高中数学必修四导学案14 三角函数的图象和性质 小结.docx

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高中数学必修四导学案14三角函数的图象和性质小结

高中数学必修四导学案1.4三角函数的图象和性质小结

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　　小结

　　编审：

周彦

　　魏国庆

　　【学习目标】

　　．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．

　　2．理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质，理解正切函数在区间内的单调性．

　　【新知自学】

　　知识梳理：

　　．周期函数及最小正周期

　　对于函数f，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f的最小正周期．

　　2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

　　函数

　　y＝sinx

　　y＝cosx

　　y＝tanx

　　图象

　　定义域

　　x∈R

　　x∈R

　　x∈R且x≠π2＋

　　kπ，k∈Z

　　值域

　　______

　　______

　　______

　　单调性

　　在______上递增，k∈Z；在______上递减，k∈Z

　　在______上递增，k∈Z；

　　在______上递减，k∈Z

　　在______上递增，k∈Z

　　最值

　　x＝________时，ymax＝1；

　　x＝________时，ymin＝－1

　　x＝________时，ymax＝1；x＝__________时，ymin＝－1

　　无最值

　　奇偶性

　　________

　　________

　　________

　　对

　　称

　　性

　　对称中心

　　______

　　______

　　______

　　对称轴

　　______

　　____

　　无对称轴

　　最小正

　　周期

　　______

　　______

　　______

　　对点练习：

　　、函数y＝cosx＋π3，x∈R．

　　A．是奇函数

　　B．是偶函数

　　c．既不是奇函数也不是偶函数

　　D．既是奇函数又是偶函数

　　2．下列函数中，在π2，π上是增函数的是．

　　A．y＝sinx

　　B．y＝cosx

　　c．y＝sin2x

　　D．y＝cos2x

　　3．函数y＝cos2x＋π2的图象的一条对称轴方程是．

　　A．x＝－π2

　　B．x＝－π4

　　c．x＝π8

　　D．x＝π

　　4．函数f＝tanωx的图象的相邻的两支截直线y＝π4所得线段长为π4，则fπ4的值是．

　　A．0

　　B．1

　　c．－1

　　D．π4

　　5．已知函数y＝sinx的定义域为，值域为－1，12，则b－a的值不可能是．

　　A．π3

　　B．2π3

　　c．π

　　D．4π3

　　【合作探究】

　　典例精析：

　　一、三角函数的定义域与值域

　　例1、求函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域．

　　求函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值与最小值．

　　规律总结：

　　．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

　　2．求解涉及三角函数的值域的题目一般常用以下方法：

　　利用sinx，cosx的值域；

　　化为y＝Asin＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出值域；

　　换元法：

把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域问题．

　　变式练习1：

　　求函数y＝sinx－cosx的定义域．

　　已知函数f＝cos2x－π3＋2sinx－π4•sinx＋π4，求函数f在区间－π12，π2上的最大值与最小值．

　　二、三角函数的单调性

　　例2、

（1）已知函数f＝2sin，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f取得最大值，则．

　　A．f在区间上是增函数

　　B．f在区间上是增函数

　　c．f在区间上是减函数

　　D．f在区间上是减函数

（2）设a∈R，f＝cosx＋cos2π2－x满足f－π3＝f，求函数f在π4，11π24上的最大值和最小值．

　　规律总结：

　　．熟记y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．

　　2．求形如y＝Asin＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间即可，注意A的正负以及要先把ω化为正数．

　　变式练习2：

（1）若函数y＝2cosωx在区间上递减，且有最小值1，则ω的值可以是

　　A.2　　B.12

　　c.3　　D.13

（2）函数f＝sin－2x＋π3的单调减区间为_____________．

　　三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性

　　例3、设函数f＝sin2ωx＋23sinωx•cosωx－cos2ωx＋λ的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈12，1.

　　求函数f的最小正周期；

　　若y＝f的图象经过点π4，0，求函数f的值域．

　　规律总结：

　　求三角函数周期的方法：

　　利用周期函数的定义；

　　公式法：

y=Asin和y=Acos的最小正周期为2π|ω|，y=tan的最小正周期为π|ω|；

　　变式练习3：

已知函数f＝sinx，x∈R，则f的最小正周期是________．

　　【课堂小结】

　　【当堂达标】

　　．若函数f＝sinx＋φ3是偶函数，则φ＝．

　　A．π2

　　B．2π3

　　c．3π2

　　D．5π3

　　2．函数y＝ln的定义域为__________．

　　3．函数y＝2sinx－π4的单调递增区间为__________．

　　4．设函数f＝cos2x＋π3＋sin2x.

　　求函数f的最大值和最小正周期．

　　设A，B，c为△ABc的三个内角，若cosB＝13，=-14，且c为锐角，求sinA.

　　5．已知函数f＝sinx．

　　求函数f的最小正周期；

　　将函数y＝sin2x的图象向左平移a0<a<π2个单位，向下平移b个单位，得到函数y＝f的图象，求a，b的值；

　　求函数f的单调增区间．

　　【课时作业】

　　、已知函数y＝sinx的定义域为，值域为，则b－a的值不可能是

　　A.π3　　B.2π3

　　c.π　　D.4π3

　　2、若函数f＝sinx＋φ3是偶函数，则φ＝

　　A.π2　　B.2π3

　　c.3π2　　D.5π3

　　3、函数y＝cos2x＋π3图象的对称轴方程可能是．

　　A．x＝－π6

　　B．x＝－π12

　　c．x＝π6

　　D．x＝π12

　　4.如果函数f＝sin的两个相邻零点之间的距离为π12，则ω的值为

　　A.3　　B.6

　　c.12　

　　D.24

　　5.函数f＝cos，下面结论不正确的是

　　A.函数f的最小正周期为π

　　B.函数f的对称中心是

　　c.函数f的图象关于直线x＝π4对称

　　D.函数f是偶函数

　　6、若0＜α＜π2，g＝sin2x＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．

　　7、函数y＝2sinφ＜π2的一条对称轴为x＝π12，则φ＝________.

　　8、函数y＝cos的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.

　　9.若函数f＝2tan的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________．

　　0.设二次函数f=x2+bx+c,已知不论α、β为何实数恒有f≥0和f≤0.

　　求证：

b+c=－1；

　　求证c≥3；

　　若函数f的最大值为8，求b，c的值.

　　11、有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：

工人师傅是怎样选择矩形的四点的？

并求出最大面积值.

　　12、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a•cosx+a－在闭区间［0，］上的最大值是1？

若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.

　　【延伸探究】

　　设f＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f≤fπ6对一切x∈R恒成立，则

　　①f11π12＝0

　　②f7π10＜fπ5

　　③f既不是奇函数也不是偶函数

　　④f的单调递增区间是kπ＋π6，kπ＋2π3

　　⑤存在经过点的直线与函数f的图象不相交．

　　以上结论正确的是__________．