112弧度制和弧度制与角度制的换算.docx
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112弧度制和弧度制与角度制的换算
在初中几何里，我们学习过角的度量,
1度的角是怎样定义的呢?
这种用1°角作单位来度量角的制度叫做
角度制，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制O
1•圆心角、弧长和半径之间的关系:
角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋
转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧,
込空=定值,
rr
设a二沪，掘B弧长为人半径0A为八
半径，表示弧长与半径的比值跟半径无关，只与a的大小有关。
结论：
可以用圆的半径作单位去度量角。
2•定义:
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。
这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
注：
今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
3.弧度制与角度制相比:
（1）弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
位制，角度制是以“度"为单位来度量角的单位制；］弧度工1。
;
（2）
360的所对的圆心
1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是n9周角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
4•公式：
Q=上，
，弧长为/的
表示的是在半径为/的圆中弧所对的圆心角是arad。
5.弧度制与角度制的换算
①用角度制和弧度制度量角，零角既是0。
角,又是0rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.
3正角的弧度数是正数，负角的弧度数是
负数，零角的弧度数是0・
4角a的弧度数的绝对值：
14=-
r
a为弧长，/为半径）
1rad
⑤T360°=2tcrad,:
.180°=7trad
——radu0.01745rad
180
（180V
=——〜57.30°=57°18‘
6.用弧度制表示弧长及扇形面积公式:
①弧长公式：
l=r・cc
由公式：
^=-=>l-r-ar
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
②扇形面积公式s十R
其中Z是扇形弧长，人是圆的半径。
证明：
设扇形所对的圆心角为兀。
（处ad）,贝!
J
S=7lR2•
3602
XaR=l,所以S=、IR
证明2：
因为圆心角为“ad的扇形面积是
7TR2
17V
所以它的面积是‘評
例1・
（1）把112。
30,化成弧度（精确到0.001）；
（2）把112。
30,化成弧度（用龙表示）。
解：
（1）112°30'=112・5°,
71
1。
=——«0.0175
180
所以112°30^112.5X0.0175~1.969rad.
71571
NTT
例2•把丁化成度。
解:
lrad=（^）°
71
8”8^」80、
一=—x（——）
55兀
例3・填写下表:
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
弧度
0
7t
6
71
~4
71
7
71
2
171
3
角度
135°
150°
180°
210°
225°
240°
弧度
3兀
4
571
6
71
角度
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
3兀
2
In
例4・扇形中，沏所对的圆心角是60°，
半径是50米，求的恸（精确到0・1
米）O
JT
解：
因为60°=-,所以
■兀
l=a•仁tX50=52.5•
答：
沏的长约为52・5米.
例5•在半径为/?
的圆中，240。
的中心角所对的
中心角等于弧度O
4
解：
（1）240°=—71,根据,得
3
4
I——兀R
311
（2）根据S二亍风=亍刃?
2,且S=2J?
2.
所以a=4.
例6•与角一1825。
的终边相同，且绝对值最小
的角的度数是,合弧度。
解：
-1825°=-5X360°-25°,
所以与角一1825。
的终边相同，且绝对值最小的角是一25。
・
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口36
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