拉格朗日动力学.docx
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拉格朗日动力学
第八章
拉格朗日动力学
§8.1基本方程及其简单应用
●基本方程
L=T-V
理想约束的完整有势系统
d
dt
∂L
∂q˙
−
∂L
∂q
=0,=1,2,⋯,s
存在非有势力的理想约束的完整系统
d
dt
∂L
∂q˙
∂L
−
∂q
=Q
=1,2,⋯,s
注：
通常约束力不出现在动力学方程中；方程组的数目等于
自由度数;每一个方程都是二阶常微分方程
●简单应用
处理问题的基本步骤（套路固定）：
（1）判断是否为理想约束的完整有势系统
（2）判断系统自由度并选择合适的广义坐标
（3）将L=T-V表示成只含广义坐标、广义速度和时间的函数*
（4）对于有势系统，将L代入拉格朗日方程得到系统
的运动微分方程
（5）对于非有势系统，还通过定义要求出非有势力对应的广义力，
连同L一起代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程
注：
从处理问题角度来看，拉格朗日方法比较规范，不需要太多的
技巧。
不像牛顿方法对同一个问题的处理可以采用多种方案.
例题1质量为m的质点，被约束在半顶角为α
的光滑固定圆锥面上运动，试通过拉格朗日
方程,写出质点的运动微分方程.
解：
此为理想约束完整有势系.
建立图示本征系Oxyz以及取柱坐标ρ,θ,z
面内运动自由度为2，可选ρ,θ为广义坐标.
v=˙e˙ez˙ez
z˙ez
=ztan
⇒T=
m
2
˙2csc22˙2
2csc22˙2
V=mgz=mgcot
m
L=T−V=˙
2csc22˙2−mgcot
2
2−˙2gcot=0代入拉格朗日方程得到¨csc
d2˙
2˙
dt
=0⇒2˙=const.
2˙=const.
例题2求弹簧摆的振动方程.已知质量为
m的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定于
点O并能在xy面内自由旋转.弹簧的自然
长度为l，劲度系数为k.
ρ
解：
理想约束完整有势系.
自由度为2，选极坐标ρ,θ为广义坐标.
m
k
22˙
2
T=
˙
V=−mgcos
2
2
将L=T-V代人拉格朗日方程可得...
−˙2−gcosk
−l=0
¨
m
2
−l
mg
¨2˙˙gsin=0
大角度摆
对于在小角度平衡位置附近的微振动，上述方程可化为...
¨
g
l
0
=0,¨
k
m
=0,其中l
0=l
mg
k
=−l
0
§8.2守恒定律
●对称性与守恒量的关系
【定义】对称性：
力学系统在坐标或时间的变换下的不变
性。
反映为在该变换下系统的拉格朗日函数不变.
例如：
若∀,Lx,y,z,x˙,y˙,z˙,t=Lx,y,z,x˙,y˙,z˙,t
我们说系统在x方向的平移（变换）下不变，即具有对称性
容易证明，这等价于说∂L/∂x=0.
【定义】连续变换：
变换过程中系统的坐标或时间
可以表示成随某个参数连续变化的形式.
Q0=q
例如：
qQ,且
lim
0
Q
=Q
t,0=t
0=t
且
lim
0
=
=
【诺特定理】对于系统相应于连续变换的对称性，总有
一个系统的守恒量与之对应.
证明：
首先就空间对称性部分证明.即考虑变换
qQ,Q
Q
0=q
而不对时间进行变换,即时间与参数无关
我们无非是选了另外一套广义坐标而已
记号：
Q˙≡
dQ
dt
'
Q
≡lim
0
Q
−Q0
Q˙'
≡lim
0
˙
−Q˙
0
Q
L
ϵ=L（Qϵ,Q˙
α
ϵ,t）,L0=L（q
α,q˙α,t）
α
对称性意味着变换前后系统的拉格朗日函数不变，即L（）=L（0）
（Lϵ−L0）
ϵ−L0）
0=lim
ϵ→0
ϵ
拉格朗日方程
=⋯=∑
∂L
=
∂q
∂L
'
Q
∂q
d∂L
dt∂q˙
∂L
∂q˙
˙'
Q
d
dt∑
⇒
⇒∑
∂L
∂q˙
∂L
'=0
Q
∂q˙
Q'=const.
'=const.
下面考虑对时间的变换，为了用上面证明已有的结果，我们可以
把时间看成某个假想的变量χ的函数:
t=t（χ）
记t'=dt/dχ,q=qt,则
dq
d
=
dq
dt
t'=q˙t'⇒q˙=
1
t'
dq
d
t
S=∫
t
q˙,tdt=∫
q˙,tt'd
2Lq2Lq
11
≡∫
2Lq
1
dq
d
t,t',d
q于是我们得到了一个扩展的力学系统，它以和t为广义坐标，
新的拉格朗日函数为L.
0=t
考虑对时间的变换t，上页的证明思路仍然有效，可得
∂L
∂t'
'=const.其中'≡lim
0
−0
L=Lq,q˙,tt'
⇒
∂L
∂t'
=∑
∂L
∂q˙
∂q˙
∂t'
t'L
⇒L−∑
∂L
∂q˙
q'=const.
˙
q˙=
1
t'
dq
d
⇒
∂q˙
∂t'
1
=−
2
t'
dq
d
=−
q
˙
t'
证毕.
●广义动量和广义动量积分
【定义】广义动量p
=
∂L
∂q˙
注：
可证明p=∑
n
∂r
n
m
nvn⋅
∂q
=q【定义】广义坐标平移变换：
qQ,q≠q
【推论】若力学系统具有某广义坐标的平移不变性，则
该广义坐标相应的广义动量守恒.
证明：
若系统在某广义坐标q
α
qQ
=q
的变换下保持不变
根据诺特定理有
∑
∂L
∂q˙
Q'=const.
'=const.
因为
'
Q≡lim
0
−Q
0
Q
'
=1,Q≠=0
⇒p=
∂L
∂q˙
=const.证毕.
广义动量积分
注：
也可直接用拉格朗日方程证明......（可遗坐标、循环坐标）
例题3自由质点在重力场中运动，试分析其广义动量积分
解：
建立Oxyz本征系，z轴竖直向上。
广义坐标可取x,y,z，则
L=
m
2
x˙2y˙2z˙2−mgz
2y˙2z˙2−mgz
由于L不含x和y，所以沿x和y具有平移不变性，故
px=
∂L
∂x˙
=mx˙=const.p
y=
∂L
∂y˙
=my˙=const.
上两式分别表示质点在x和y方向的动量守恒.
如果选取球坐标（r,θ,φ），则
L=
m
2
r˙
2r2˙2r2sin2˙2−mgrcos
由于L不含φ，所以沿φ具有平移不变性，故
∂L
p=
∂˙
=mr
2sin2˙=const.
此式表示对z轴角动量守恒
可以看到：
（1）广义动量积分存在与否和数量多少，与广义坐标的选取有关，
故选取适当的广义坐标可以找到较多的广义动量积分.
（2）广义坐标不同，对应的广义动量的物理意义也不同。
如x对应的
广义动量即x方向的动量，而φ对应的广义动量为对质点z轴的
角动量.也可能选择某种广义坐标，其对应的广义动量无简单的
物理意义.
【推论】若力学系统具有沿空间固定方向平移不变性，则
系统沿该固定方向的动量守恒.
证明：
假定该固定方向单位向量为l，系统沿l平移无穷小量之后
qQ
系统平移前位矢rnq,t
t=r
系统平移后位矢rnQnq,tl
⇒∑
∂r
n
−q
Q=l
∂q
∂r
⇒∑
Q
n'=l
∂q
∂L
诺特定理∑⇒∑∑
Q
'=const.
∂q˙
n
∂r˙
∂L
n
⋅
∂r˙∂q˙
n
Q'=const.
'=const.
∂r∂r
n=∑
n
n,q˙,t
q
注意到r˙q是的函数
˙
∂q∂t
只是q,t的函数
⇒
∂r˙
n
∂q˙
=
∂r
n
∂q
⇒∑∑
n
∂r
∂L
n
⋅
∂r˙∂q
n
∑
Q'=const.
'=const.
∂r
n
∂q
Q'=l
'=l
⇒∑
n
∂L
∂r˙
⋅l=const.
n
L=∑
n
m
n
2
r˙
2−Vr
n
n,t⇒
∂L
∂r˙
n
=mnr˙n
⇒p
l=∑nr˙n⋅l=∑
nmnmnr˙n⋅l=const.l=∑nr˙n⋅l=∑
此即沿l方向的动量守恒.（证毕）
【推论】若力学系统具有绕空间固定轴的转动不变性，则
系统对该固定轴的角动量守恒.
l
证明：
设该固定轴对应单位矢量l.在轴上取
O为原点，把转动前第n质点位矢记为r
n
rnq,t用广义坐标表示为
假定转动无限小角度，广义坐标变化
位矢变化
qQ
r,t
nq,trnQ
t
=rnq,tl×rnq,t
r,t
nQ
t
⇒∑
∂r
n
∂q
Q
−q=l×rnq,t⇒∑
=l×rnq,t⇒∑
∂r
n
∂q
Qnq,t'=l×r
'=l×r
∂L
诺特定理∑⇒∑∑
Q
'=const.
∂q˙
n
∂r˙
∂L
n
⋅
∂r˙∂q˙
n
Q'=const.
'=const.
⇒⋯⇒∑
n
∂L
∂r˙
l=l⋅∑
nr
⋅[l×r
nq,t]=const.⇒⋯⇒L
n
n×mnr˙n=const.
●广义能量和广义能量积分
【定义】广义能量H=∑
∂L
∂q˙
q˙−L
=t【定义】时间平移变换：
t
【推论】若力学系统具有时间平移不变性，则系统
广义能量守恒.
证明：
在时间平移变换下
'≡lim
0
−0
=1
诺特定理
L−∑
∂L
∂q˙
q'=const.
˙
⇒H=∑
∂L
∂q˙
q−L=const.（证毕）
˙
广义能量积分
注：
也可直接用拉格朗日方程证明dH/dt=-∂L/∂t，然后得到结论.
问：
广义能量是否就是牛顿力学中质点系的机械能呢？
r
nq,t⇒vn=
dr
n
dt
=∑
∂r
n
∂q
q
˙
∂r
n
∂t
⇒T=
1
2∑
nm
nvn⋅vn=
1
n∑
2∑
nm
∂r
n
∂q
q
˙
∂r
∂t⋅∑
n
∂r
n
∂q
q
˙
∂r
∂t
n
=
1
2∑
n
n[∑
m
∂r
n
∂q
q⋅∑
˙
∂r
n
∂q
q
2
˙
∂r
∂t
⋅∑
n
∂r
n
∂q
q
˙
2
∂r
∂t
n
]
=
1
∑
2∑
∑
nm
n
∂r∂r
∂q
nn
⋅qq˙
˙
∂q
广义速度二次齐次式T
2
n
∑∑
nm
∂r∂r
∂q
nn
⋅q
˙
∂t
广义速度一次齐次式T
1
1
n
2∑
nm
2
∂r
∂t
n
广义速度零次齐次式T
0
【引理】齐次函数欧拉定理：
若f（λx,λy,λz）=λnf（x,y,z）,则
∂f
∂x
x
∂f
∂y
y
∂f
∂z
z=nf
证明：
令χ=λx,η=λy,ζ=λz.把定义式两边同时对λ求偏导可得
∂f
∂
x
∂f
∂
y
∂f
∂
z=n
n−1f
然后令λ=1即可得证.
【定理】系统广义能量满足：
H=T-T+V
20
证明：
L=T-V=T+T+T-V
210
∑
∂T
2
∂q˙
q˙=2T2
上一引理=>∑
∂T
1
∂q˙
q˙=T1
⇒H=∑
∂L
∂q˙
q˙−L=T2−T0V
∑
∂T
0
∂q˙
q˙=0
（证毕）
也就是说，写出T后，要看T是不是广义速度的二次齐次式。
如果
T=T
2
，（即T=0,T=0），此时H=T+V=T+V,即广义能量等于系统
102
的机械能.一般情况下，广义能量不是系统的机械能.
例题4长2a质量为m的匀质直杆AB，A端与光滑水平面接触，在
重力作用下从竖直位置被自由释放倒下.求杆落地瞬间的角速度.
解：
由于重力和水平面支持力在竖直面内，
由对称性可知杆一直在竖直面内运动.
y
N
C
B
自由度为2,受理想约束的完整系.
mg
φ
A
O
x
x
建立图示本征系Oxyz.选A端在x轴上的坐标x
以及杆与x轴夹角φ为广义坐标.
下面关键计算杆的拉格朗日函数，主动力是有势的，以O为势能
零点,势能可写为V=mgasin
根据柯尼希定理，杆的动能可以写为
yBI
mC
T=v˙
C
22
φ
而质心速度可以用刚体速度公式求得A
Ox
vC=vA×AC
x
vA=x˙x
⇒vC=x˙−a˙sinxa˙cosy
=˙z
AC=acosxsiny
⇒v2=x˙2−2ax˙˙sina2˙2
2=x˙2−2ax˙˙sina2˙2
C
2
m2−2ax˙˙sina2˙2ma2=m
T=x˙˙
262
2
m
2−2ax˙˙sin2ma
L=T−V=x˙
23
2
x˙2−2ax˙˙sin2ma
2−2ax˙˙sin2ma
3
˙2−mgasin
2−mgasin
2
˙
首先看看有没有守恒量.L不含x，故有守恒量
p
x=
∂L
∂x˙
=mx˙−a˙sin=c1（水平方向动量守恒）
利用初始条件t=0时:
x˙=0,˙=0⇒c1=0⇒x˙=a˙sin
L不显含t，且T=T，故机械能守恒
2
2
m2−2ax˙˙sin2ma
TV=x˙˙
23
利用初始条件t=0时:
=/2,x˙=0,˙=0⇒E=mga
x=a˙sin
˙
⇒⋯⇒˙2=6g1−sin
a4−3sin2
2
y
C
B
⇒˙=−[
1/2
6g1−sin
2]
a4−3sin
φ
A
Ox
x
（想想为什么不取+号？
）
杆落地瞬间，=0⇒˙=−3g/2a.
注：
利用分析力学解题也会优先考虑守恒定律.另外，本题用分析
力学并不比牛顿力学有优势，实际上牛顿力学可直接写出守恒定律
例题5质量为m的小环P被限制在一半径为R的光滑大圆环上,大圆
环绕过环心的铅垂轴以角速度ω匀速转动.初始时小环在大环的
最高点，且相对大环静止,然后无初速地滑下.试通过存在的第一
积分建立小环相对大环的运动微分方程.
解：
以小环为研究对象，它是受理想约束的
完整系统.取球坐标，有2个约束方程
r=R,=t
0
因此自由度为1.可以取图示角度θ
T=
=
m
2
m
2
r˙2r2˙2r2sin2˙2
2r2˙2r2sin2˙2
R2˙2R22sin2=T
2˙2R22sin2=T
2T0
以O为势能零点，势能可表示为V=mgRcos
由于L=T-V不显含时间，所以广义能量守恒：
H=T
2−T0V=
m
2
R2˙2−m
2˙2−m
2
R22sin2mgRcos=const.
22sin2mgRcos=const.
利用初始条件t=0时：
=0,˙=0⇒H=mgR
⇒H=T
2−T0V=
m
2
R2
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