4＝（x2）2，16＝42，所以x4－16可转化为（x2）2－42，选用平方差公式；
（2）式应先提出“－”号，由于它是二次三项式，所以应考虑选用完全平方公式；
（3）式中的（m＋n）可看作是一个整体，它也是二次三项式，故也可考虑选用完全平方公式。
讲解
（1）x4－16
＝（x2）2－42
＝（x2＋4）（x2－4）
＝（x2＋4）（x＋2）（x－2）；
注意（x2－4）仍能用平方差公式分解，分解要彻底。
（2）－x2＋4x－4
＝－（x2－4x＋4）
＝－（x2－2×2x＋22）
＝－（x－2）2
注意当二次三项式中的二次项系数是负数时，应先提出“－”号，使二次项系数变为正数，以便正确选用公式。
（3）（m＋n）2＋2（m＋n）＋1＝（m＋n＋1）2
注意：
（m＋n）相当于公式中的a，1相当于公式中的b.
例4利用简便方法计算
（1）4292－1712；
（2）5×7.252＋10×7.25×2.75＋5×2.752.
分析
（1）符号平方差公式；
（2）提出5后另一个因式符合完全平方公式，先分解因式后再计算较简便。
讲解
（1）4292－1712
＝（429＋171）（429－171）
＝600×258
＝154800；
（2）5×7.252＋10×7.25×2.75＋5×2.752
＝5×（7.252＋2×7.25×2.75＋2.752）
＝5×（7.25＋2.75）2
＝5×102
＝500
点拨：
利用因式分解可简便计算。
例5利用公式法分解因式，计算代数式的值
已知a＋b＝2，求
的值
分析将所求代数式变式使之成为含有a＋b的表达式，然后再整体代入
讲解
＝
（a2＋2ab＋b2）＝
（a＋b）2
∵a＋b＝2，∴原式＝
×22＝2
一选择题：
１．下列各式分解因式正确的是（）
A.a2－b2＝（a－b）2
B.x2－4＝（x2＋2）（x2－２）
C.
－2a2＝
（1－4a2）＝
（1＋2a）（1－2a）
D.a2－2＝（a＋2）（a－2）
2．下列各式分解因式错误的是（）
A.
x2－4＝
（x2－16）＝
（x＋4）（x－4）
B.
x2＋2xy＋9y2＝
C.m2n－2mn＋1＝（mn－1）2
D.a2－2ab－b2＝（a－b）2
3．下列各式中可以用平方差公式分解的是（）
A.－a2b2＋16 B.－a2b2－16
C.a2b2＋16 D.（ab＋16）2
二填空题：
4．
＝（）2
5．196a2m＝（）2
6．
＝（）3
7．0.008a3b6＝（）3
三判断正误
8．a2－4b2＝（a＋2b）（a－2b）；（）
9．x2－2xy＋y2＝（y－x）2；（）
10．x3＋1＝（x＋1）（x2＋x＋1）；（）
11．a2＋b2＝（a＋b）2；（）
12．8x3＋4x2＋2x＝2x（2x＋1）2.（）
四把下列各式分解因式：
13．
（1）a2b2－
；
（2）32x2－50y2；
（3）81－（a＋2b）2
（4）5am2－125an2
14．
（1）（x＋2y）2－（2x－3y）2；
（2）25（a＋b）2－49（a－b）2；
（3）－4（m－3）2＋49（m＋2）2；
（4）－（x－y＋z）2＋（x＋y＋z）2.
15.
（1）1－12a＋36a2；
（2）
；
（3）－a2b2－c4＋2abc2；
（4）x2－x＋
16．
（1）a2n＋4an＋4；
（2）7am＋1－14am＋7am－1；
（3）（a＋b）2－16（a＋b）＋64；
（4）（a2－2a－2）2＋1＋2（a2－2a－2）
17．
（1）4a2－（a2＋1）2；
（2）（x2＋2x）2＋2（x2＋2x）＋1；
（3）36a2b2－（a2＋9b2）2；
（4）（m2－6）2－6（m2－6）＋9；
五计算题：
18．①
②122＋192＋82
六利用公式法分解因式，计算代数的值：
19.
（1）已知：
a＋b＝－1，ab＝－3，求a2＋b2的值
（2）已知：
x＋y＝1，xy＝－7，求x2－2xy＋y2的值.
答案：
（一）1．C2.D3.A
（二）4.
5.14am6.
7.0.2ab2
（三）8．√9．√10．×11．×12．×
（四）13．
（1）
（2）2（4x＋5y）（4x－5y）
（3）（9＋a＋2b）（9－a－2b）（4）5a（m＋5m）（m－5n）
14．
（1）－（x－5y）（3x－y）
（2）－4（6a－b）（a－6b）
（3）5（m＋4）（9m＋8）（4）4y（x＋z）
15．
（1）（6a－1）2
（2）
（a＋4b）2（3）－（ab－c2）2（4）（x－
）2
（4）（x－
）2
16．
（1）（an＋2）2
（2）7am－1（a－1）2（3）（a＋b－8）2（4）（a2－2a－1）2
17．
（1）－（a＋1）2（a－1）2
（2）（x＋1）4（3）－（a＋3b）2（a－3b）2（4）（m＋3）2（m－3）2
（五）18．①
②100提示：
先因式分解
（六）19．①解
②解：
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