三角形勾股定理知识点整理.docx

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三角形勾股定理知识点整理

全等三角形、勾股定理教案

教学内容

一、三角形

1、三角形的定义：

是由三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形叫做三角形.

2、组成三角形的元素：

三条边和三个角

3、三角形的分类

⑴三角形按边的关系分类如下：

⑵三角形按角的关系分类如下：

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：

等腰直角三角形，它是两条直角边相等的直角三角形.

4、三角形的性质

⑴三角形三边关系定理：

三角形的任意两边之和大于第三边且任意两边之差小于第三边.

⑵三角形的内角和定理：

三角形的三个内角和等于180.

⑶三角形的外角和定理：

三角形的三个外角和等于360.

⑷三角形的内外角定理：

①互补关系：

三角形的一个外角与它相邻的内角互补；

②相等关系：

三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.

③不等关系：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

⑸三角形的边角关系：

在同一个三角形中：

大边对大角，等边对等角，小边对小角；反之，大角对大边，等角对等边，小角对小边也成立.

5、三角形的面积：

三角形的面积1底高

2

二、等腰三角形

1、等腰三角形：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

2、等腰三角形的性质定理及推论：

性质定理：

等腰三角形的两个底角相等（简称：

等边对等角）

推论1：

等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分

线、底边上的中线、底边上的高三线合一.

推论2：

等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°.

3、三角形中的中位线

⑴三角形中的中位线：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

⑵三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半;

⑶三角形中位线定理的作用：

位置关系：

可以证明两条直线平行；数量关系：

可以证明线段的倍分关系；

⑷常用结论：

任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：

三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半;

结论2：

三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形;

结论3：

三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形;

结论4：

三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分;

结论5：

三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等;

三、直角三角形

1、直角三角形的两个锐角互余；

2、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半；

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

4、直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2

5、常用关系式：

由三角形面积公式可得：

ACBCCDAB

6、直角三角形的射影定理

从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影

直角三角形的射影定理：

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；

推论：

直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项

四、全等三角形

1、全等三角形的概念：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；

2、三角形全等的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等；

3、全等三角形的判定定理：

⑴边角边定理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

⑵角角边定理：

任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”；

⑶角边角定理：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

⑷边边边定理：

有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

（5）直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）注意：

对应相等意思是：

例如三角形ABC和三角形DEF，AB和DE是对应边，AB=DE；

BC和EF是对应边，BC=EF；AC和DF是对应边，AC=DF

角A和角D是对应角，角A=角D

角B和角E是对应角，角B=角E

角C和角F是对应角，角C=角F

这些对应关系都可以从题目给出的三角形XXX和三角形yyy中按顺序写好

4、全等变换：

只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换；

全等变换包括一下三种：

1平移变换：

把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换；

2对称变换：

将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换；

3旋转变换：

将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换；同步训练：

1、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC边上的点，BE=DE试.判断：

⑴图中有哪些三角形全等？

请说明理由。

⑵图中有哪些角相等？

2、如图1，AD⊥BC，D为BC的中点，则△ABD≌＿＿＿，△ABC是＿＿＿三角形。

3、如图2，若AB＝DE，BE＝CF，要证△ABF≌△DEC，需补充条件＿＿＿＿或＿＿＿＿。

4、如图3，已知AB∥CD，AD∥BC，E、F是BD上两点，且BF＝DE，则图中共有＿＿＿BDCBEFC

2对全等三角形，它们分1别是＿＿＿＿＿。

则△ABD≌△

6、如图5，已知AB＝DC，AD＝BC，E、F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠

ADB＝30°，则∠BCF＝＿＿＿＿。

7、如图6，AE＝AF，AB＝AC，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠BOC＝＿＿＿＿。

O的周长为24cm，则底边BC＝AFC图69、若△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是对应边BC和B′C′的高，

10、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线相交于O，则∠AOB＝

知识点二：

1、勾股定理：

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即：

?

?

2+?

?

2=?

?

2要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：

勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：

a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：

c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

（定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，

c满足acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）3：

勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：

勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：

勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：

互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4.勾股定理的逆定理：

如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：

a2+b2＝c2，?

那么这个三角形是

直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

5.?

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习

加深对“数形结合”的理解．

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：

勾股定理与勾股定理逆定理）

5：

勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

2

2abc

1S4ab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2

222222

大正方形面积为S（ab）2a22abb2所以a2b2c2

6：

勾股数

222①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25

等

同步训练：

1、一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上（如图）,这时梯脚与墙的距离是多少?

2、三角形的三边长分别为7、24、25，请问这个三角形是直角三角形吗？

3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）

A．121B．120C．90D．不能确定

4．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）

A．42B．32C．42或32D．37或33

5．斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是．

6．假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a、b、c之间应满足，其中边

是直角所对的边；如果一个三角形的三边a、b、c满足a2c2b2，那么这个三角形是三角形，其中b边是边，b边所对的角是．

7．一个三角形三边之比是10:

8:

6，则按角分类它是

三角形．

8．若三角形的三个内角的比是1:

2:

3，最短边长为1cm，最长边长为2cm，则这个三角

9．如图，已知ABC中，C90，BA15，AC12，

10．一长方形的一边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长是二、综合发展:

11．如图，一个高4m、宽3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的

长．

12.一个三角形三条边的长分别为15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是多少？

13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：

小汽车在城街路上行驶速度不得超过

70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？

回忆总结：

1、判定三角形全等的条件有哪些？

2、（）三角形中，两直角边的（

）等于斜边的（）

3、一个三角形三边长分别为a、b、c，则当a、b、c满足（）时，该三

角形为直角三角形。