西财高等代数阶段测试题三.docx

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西财高等代数阶段测试题三

西财高等代数阶段测试题（三）

　　　　　　　　光华园/　　光华园学习网/study09/　　线性代数阶段测试题　　　　一、填空题　　?

22?

，则α+β=__________,2α－3β=__________。

1.向量?

，?

41?

13?

2.设向量组?

，?

10?

当t=__________，向量组?

311513?

线性相关。

它的一个极大无关组是__________。

　　3.设A是一个n阶方阵，则A非奇异的充分必要条件是r=__________。

1，?

k，?

14.若?

k能?

唯一的线性表示，则?

k=__________。

　　5.齐次线性方程组一定有_________解，非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩__________。

　　6.已知A是m×n矩阵，齐次线性方程组?

1，?

2，?

3，...，?

sAX=0的基础解系为　　。

如R=k，则S=__________；当k=__________　　时方程只有零解。

x1?

2x2?

2x3?

7.设线性方程组?

2x1?

x2?

tx3?

0的计数矩阵为A，3阶矩阵B?

0且AB=0，则　　?

3x?

0123?

t=__________。

8.设r1r1?

，r2是非齐次线性方程组AX=β的两个解，η是齐次线性方程组AX=0的解，则　　?

是__________的解，r1?

r2是__________的解，r1?

r2是__________　　的解。

　　9.设AX=0是有6个方程，5个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A的秩为2，则方程组AX=0有__________组解，其基础解系含__________个解向量。

　　　　　　　　二、单项选择题：

1.已知向量组?

1A.?

2B.?

2C.?

2D.?

2　　2.设P为m阶非奇异矩阵，Q为n阶非奇异矩阵，A为m×n阶矩阵，则A.R（PA）=R（A），R（AQ）≠R（A）B.R（PA）≠R（A），R（AQ）=R（A）C.R（PA）=R（A），R（AQ）=R（A）D.R（PA）≠R（A），R（AQ）≠R（A）?

a1?

a2?

，a3，?

2，?

3，?

4线性无关，则向量组　　，?

1线性无关，?

1线性无关　　，?

3，?

4，?

2，?

a3?

，?

a4?

其中a1A.?

1B.?

1C.?

1D.?

1，a2，a4是任意数，则　　，?

2，?

3总线性相关，?

3总线性无关，?

3，?

4总线性相关，?

4总线性无关　　?

4.已知A?

12?

1535?

则r为3?

A.1B.2C.3D.45.设?

1A.?

1　　，?

2，?

3是AX=0的基础解系，则该方程的基础解系还可表示为，?

3的一个等价向量组　　　　B.?

1C.?

1，?

2，?

3的一个等秩向量组　　，?

3　　，?

1　　，?

2D.?

26.设?

1，?

2，?

3，?

2，?

3是AX=0的基础解系，也是BX=0的基础解系，A，B是n阶方阵，则　　，?

3也必是的基础解系。

A.X=0B.ABX=0?

C.?

D.以上均不对?

x1?

x27.线性方程组?

x3?

x2?

a1?

x3?

a2?

x4?

a3?

x1?

a4有解的充分必要条件是A.a1?

a2?

a3?

a4?

0B.a1?

a2?

a3?

a4?

0C.a4?

a1?

a2?

a3?

0D．a1?

a2?

a3?

a4?

08.已知?

1础解系，k1，?

2是AX=b的两个不同的解，?

1，?

2是其对应的齐次方程AX=0的基，k2是任意常数则AX=b的通解是?

）?

A.k1?

）?

B.k1?

）?

C.k1?

）?

D.k1?

r则和原方程组同解的方程组是A.A’X=b　　B.QAX=b，Q是初等阵C.PAX=Pb，P是可逆阵　　D.原方程组中的前r个方程组成的方程组三、多项选择题：

1.下面表述正确的是　　A.n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于0B.任一向量组都与自身等价C.n维基本单位向量组?

1，?

2，?

n线性相关　　D.仅含一个向量的向量组线性相关的充分必要条件是该向量为零向量E.若向量组?

1,?

m中?

1，?

2，?

r线性无关，且　　?

r为该向量的最?

1，?

2，?

r则?

1，?

1线性相关，，?

2，?

大线性无关组　　?

2）2.设向量组?

（?

2，4），?

（1，（?

1，?

2，?

3）的极大无关组是，?

（4，?

8）则向量组　　A.?

1B.?

2C.（?

1D.?

3E.无极大无关组3.A是m×n矩阵，r=r　　A.没有等于零的r-1阶子式，至少有一个r阶子式不为零B.有不等于零的r阶子式，所有r+1阶子式全为零C.有等于零的r阶子式，没有等于零的r+1阶子式　　D.至少有一个r阶子式不等于零，任何r+1阶子式都等于零E.对A进行列变换后其秩R　　A.线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等。

B.齐次线性方程组一定有零解　　C.线性方程组中其系数矩阵和增广矩阵的秩都为r时，则该线性方程组的每个基础解系都含有n-r个解向量　　D.非齐次线性方程组的任意两个解的差是它的导出组的一个解　　E.非齐次线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和是这个非齐次线性方程组的一个解　　，?

2）　　　　　　5.设γ是非齐次线性方程组AX=β的解，η是齐次线性方程AX=0的解，k1，k2为任意常数，则以下哪些是AX=β的解A.k1?

k2?

B.?

C.?

D.k1?

E.?

k2?

a11x1?

a1nxn?

b1?

a21x1?

a2nxn?

b26.有非齐次线性方程组?

下列说法正确的是?

a11x1?

a1nxn?

b1?

A.当R（A）?

R（A）?

n时，有唯一解B.当R（A）?

R（A）?

n时，有无穷解C.当R（A）?

R（A）?

n时，有唯一解D.当R（A）?

R（A）?

n时，有无穷解E.当R（A）?

R（A）时无解四、计算题：

1.求向量组?

1的极大线性无关组和?

，?

2，?

3，?

4秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。

——答：

2.已知?

（1，3，?

2，1），?

（3，1，4，5），?

（2，1，?

1，3）　　且?

4求?

4。

——答：

3.设?

，?

2，?

3，试问当c为何值时，向量组线性相关？

c　　为何值时向量组线性无关？

　　　　　　　　——答：

x1?

x2?

2x3?

x4?

2x1?

x2?

x3?

2x4?

34.求非齐次线性方程组?

的通解，并表示出向量形式。

x1?

x3?

x4?

3x?

524?

1——答：

x1?

x2?

x3?

2x4?

5.解方程组?

2x1?

3x2?

x3?

3x4?

2x?

5x?

7x?

0234?

1——答：

x1?

2x2?

2x3?

6.已知三阶矩阵B≠0且B的每一个列向量都是以下方程组的解：

2x1?

x2?

x3?

3x?

023?

1①求λ的值；②证明B=0——答：

x1?

x2?

2x3?

3x4?

x1?

3x2?

6x3?

x4?

37.设线性方程组为?

问k1与k2各取何值时，方程组无解，有?

3x1?

x2?

k1x3?

15x4?

x1?

5x2?

10x3?

12x4?

k2?

唯一解，有无穷多解；有无穷多解时，求其一般解。

——答：

五、证明题?

010?

1.证明下列n个n维列向量必线性无关：

e1?

，e2?

，?

en?

00?

——答：

2.试证：

线性方程组有解的充分必要条件为系数矩阵与增广矩阵的秩相等。

即　　R（A）?

R（A）——答：

　　　　　　　　　　线性代数阶段测试题答案　　一、填空题　　?

1、?

　　,　　　　0?

10?

2、t=3,（?

3）3、n4、.k?

3且k?

05、零，相等6、s?

k，k=n7、t=18、AX=?

，AX=O，AX=2?

9、无穷多组，3二、单项选择题1、C　　2、C　　3、B　　4、D　　5、C　　6、C7、C　　8、B　　9、C三、多项选择题1、BD　　2、ABD　　3、ACE　　4、BDE5、BCE　　6、BCE四、计算题?

110?

243?

通过初等变换为?

01?

01032?

201?

1、?

3所以这个向量组的极大线性无关组为?

1，?

3=　　32?

1—2?

2，?

4=12?

1—?

+2?

_=?

2、?

4=　　12?

1+　　12?

2—?

3=　　12?

3、=?

3－122?

通过初等变换为?

0c?

3702?

　　　　所以当c-5=0即c=5时，向量组线性相关，c?

5时，向量组线性无关。

24．?

－1－10－121－101213?

0经线性变换化为．?

02?

05?

0100－1－3001000?

03?

x1?

x3?

x4秩r=2,?

所以基础解系为?

1＝?

，?

2＝?

，?

x2?

3x3?

10?

x1?

x3?

x4?

的一个特解为r=?

所以通解为x2?

x3?

11?

－1?

k1?

1＋k?

r=k1?

+k2?

+其中k1，k2为任意常数。

5．?

1351－1－72?

经线性变换化为?

01?

0104－303?

－1?

－4?

－3?

31?

x1＝－4x3－3x4?

，?

＝?

.故方程组的通秩＝2，?

所以基础解系为?

1＝?

x2＝3x3?

x4?

01?

－4?

－3?

k解为：

k1?

＋，其中k1，k2为任意常数。

6.①?

12－5?

52－11?

经线性变换化为?

22－5?

，因为B的列向量是方程组的5?

解，所以00?

0，?

1秩r=25　　　　②因为r=2，所以方程组的基础解系只有2个向量，3个解必线性相关，而B的列向量都是方程组的解。

所以B的列向量线性相关。

所以｜B｜=0.　　?

17.方程组的增广矩阵为：

12－4－61100222－k1024－6－k1－123－1233－2691?

k2－1?

113－1－5?

26－k1－1011－4－631151222－6－k1－121?

k2?

3－169做　　?

k2－1?

1　　?

所以：

k2＋5?

2－k1＝0?

k1＝2当?

即?

时，方程组无解。

k2＋5?

k2?

1当2－k1?

0即k1?

2时，方程组有唯一解。

2－k1＝0?

k1＝2当?

即?

时，方程组有无穷解。

　　k＝1k＋5＝6?

0此时?

010*********－1231?

0　　?

06?

110022003－1101?

02?

00?

110022000010－5?

－8?

x1＝－83?

x＋2x＝3秩r=3,一个特解为a=?

23?

x＝2?

－8?

x1＝－8?

－2?

x＋2x＝3?

＝k＋?

＋a的基础解系为，所以，其通解为＝其?

231?

11?

x＝2?

中k1为任意常数。

五、证明题　　1、证明：

利用反证法　　　　　　假设e1，e2，…..，en线性相关，则存在k1，k2，…，kn不全为零，使得：

　　k1e1+k2e2+…+knen=0?

　　即k1?

+k2?

k1?

k2?

+…….+k?

=0　　n?

kn?

故k1=k2=……=kn=0，这与假设矛盾，所以原命题成立，e1，e2，…..，en线性无关。

2、证明：

证明充分性：

R=R?

线性方程组有解　　设?

i是A的诸列向量，?

为A的最后一个列向量　　?

R=R　　?

1，?

2，……，?

n，?

必线性相关不妨假设?

1，?

2，……，?

n的极大无关组为?

1，?

2，……，?

s，其中s?

n，则……，?

s也是?

1，?

2，……，?

n，?

的极大无关组，所以?

可?

1，……，?

1，?

2，?

s线性表示，即?

可?

1，?

2，……，?

n线性表示，方程组有解。

　　证明必要性：

方程组有解?

R=R方程组有解，则?

可?

1，?

2，……，?

n线性表示，设?

1，?

2，……，?

n的极大无关组为?

1，?

2，……，?

s，其中s?

n，则R=s?

可?

1，?

2，……，?

n线性表示?

1，?

2，……，?

n，?

必线性相关那么，?

1，?

2，……，?

s也是?

1，?

2，……，?

n，?

的极大无关组，即R=s　　?

R=R　　

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