反比例函数常见几何模型.docx
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反比例函数常见几何模型
一、知识点回顾
k
1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k（k≠0）．其解析式有三种表示方法：
x
k
①y=（k0）；②y=kx-1（k0）；③xy=k
x
k
2．反比例函数y=k（k≠0）的性质
x
（1）当k>0时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y随x的增大而减小．
（2）当k<0时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y随x的增大而增大．
k
（3）在反比例函数y=k中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值（也就是求其图像x
上一点横坐标与纵坐标之积）.
k
（4）若双曲线y=k图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求x
双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是
-2
y=．
x
（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．
二、新知讲解与例题训练
模型一：
如图，点A为反比例函数y=k图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，x
m
例1：
如图RtABC的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线y=m在第一象限的交点，且
SAOB=3,
（1）求m的值
（2）求ABC的面积
变式题
1、如图所示，点A1,A2,A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3,分别过A1,A2,A3作y轴平
8
行线，与反比例函数y=8（x>0）的图像交于点B1,B2,B3，分别过点B1,B2,B3作x轴的平
x
13
2、如图，点A在双曲线y=1上，点B在双曲线y=3上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，xx
若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.
模型二：
k
如图：
点A、B是双曲线y=k（k0）任意不重合的两点，直线AB交x轴于M
x
点，交y轴于N点，再过A、B两点分别作AD⊥y轴于D点，BF⊥x轴于F
点，再连结DF两点，则有：
DF||AB且BM＝AN
例2：
如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y=k的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂x
足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①SCEF=SDEF；②AOB相似
于FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD其中正确的结论是
．（把你认为正确结论的序号都填上）
例3：
一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M,N，与反比例函数
y=k的图象相交于点A,B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为x
C,E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于
点K，连接CD．
（1）若点A，B在反比例函数y=k的图象的同一分支上，如图1，试证明：
x
①S四边形AEDK=S四边形CFBK；②AN=BM．
（2）若点A，B分别在反比例函数y=k的图象的不同分支上，如图2，则AN与x
BM还相等吗？
试证明你的结论．
模型三：
如图，已知反比例函数y=k（k≠0，x>0）上任意两点P、C，过P做PA⊥x
x
例4：
如图，在直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2
的图象交于A（1,4）、B（4，1）两点，则△AOB的面积是
例5：
如图，在直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2的图象交于A（1,4）、B（3，m）两点，则△AOB的面积是
1k
例6：
如图1，已知直线y=1x与双曲线y=k（k0）交于A、B两点，且点A
2x
的横坐标为4．
（1）求k的值；
k
（2）如图2，过原点O的另一条直线l交双曲线y=k（k0）于C、D两点（点x
C在第一象限且在点A的左边），当四边形ACBD的面积为24时，求点C的坐
标．
模型四：
在矩形AOBC中，OB=a，OA=b，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过
F点的反比例函数y=k（x0）的图象与AC边交于点E，则CE=a.
xCFb
例7：
两个反比例函数y=k和y=1在第一象限内的图象如图所示，点P在y=kxxx的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=1的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=1xx的图象于点B，当点P在y=k的图象上运动时，以下结论：
x
①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．
课堂练习：
一、选择题
A.
B.
C.
D
A.y
D.y=
6
x
题3题4题5
2
4、如图，A,B是函数y=2的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x轴，AC//y轴，ABC
x
的面积记为S，则S（）
A.S=2B.S=4C.24
5、如图所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x
k上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，若双曲线y=k
x（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）
A．1二、填空题
13
1、如图，点A在双曲线y=1上，点B在双曲线y=3上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，
xx
若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.
OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA
上，则四边形OABC的面积是.
3、如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB＝60°，点A
k
在第一象限，过点A的双曲线为y=，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，
x
以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.
（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是.
（2）设P（t，0）,当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是.
4、如图，已知双曲线y=k（k0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边
x
AB相交于点C．若点A的坐标为（-6，4），则△AOC的面积为.
4
5、双曲线y1、y2在第一象限的图像如图，y1=，
121x
过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，
交y轴于C，若SAOB=1，则y2的解析式是．
课后习练
一、填空题
4
1、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2x
x
则k=；点P到原点的距离OP=．
3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是．
k
4、反比例函数y=k的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的
x
两个根，那么点P的坐标是．
2
6、如图，已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y=2的图像在第一象限内的交点，x
点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）
A．2B．2C．2D．22
2
7、已知P为函数y=2的图像上一点，且P到原点的距离为3，则符合条件的P点数为
（）
A．0个B．2个C．4个D．无数个
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