曲线积分与曲面积分解题方法归纳.docx

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曲线积分与曲面积分解题方法归纳

第十一章解题方法归纳

一、曲线积分与曲面积分的计算方法

1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：

（1）利用性质计算曲线积分和曲面积分.

（2）直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分

（3）利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分.

（4）利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分.

（5）利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分.

（6）利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分.

2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：

（1）若积分曲线 L 关于 y 轴对称，则

⎰

⎧⎪ 0

f （ x, y）ds = ⎨

f 对x为奇函数

f 对x为偶函数

⎧⎪0P对x为奇函数

LP对x为偶函数

⎧⎪0Q对x为偶函数

其中 L 是 L 在右半平面部分.

若积分曲线 L 关于 x 轴对称，则

⎰

⎧⎪ 0

f （ x, y）ds = ⎨

f 对y为奇函数

f 对y为偶函数

⎧⎪0P对y为偶函数

LP对y为奇函数

⎧⎪0Q对y为奇函数

其中 L 是 L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线 L 关于平面 y = x 对称，则⎰

1 / 13

f （ x）ds = ⎰ f （ y）ds .

（3）若积分曲面 ∑ 关于 xOy 面对称，则

⎰⎰

∑

⎧0 f 对z为奇函数

⎪

⎧0R对z为偶函数

⎪

∑

其中 ∑ 是 ∑ 在 xOy 面上方部分.

若积分曲面 ∑ 关于 yOz 面对称，则

⎰⎰

∑

⎧0 f 对x为奇函数

⎪

⎧0P对x为偶函数

⎰⎰ P（ x, y, z）dydz = ⎪ 2⎰⎰ P（ x, y, z）dydzP对x为奇函数

∑

其中 ∑ 是 ∑ 在 yOz 面前方部分.

若积分曲面 ∑ 关于 zOx 面对称，则

⎰⎰

∑

⎧0 f 对y为奇函数

⎪

⎧0Q对y为偶函数

⎪

∑

其中 ∑ 是 ∑ 在 zOx 面右方部分.

⎧ x = x（t ）

（4）若曲线弧 L :

⎨（α ≤ t ≤ β ），则

⎩ y = y（t ）

⎰

f （ x, y）ds = ⎰ β f [x（t ）, y（t ）] x'2 （t ） + y'2 （t ）dt

（α < β ）

若曲线弧 L :

r = r （θ ）（α ≤ θ ≤ β ）（极坐标），则

⎰

f （ x, y）ds = ⎰ β f [r （θ ）cos θ , r （θ ）sin θ ] r 2 （θ ） + r '2 （θ ）dθ

⎧ x = x（t ）

⎪

⎩

2 / 13

⎰

f （ x, y, z）ds = ⎰ β f [x（t ）, y（t ）, z（t ）] x'2 （t ） + y'2 （t ） + z'2 （t ）dt （α < β ）

⎧ x = x（t ）

⎩

⎰

P（ x, y）dx + Q（ x, y）dy = ⎰ β {P [x（t ）, y（t ）]x'（t ） + Q [x（t ）, y（t ） ]y'（t ）}dt

⎧ x = x（t ）

⎪

⎩

⎰

P（ x, y, z）dx + Q（ x, y, z）dy + R（ x, y, z ）dz

= ⎰ β {P [x（t ）, y（t ）, z （t ）]x'（t ） + Q [x（t ）, y（t ）, z （t ）]y'（t ） + R [x（t ）, y（t ）, z （t ） ]z '（t ）}dt

（6）若曲面 ∑ :

z = z （ x, y）（（ x, y） ∈ D ），则

⎰⎰ f （ x, y, z）dS = ⎰⎰ f [x, y, z（ x, y）] 1 + z' 2 （ x, y） + z' 2 （ x, y）dxdy

∑

其中 D 为曲面 ∑ 在 xOy 面上的投影域.

若曲面 ∑ :

x = x（ y, z ）（（ y, z） ∈ D ），则

⎰⎰ f （ x, y, z）dS = ⎰⎰ f [x（ y, z）, y, z ]

∑Dyz

其中 D 为曲面 ∑ 在 yOz 面上的投影域.

若曲面 ∑ :

y = y（ x, z ）（（ x, z ） ∈ D ），则

⎰⎰ f （ x, y, z）dS = ⎰⎰ f [x, y（ x, z）, z ]

1 + x' 2 （ y, z） + x'2 （ y, z）dydz

y z

1 + y'2 （ y, z） + y' 2 （ y, z）dzdx

z x

∑

Dzx

其中 D 为曲面 ∑ 在 zOx 面上的投影域.

（7）若有向曲面 ∑ :

z = z（ x, y），则

⎰⎰ R（ x, y, z）dxdy = ± ⎰⎰ R[ x, y, z（ x, y）]dxdy （上“+”下“-”）

∑Dxy

其中 D 为 ∑ 在 xOy 面上的投影区域.

若有向曲面 ∑ :

x = x（ y, z），则

⎰⎰ P（ x, y, z）dydz = ± ⎰⎰ P[ x（ y, z）, y, z]dydz （前“+”后“-”）

∑Dyz

其中 D 为 ∑ 在 yOz 面上的投影区域.

3 / 13

若有向曲面 ∑ :

y = y（ x, z），则

⎰⎰ Q（ x, y, z）dzdx = ± ⎰⎰ Q[ x, y（ x, z ）, z ]dzdx （右“+”左“-”）

∑

Dzx

其中 D 为 ∑ 在 zOx 面上的投影区域.

⎰

（8） ⎰ Pd x + Qd y 与路径无关 ⇔ ÑPd x + Qd y = 0 （ c 为 D 内任一闭曲线）

⇔ du （ x, y） = Pdx + Qdy （存在 u （ x, y））

∂Q

∂ y∂ x

其中 D 是单连通区域， P（ x, y）, Q（ x, y）在 D 内有一阶连续偏导数.

（9）格林公式

ÑP（ x, y）dx + Q（ x, y）dy = ⎰⎰ ⎛ ∂Q - ∂P ⎫dxdy

其中 L 为有界闭区域 D 的边界曲线的正向， P（ x, y）, Q（ x, y）在 D 上具有一阶连续

偏导数.

（10）高斯公式

⎝ ∂x∂y∂z ⎭

∑Ω

或

∑ Ω

⎝ ∂x ∂y ∂z ⎭

其中 ∑ 为空间有界闭区域 Ω 的边界曲面的外侧， P（ x, y, z）, Q（ x, y, z）, R（ x, y, z）在

Ω 上具有一阶连续偏导数， cos α ,cos β ,cos γ 为曲面 ∑ 在点（ x, y, z）处的法向量的

方向余弦.

（11）斯托克斯公式

dydzdzdxdxdy

⎰

ÑPdx + Qdy + Rdz = ⎰⎰∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

Γ∑

其中 Γ 为曲面 ∑ 的边界曲线，且 Γ 的方向与 ∑ 的侧（法向量的指向）符合右手螺

旋法则， P, Q, R 在包含 ∑ 在内的空间区域内有一阶连续偏导数.

1. 计算曲线积分或曲面积分的步骤：

4 / 13

（1）计算曲线积分的步骤：

1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）；

2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；

对坐标的曲线积分：

①判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分；

②判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，利用

格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；

③将其化为定积分直接计算.

④对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足

条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.

（2）计算曲面积分的步骤：

1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）；

2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；

对坐标的曲面积分：

① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用

高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；

② 将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算.

例 1计算曲线积分 I = ⎰

dx + dy

x + y + x2

，其中 L 为 x + y = 1取逆时针方向.

解I = ⎰

dx + dy dx + dy dx dy

x + y + x 2 L 1 + x 2 L 1 + x 2 L 1 + x 2

由于积分曲线 L 关于 x 轴、 y 轴均对称，被积函数 P = Q =

函数，因此

1 + x2

对 x 、 y 均为偶

L 1 + x

= 0 ,

L 1 + x

= 0

故I = ⎰

dx + dy

x + y + x

= 0

『方法技巧』对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不

同，记清楚后再使用.事实上，本题还可应用格林公式计算.

5 / 13

例 2计算曲面积分 I = ⎰⎰ （ax + by + cz + n）2 dS ，其中 ∑ 为球面

∑

x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .

解I = ⎰⎰ （ax + by + cz + n）2 dS

∑

= ⎰⎰ （a2 x2 + b2 y 2 + c2 z 2 + n2 + 2abxy + 2acxz + 2bcyz + 2anx + 2bny + 2cnz）dS

∑

由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知

⎰⎰ xydS = ⎰⎰ xzdS = ⎰⎰ yzdS = ⎰⎰ xdS = ⎰⎰ ydS = ⎰⎰ zdS = 0

∑∑∑∑∑∑

又由轮换对称性知

dS = ⎰⎰ y dS = ⎰⎰ z

⎰⎰ x222dS

∑∑∑

故I = a2 ⎰⎰ x2dS + b2 ⎰⎰ y 2dS + c2 ⎰⎰ z 2dS + n2 ⎰⎰ dS

∑∑∑∑

= （a2 + b2 + c2 ）⎰⎰ x2dS + n2 ⎰⎰ dS

∑∑

a2 + b2 + c2

+ y 2 + z 2 ）dS + 4π R2n2

∑

a2 + b2 + c2R2

∑

『方法技巧』对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不

同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称

性.

⎰⎰

例 3计算曲面积分 Ò （ x2 + y 2 + z 2 ）dS ，其中 ∑ 为球面 x2 + y 2 + z 2 = 2ax .

∑

解乙 x + y 2 + z 2 ）dS =

∑

⎰⎰ 2axdS = 2a 乙x - a）dS + 2a 2 ⎰⎰ dS

∑ ∑ ∑

⎰⎰

= 0 + 2a2 Ò dS = 2a2 g4π a2 = 8π a4

∑

『方法技巧』积分曲面 ∑ 是关于 x - a = 0 对称的，被积函数 x - a 是 x - a 的

⎰⎰

奇函数，因此 Ò （ x - a）dS = 0

∑

例 4计算曲线积分 Ñ

xy 2dy - x2 ydx

6 / 13

时针方向.

解法 1直接计算. 将积分曲线 L 表示为参数方程形式

⎧ x = a cosθ

L :

⎨

⎩ y = a sin θ

（θ :

0 → 2π ）

代入被积函数中得

22 ydx

Lx2 + y 2

= a3 ⎰ 2π [cosθ sin 2 θ cosθ - cos2 θ sin θ （- sin θ ）]dθ

= 2a3 ⎰ 2π sin 2 θ cos2 θ dθ = 2a3 ⎰ 2π sin 2 θ （1- sin 2 θ ）dθ

0⎝ 2 24 2 2 ⎭2

解法 2利用格林公式

22 ydx

Lx2 + y 2=

xy 2dy - x2 ydx = 1

⎰⎰ （ x2 + y 2 ）dxdy

其中 D :

x 2 + y 2 ≤ a 2 ，故

2 2 ydx

L x2 + y 2

1 2π

a 0 2

『方法技巧』本题解法 1 用到了定积分的积分公式：

⎧ n - 1 n - 3

⎰ 2 sin n θ dθ = ⎨

⎪⎩ nn - 2

3 1 π

4 2 2

解法 2 中，一定要先将积分曲线 x 2 + y 2 = a 2 代入被积函数的分母中，才能应

用格林公式，否则不满足 P, Q 在 D 内有一阶连续偏导数的条件.

例 5计算曲线积分 ⎰（ x + y）dx - （ x - y）dy ，其中 L 为沿 y = π cos x 由点

Lx2 + y 2

A（-π , π ）到点 B（-π , -π ）的曲线弧.

解直接计算比较困难.

由于P =

x + y - x + y

Q =

x2 + y 2 x2 + y 2

，

∂P x2 - y 2 - 2 xy ∂Q

= =

∂y （ x2 + y 2 ）2 ∂x

因此在不包含原点 O（0,0）的单连通区域内，积分与路径无关.

取圆周 x 2 + y 2 = 2π 2 上从 A（-π , π ）到点 B（-π , -π ）的弧段 L' 代替原弧段 L ，

7 / 13

其参数方程为：

⎧⎪ x = 2π cos θ

' :

⎨

4 →

5π

），代入被积函数中得

⎰

（ x + y）dx - （ x - y）dy 1

x2 + y 2 2π 2

⎰

（ x + y）dx - （ x - y）dy

5π

『方法技巧』本题的关键是选取积分弧段 L' ，既要保证 L' 简单，又要保

证不经过坐标原点.

例 6计算曲面积分 ⎰⎰ xdydz + ydzdx + zdxdy ，其中 ∑ 为 x +y + z = 1 的法

∑

向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.

解由于曲面 ∑ 具有轮换对称性， ⎰⎰ xdydz = ⎰⎰ ydzdx = ⎰⎰ zdxdy ， ∑ 投影到

（

xOy 面的区域 D = {x, y）

∑ ∑ ∑

x + y ≤ 1}，故

⎰⎰ xdydz + ydzdx + zdxdy = 3⎰⎰ zdxdy = 3⎰⎰ （1-

∑∑∑

x - y ）2 dxdy

Dxy 0

= 3⎰⎰ （1- x -y ）2 dxdy = 3⎰1 dx⎰ （1-

t = 1 - x - ⎰ 0 t 4 （1- t ）dt =

x ）2

1 1

2 0

『方法技巧』由于积分曲面 ∑ 具有轮换对称性，因此可以将 dydz, dzdx 直

接转换为 dxdy ， ∑ 只要投影到 xOy 面即可.

例 7计算曲面积分 ⎰⎰ （ x - y 2 ）dydz + （ y - z 2 ）dzdx + （ z - x2 ）dxdy ，其中 ∑ 为锥

∑

面 z 2 = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ h 部分的上侧.

解利用高斯公式. 添加辅助面 ∑ :

z = h （ x 2 + y 2 ≤ h2 ），取下侧，则

⎰⎰ （ x - y

∑

）dydz + （ y - z 2 ）dzdx + （ z - x2 ）dxdy

⎰⎰ （ x - y

）dydz + （ y - z 2 ）dzdx + （ z - x 2 ）dxdy

∑+∑1

8 / 13

-⎰⎰ （ x - y 2 ）dydz + （ y - z 2 ）dzdx + （ z - x2 ）dxdy

∑1

= -⎰⎰⎰ 3dxdydz - ⎰⎰ （h - x2 ）dxdy = -3⎰⎰⎰ dxdydz + ⎰⎰ （h - x2 ）dxdy

Ω∑1ΩDxy

其中 Ω 为 ∑ 和 ∑ 围成的空间圆锥区域，D 为 ∑ 投影到 xOy 面的区域，即

1xy

（

D = { x, y） x2 + y 2 ≤ h2}，由 D 的轮换对称性，有

xyxy

⎰⎰ x2dxdy = 1 ⎰⎰ （ x

DxyDxy

+ y 2 ）dxdy

故⎰⎰ （ x - y 2 ）dydz + （ y - z 2 ）dzdx + （ z - x2 ）dxdy

∑

DxyDxy

12π

204

『方法技巧』添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求 .本

题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭

曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号.

2 + y 2 = 1

L⎩ x - y + z = 2

从 z 轴的正向往负向看， L 的方向是顺时针方向.

解应用斯托克斯公式计算. 令 ∑ :

x - y + z = 2 （ x 2 + y 2 ≤ 1）取下侧，∑ 在 xOy

（

面的投影区域为 D = { x, y） x2 + y 2 ≤ 1}，则

dydzdzdxdxdy

⎰

Ñ（ z - y）dx + （ x - z）dy + （ x - y）dz = ⎰⎰

∑

∂

∂x

z - y

∂

∂y

x - z

∂

∂z

x - y

= ⎰⎰ 2dxdy = -2 ⎰⎰ dxdy = -2π

∑Dxy

『方法技巧』本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线 L 的参数方程代入

要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面 ∑ 的选取都是关键， ∑ 既要简单，

又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.

二、曲线积分与曲面积分的物理应用

9 / 13

1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下：

（1）曲线或曲面形物体的质量.

（2）曲线或曲面的质心（形心）.

（3）曲线或曲面的转动惯量.

（4）变力沿曲线所作的功.

（5）矢量场沿有向曲面的通量.

（6）散度和旋度.

2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：

（1）平面曲线形物体M = ⎰ ρ （ x, y）ds

空间曲线形物体M = ⎰ ρ （ x, y, z）ds

曲面形构件M = ⎰⎰ ρ （ x, y, z）dS

∑

（2）质心坐标

平面曲线形物体的质心坐标：

x =

⎰ xρ （ x, y）ds

y =

⎰ y ρ （ x, y）ds

空间曲线形物体的质心坐标：

x =

⎰ xρ （ x, y, z）ds

y =

⎰ y ρ （ x, y, z）ds

⎰ z ρ （ x, y, z ）ds

曲面形物体的质心坐标：

⎰⎰ xρ （ x, y, z）dS

⎰⎰ y ρ （ x, y, z）dS

⎰⎰ z ρ （ x, y, z）dS

x =

∑

y =

∑

z =

∑

L L

当密度均匀时，质心也称为形心.

（3）转动惯量

平面曲线形物体的转动惯量：

I = ⎰ y 2 ρ （ x, y）ds ,I = ⎰ x2 ρ（ x, y）ds

空间曲线形物体的转动惯量：

I = ⎰ （ y 2 + z 2 ） ρ （ x, y, z）ds,I = ⎰ （ z 2 + x2 ） ρ（ x, y, z）ds

I = ⎰ （ x2 + y 2 ） ρ （ x, y, z）ds

10 / 13

曲面形物体的转动惯量：

（y2 z2 ）（x,y,z）dS , I

（z2 x2 ）（x,y,z）dS

（x2 y2 ）（x,y,z）dS

其中（x,y）和（x,y,z）分别为平面物体的密度和空间物体的密度.

（4）变力沿曲线所作的功

平面上质点在力 FP （x,y） i+ Q （x,y） j 作用下，沿有向曲线弧 L 从 A 点运

动到 B 点， F 所做的功

WP （x,y）dx Q （x,y）dy

空间质点在力 FP （x,y,z） i+ Q （x,y,z） j+ R （x,y,z） k 作用下，沿有向曲线

弧 L 从 A 点运动到 B 点， F 所做的功

WP （x,y,z）dx Q （x,y,z）dy R （x,y,z）dz

（2）矢量场沿有向曲面的通量

矢量场 AP （x,y,z） i+ Q （x,y,z） j+ R （x,y,z） k 通过有向曲面指定侧的通

量

P （x,y,z）dydz Q （x,y,z）dzdx R （x,y,z）dxdy

（3）散度和旋度

矢量场 AP （x,y,z） i+ Q （x,y,z） j+ R （x,y,z） k 的散度

div APQR

xyz

矢量场 AP （x,y,z） i+ Q （x,y,z） j+ R （x,y,z） k 的旋度

rotA（ RQ

P R Q P

）i （） j+ （）k

z x x y

j k

1. 曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤：

11 / 13

（1）根据所求物理量，代入相应的公式中；

（2）计算曲线积分或曲面积分.

ππ

r 222

解积分曲线 L 如图 11.7 所示. 场力所做的功为

W = ⎰

P（ x, y）dx + Q（ x, y）dy

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