一次函数与三角形面积.docx
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一次函数与三角形面积
一次函数相关的面积问题
思路：
画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。
规则图形（公式法）不规则图形（切割法）不含参数问题
含参数问题（用参数表示点坐标，转化成线段）注意：
坐标的正负、线段的非负性。
求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。
1、求直线y=-2x+4，y=2x-4及y轴围成的三角形的面积。
2、已知正比例函数y=2x与一次函数y=x+2相交于点P,则在x上是否存在一点A，使SAP0A=4若存在，求出点有坐标；若不存在，请说明理由。
3、如下图,一次函数的图像交正比例函数的图像于M点,交x轴于点N（-6,
0）,已知点M在第二象限，其横坐标为-4,若SAN0M=1,5求正比例函数的解
析式
11（
\/
|2
O
\3/
3
j/A（4,
o）
2
rVB
过点A,B，直线l1,l2交于点C.
（1）求点D的坐标；
（2）求直线12的解析表达式；
（3）求厶ADC的面积；
（4）在直线12上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与厶ADC的面积相等，请直.接.写出点P的坐标.图11
1
5、如图，直线L的解析表达式为y=-丄x+2,且与x轴、y轴交于点A、B，
2
在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）^COM勺面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当何值时厶COMPAAOB并求出此时M点的坐标
一次函数（动态问题）
举一反三：
如图（十二），直线I的解析式为yx4，它与x轴、y轴分别相交于AB两点•平行于直线I的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒（0t<4）•
（1）求AB两点的坐标；
（2）用含t的代数式表示AMON的面积0；
（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和AOAB重合部分的面积为S2,
1
当2t<4时，试探究S2与t之间的函数关系式；
2在直线m的运动过程中，当t为何
5
值时，S2为AOAB面积的一？
16
图十二
任意一点（A.B两点除外），过M分别作MC丄OA于点C,MD丄OB于D.
（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？
并说明理由；
（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？
最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的
距离为a（0a4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与a的函
数关系式并画出该函数的图象.
6、在ABC中，CRt,AC4cm,BC5cm,点D在BC上，且以CD=3cm,现
有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终
点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。
过点P作PE//BC交AD于点
E,连结EQ。
设动点运动时间为x秒。
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）
当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设EDQ的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；
7、如图1,在平面直角坐标系中，已知点A（0,4：
3），点B在x正半轴上，且
ZABO30°•动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运
动时间为t秒•在x轴上取两点M,N作等边△PMN•
（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）
如果取OB的中点D，以OD为边在RtAAOB部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上•设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0
（图2）
（图1）
8、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、
DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3.固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止.设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y.
1
（1）如图2,求当x=—时，y的值是多少？
2
（2）如图3,当点E移动到AB上时，求x、y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式；
9、（课改卷）如图1所示，一三角形纸片ABC,/ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中
线CD把这纸片剪成AGD,和BC2D2两个三角形（如图2所示）•将纸片ACQ,沿直线D2B（AB）方向平移（点A,D!
D2,B始终在同一直线上），当点D!
于点B重合时，停止平移•在平移过程中，CiDi与BC2交于点E,ACi与C2D2、BC2分别交于点F、
P.
（1）当ACiDi平移到如图3所示的位置时，猜想图中的DiE与D2F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D2Di为x，ACiDi与BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的
函数关系式，以及自变量的取值围；
（3）对于
（2）中的结论是否存在这样的x的值；使得重叠部分的面积等于原ABC面
i
积的丄？
若不存在，请说明理由•
4
10、已知：
如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点
P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t（s）,解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2）,求y与t的
？
如果
关系式；是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是厶ABC面积的三分之存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
三角形面积与函数解析式的几种题型
、利用面积求解析式
1直线y2xb与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b=（分类讨论）
2、已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线I经过原点，与线段AB交于点C,把，△AOB的面积分为2:
I两部分，求直线I名的解析式.
3、如图,已知直线PA：
yxn（n0）与x轴交于A,与y轴交于Q,另一条直线
y2xm（mn）与x轴交于B,与直线PA交于P
求：
（1）A,B,Q,P四点的坐标（用m或n表示）
5
⑵若AB=2，且S四边形PQOB二,求两个函数的解析式.
6
4、已知直线yx2与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线
ykxb（k0）经过点C（1,0），且把AOB分成两部分
（1）若AOB被分成的两部分面积相等，则k和b的值
（2）若AOB被分成的两部分面积比为1：
5，则k和b的值
3
5、已知一次函数yx3的图象与y轴、x轴分别交于点A、B，直线ykxb经
2
过OA上的三分之一点D，且交x轴的负半轴于点C,如果SAOBSDOC，求直线
ykxb的解析式.
二、利用解析式求面积
1、直线ykxb过点A（-1,5）和点B（m,5）且平行于直线yx,O为坐标原点,
求AOB的面积•
求：
（1）一次函数的解析式;
（2）AOC的面积
3、已知：
直线y2x4与直线yx3,它们的交点C的坐标是,设两直线与
X轴分别交于A,B,则SAABC=，设两直线与y轴交于P,Q,则SAPCQ=
4、一次函数y,k,x4与正比例函数y2k2x的图象都经过（2,-1）,则这两个函数的
图象与x轴围成的三角形面积是.
5、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.
（1）求两直线交点C的坐标；
⑵求厶ABC的面积.
⑶在直线BC上能否找到点P,使得Saapc=6,若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。
44444
6、如图，直线y=-—x+4与y轴交于点A,与直线y=x+交于点B,且直线y=x+-
35555
与x轴交于点。
，求厶ABC的面积。
A
7、已知直线ykxb经过点A（0,6）,且平行于直线y2x
（1）求该函数的解析式，并画出它的图象；
（2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值;
（3）若0为坐标原点，求直线0P解析式；
（4）求直线ykxb和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。
三、关于面积的函数关系
1、已知点A（x，y）在第一象限，且x+y=10，点B（4，0）,△OAB的面积为S.
（1）求S与x的函数关系式，直接写出x的取值围，并画出函数的图像；
（2）△OAB的面积为6时，求A点的坐标；
2、如图，直线ykx6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。
（1）求k的值；
（2）若点p（x，y）是第二象限的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出
△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；
（3）探究：
当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为？
，并说明理由。
8
4、如图⑴，在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,点P从A出发,沿M3D路线运动,
到D停止；点Q从D出发,沿“3BtA路线运动,到A停止.若点P、点Q同时出发,点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/s，点Q的速度变为dcm/s.图⑵是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（s）的函数关系图象；图⑶是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（s）的函数关系图象•
（1）参照图
（2）,求a、b及图⑵中c的值；
（2）求d的值;
（3）设点P离开点A的路程为yi（cm）,点Q到A还需走的路程为y2（cm）,请分别写出动点P、Q改变速度后yi、y2与出发后的运动时间x（s）的函数关系式，并求出P、Q相遇时x的值;
⑷当点Q出发s时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm.
&如图，直线1i过A（0,2）,B（2,0）两点，直线12：
ymxb过点（1,0），且
把AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S,
求S关于m的函数解析式，及自变量m的取值围。
一1
10、在平面直角坐标系中，点A（4,0）,点P（x,y）是直线y—x3在第一象限
2
的一点.
（1）设厶OAP的面积为S,用含x的解析式表示S,并写出自变量取值围.
1
（2）在直线y—x3求一点0,使厶OAQ是以OA为底的等腰三角形.
2
（3）若第
（2）问变为使厶OAQ是等腰三角形，这样的点有几个？
4._
Q
1O
A5
-2.
2、已知：
如下图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5,3）、B（2,-2）、C（6,-4）,求厶ABC的面积.
C
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