拉格朗日动力学.docx

1、拉格朗日动力学第八章拉格朗日动力学8.1 基本方程及其简单应用 基本方程L=T-V理想约束的完整有势系统ddt L q L q =0 , =1, 2,s 存在非有势力的理想约束的完整系统ddt L q L q =Q , =1, 2,s 注：通常约束力不出现在动力学方程中；方程组的数目等于自由度数; 每一个方程都是二阶常微分方程 简单应用处理问题的基本步骤（套路固定）：(1) 判断是否为理想约束的完整有势系统(2) 判断系统自由度并选择合适的广义坐标(3) 将L=T-V 表示成只含广义坐标、广义速度和时间的函数*(4) 对于有势系统，将L 代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程(5) 对于非有势

2、系统，还通过定义要求出非有势力对应的广义力，连同L 一起代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程注：从处理问题角度来看，拉格朗日方法比较规范，不需要太多的技巧。不像牛顿方法对同一个问题的处理可以采用多种方案.例题1 质量为m 的质点，被约束在半顶角为的光滑固定圆锥面上运动，试通过拉格朗日方程, 写出质点的运动微分方程.解：此为理想约束完整有势系.建立图示本征系Oxyz 以及取柱坐标,z面内运动自由度为2 ，可选, 为广义坐标.v= e e z ez z ez =z tan T =m2 2csc2 2 2 2csc2 2 2 V =mgz=mg cot mL=TV = 2csc2 2 2 mg c

3、ot 22 2 g cot =0 代入拉格朗日方程得到 cscd 2 2 dt=0 2 =const.2 =const.例题2 求弹簧摆的振动方程. 已知质量为m 的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定于点O 并能在xy 面内自由旋转. 弹簧的自然长度为l ，劲度系数为k.解：理想约束完整有势系.自由度为2 ，选极坐标, 为广义坐标.mk2 2 2 ,T= V =mg cos 22将L=T-V 代人拉格朗日方程可得. 2g cos k l =0m2 l mg 2 gsin =0大角度摆对于在小角度平衡位置附近的微振动，上述方程可化为. g l0=0, k m=0, 其中l0=l mgk, = l08

4、.2 守恒定律 对称性与守恒量的关系【定义】对称性：力学系统在坐标或时间的变换下的不变性。反映为在该变换下系统的拉格朗日函数不变.例如：若 ,L x , y , z , x , y ,z ,t =L x , y , z , x , y , z ,t 我们说系统在x 方向的平移（变换）下不变，即具有对称性容易证明，这等价于说 L/ x=0.【定义】连续变换：变换过程中系统的坐标或时间可以表示成随某个参数连续变化的形式. , Q0=q例如：q Q , 且 lim 0Q =Q t , 0=t , 0=t, 且lim 0 = = 【诺特定理】对于系统相应于连续变换的对称性，总有一个系统的守恒量与之对应

5、.证明：首先就空间对称性部分证明. 即考虑变换q Q , Q , Q0=q 而不对时间进行变换, 即时间与参数 无关我们无非是选了另外一套广义坐标而已记号：Q dQ d t, Q lim 0Q Q0 , Q lim 0 Q0Q L=L(Q ,Q , t), L0=L(q ,q ,t)对称性意味着变换前后系统的拉格朗日函数不变，即L( )=L(0)( L L0)L0)0=lim0拉格朗日方程 = L=q LQ q d Ldt q L q Qddt L q L =0Q q Q =const. =const.下面考虑对时间的变换，为了用上面证明已有的结果，我们可以把时间看成某个假想的变量 的函数:

6、t=t()记 t =dt/d, q =q t , 则d q d =d q dt t =q t q =1t d q d tS=t ,q ,t dt= , q ,t t d 2 L q 2 L q 1 1 ,2 L q 1d q d ,t ,t , d q 于是我们得到了一个扩展的力学系统，它以 和t 为广义坐标， 新的拉格朗日函数为 L . , 0=t考虑对时间的变换 t ，上页的证明思路仍然有效，可得 L t =const. 其中 lim 0 0 L=L q ,q ,t t L t = Lq q t t L L Lq q =const.q =1t d q d q t 1=2t d q d =q

7、 t 证毕 . 广义动量和广义动量积分【定义】广义动量 p = L q 注：可证明 p =nrnmn vnq =q 【定义】广义坐标平移变换：q Q , q q 【推论】若力学系统具有某广义坐标的平移不变性，则该广义坐标相应的广义动量守恒.证明：若系统在某广义坐标qq Q =q的变换 下保持不变根据诺特定理有 Lq Q =const. =const.因为Q lim 0 Q0Q =1, Q =0 p = Lq =const. 证毕 .广义动量积分注：也可直接用拉格朗日方程证明.( 可遗坐标、循环坐标)例题 3 自由质点在重力场中运动，试分析其广义动量积分解：建立 Oxyz 本征系， z 轴竖直向

8、上。广义坐标可取 x,y,z ，则L=m2 x 2 y 2 z2 mgz2 y 2 z2 mgz由于 L 不含 x 和 y ，所以沿 x 和 y 具有平移不变性，故px= Lx=m x =const. py= L y=m y =const.上两式分别表示质点在 x 和 y 方向的动量守恒 .如果选取球坐标 (r, , ) ，则L=m2 r2 r2 2 r2sin2 2 mgrcos 由于 L 不含 ，所以沿 具有平移不变性，故 Lp = =mr2sin2 =const.此式表示对 z 轴角动量守恒可以看到：(1) 广义动量积分存在与否和数量多少，与广义坐标的选取有关，故选取适当的广义坐标可以找

9、到较多的广义动量积分 .(2) 广义坐标不同，对应的广义动量的物理意义也不同。如x 对应的广义动量即x 方向的动量，而 对应的广义动量为对质点z 轴的角动量. 也可能选择某种广义坐标，其对应的广义动量无简单的物理意义.【推论】若力学系统具有沿空间固定方向平移不变性，则系统沿该固定方向的动量守恒.证明：假定该固定方向单位向量为l ，系统沿 l 平移无穷小量 之后 q Q 系统平移前位矢 rn q ,t ,t =r系统平移后位矢 rn Q n q ,t l rn q Q = l q rQ n =l q L诺特定理 Q =const. q n r Ln r q nQ =const. =const.

10、r rn=nn ,q ,tq注意到 r q 是 的函数q t 只是q ,t 的函数 rn q = rn q , n r Ln r q n Q =const. =const. rn q Q =l =ln L rl=const.nL=nmn2r2V rnn ,t L rn=mn r n pl= n r n l= n m n mn rnl =const.l= n r n l=此即沿 l 方向的动量守恒. （证毕）【推论】若力学系统具有绕空间固定轴的转动不变性，则系统对该固定轴的角动量守恒.l证明：设该固定轴对应单位矢量l. 在轴上取O 为原点，把转动前第 n 质点位矢记为rnrn q ,t 用广义坐

11、标表示为 假定转动无限小角度 ，广义坐标变化位矢变化 q Q r ,t n q ,t rn Q ,t =rn q ,t lrn q ,t r ,t n Q ,t rn q Q q = l rn q ,t = l rn q ,t rn q Q n q ,t =lr =lr L诺特定理 Q =const. q n r Ln r q nQ =const. =const.n L rl=l n rlrn q ,t =const. Lnnmn r n =const. 广义能量和广义能量积分【定义】广义能量 H = L q q L =t 【定义】时间平移变换：t 【推论】若力学系统具有时间平移不变性，则系统

12、广义能量守恒.证明：在时间平移变换下 lim 0 0 =1诺特定理 L L q q =const.H = Lq q L=const. （证毕）广义能量积分注：也可直接用拉格朗日方程证明dH/dt=-L/t ，然后得到结论 .问：广义能量是否就是牛顿力学中质点系的机械能呢？rn q ,t vn=d rndt= rn q q rntT =12 n mnvnvn=1n 2 n m rn q q rt n rn q q rt n=12 nn m rnq q rn q q 2 r t n rn q q 2 r t n=1 2 n mn r rq n n q q q 广义速度二次齐次式 T2n n m r

13、 r q n n q t广义速度一次齐次式 T1 1n 2 n m2 rt n广义速度零次齐次式 T0【引理】齐次函数欧拉定理：若 f(x,y,z)=nf(x,y,z), 则 f xx f yy f zz=n f证明：令 =x, =y, =z. 把定义式两边同时对 求偏导可得 f x f y f z=n n1 f然后令 =1 即可得证 .【定理】系统广义能量满足： H=T -T +V2 0证明： L=T-V=T +T +T -V2 1 0 T2q q =2T 2上一引理 = T1 q q =T 1H = Lq q L=T2T0 V T0q q =0（证毕）也就是说，写出T 后，要看T 是不是广

14、义速度的二次齐次式。如果T=T2，（即T =0,T =0 ），此时H=T +V=T+V, 即广义能量等于系统1 0 2的机械能. 一般情况下，广义能量不是系统的机械能 .例题4 长2a 质量为m 的匀质直杆 AB ，A 端与光滑水平面接触，在重力作用下从竖直位置被自由释放倒下. 求杆落地瞬间的角速度.解：由于重力和水平面支持力在竖直面内，由对称性可知杆一直在竖直面内运动.yNCB自由度为2, 受理想约束的完整系.mgAO xx建立图示本征系Oxyz. 选A 端在x 轴上的坐标x以及杆与x 轴夹角 为广义坐标.下面关键计算杆的拉格朗日函数，主动力是有势的，以O 为势能零点, 势能可写为 V =m

15、g asin 根据柯尼希定理，杆的动能可以写为y B Im CT= v C2 2而质心速度可以用刚体速度公式求得 AO xvC=vA ACxvA=x x vC= x a sin x a cos y = z AC=a cos x sin y v 2 =x 22a x sin a2 22 =x 22a x sin a2 2C2 m 22 a x sin a2 2 ma 2=mT= x 2 6 22m22a x sin 2maL=TV = x2 32 x 22a x sin 2ma22a x sin 2ma3 2mg asin 2mg asin 2 首先看看有没有守恒量 . L 不含 x ，故有守恒

16、量px= Lx=m x a sin =c1 （水平方向动量守恒）利用初始条件 t=0 时 : x =0, =0c1=0 x =a sin L 不显含t ，且T=T ，故机械能守恒22m 22a x sin 2maT V = x 2 3利用初始条件 t=0 时: = /2, x =0, =0E=mgax=a sin 2= 6 g 1sin a 43 sin 2 2 yCB =1/26 g 1sin 2 a 43 sinAO xx（想想为什么不取+ 号？）杆落地瞬间， =0 = 3g /2a.注：利用分析力学解题也会优先考虑守恒定律 . 另外，本题用分析力学并不比牛顿力学有优势，实际上牛顿力学可直

17、接写出守恒定律例题5 质量为m 的小环 P 被限制在一半径为R 的光滑大圆环上, 大圆环绕过环心的铅垂轴以角速度 匀速转动. 初始时小环在大环的最高点，且相对大环静止 , 然后无初速地滑下. 试通过存在的第一积分建立小环相对大环的运动微分方程.解：以小环为研究对象，它是受理想约束的完整系统. 取球坐标，有2 个约束方程r=R, = t 0因此自由度为1. 可以取图示角度T=m2m2 r 2 r2 2 r2sin2 2 2 r2 2 r2sin2 2 R 2 2 R2 2sin2 =T2 2 R2 2sin2 =T2 T 0以O 为势能零点，势能可表示为 V =mg Rcos 由于L=T-V 不显含时间，所以广义能量守恒：H =T2T 0 V =m2R 2 2m2 2m2R 2 2 sin2 mgRcos =const.2 2 sin2 mgRcos =const.利用初始条件 t=0 时： =0, =0H =mgRH =T2T0 V =m2R 2