三角形勾股定理知识点整理.docx

1、三角形勾股定理知识点整理全等三角形、勾股定理教案教学内容一、三角形1、三角形的定义：是由三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形叫做三角形 .2、组成三角形的元素：三条边和三个角3、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：三角形按角的关系分类如下：把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形，它是两条直角边 相等的直角三角形 .4、三角形的性质三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边且任意两边之差小于第三 边.三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于 180 .三角形的外角和定理：三角形的三个外角和等于 360 .三角形的内外角定理：互补关系：三角形的一个外角与它相邻的内

2、角互补；相等关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角 的和.不等关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内 角.三角形的边角关系：在同一个三角形中：大边对大角，等边对等角，小边对小角；反 之，大角对大边，等角对等边，小角对小边也成立 .5、三角形的面积：三角形的面积 1 底 高2二、等腰三角形1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 .2、等腰三角形的性质定理及推论：性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边 . 即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一 .推论 2：等边三角形的各个角都相

3、等，并且每个角都等于 60 .3、三角形中的中位线三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 .三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 ;三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行；数量关系：可以证明 线段的倍分关系；常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半 ;结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形 ;结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形 ;结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分 ;结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这

4、夹角所对的三角形的顶角相等 ;三、直角三角形1、直角三角形的两个锐角互余；2、在直角三角形中， 30 角所对的直角边等于斜边的一半；3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4、直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c的平方，即 a2 b2 c25、常用关系式：由三角形面积公式可得： AC BC CD AB6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在 直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段 . 点和线段的正 射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中 项；推论：直角三

5、角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项四、全等三角形1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；3、全等三角形的判定定理：边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边” 或“ SAS”）角角边定理： 任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （可以简写成“角 角边”或“ AAS ”；角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角” 或“ ASA”）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS”）；（5） 直

6、角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形， 判定它们全等时， 还有 HL 定理（斜 边、直角边定理） ：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （可简写成 “斜 边、直角边”或“ HL ”）注意：对应相等意思是：例如三角形 ABC和三角形 DEF， AB 和 DE是对应边， AB=DE；BC 和 EF 是对应边， BC=EF；AC和 DF是对应边， AC=DF角 A 和角 D 是对应角，角 A=角 D角 B和角 E 是对应角，角 B=角 E角 C 和角 F 是对应角，角 C=角 F这些对应关系都可以从题目给出的三角形 XXX和三角形 yyy 中按顺序写好4、全等变换：只改变图形的位置

7、，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换；全等变换包括一下三种：1平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换；2对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换；3旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换； 同步训练：1、如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，BC=DC，E为 AC边上的点， BE=DE试. 判断： 图中有哪些三角形全等？请说明理由。图中有哪些角相等？2、如图 1， AD BC， D 为 BC的中点，则 ABD， ABC是三角形。3、如图 2，若 ABDE，BECF，要证 ABF DEC，需补充条件或。4、如图 3，已知 A

8、BCD，ADBC，E、F是 BD上两点，且 BFDE，则图中共有 B D C B E F C2 对全等三角形，它们分1别是。则 ABD6、如图 5，已知 ABDC，ADBC，E、F在 DB上两点且 BFDE，若 AEB120，ADB 30，则 BCF。7、如图 6，AEAF，ABAC，A60， B24，则 BOC。O 的周长为 24cm，则底边 BC A F C 图6 9、若 ABC ABC， AD和 AD分别是对应边 BC和 BC的高，10、在 RtABC中， C90， A、 B的平分线相交于 O，则 AOB知识点二：1、勾股定理： 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即：?2

9、 + ?2 = ?2 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC中， C 90 ，则c a2 b2，b c2 a2 ， a c2 b2 ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为 形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）

10、首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证 c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形 （若 c2a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若 c2a2+b2，则ABC为锐角三角形）。（定理中a ，b ，c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足a c b ，那么以a ，b ， c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边） 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4

11、：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错 误。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c 有下列关系：a2+b2c2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5.?应用勾股定理的逆

12、定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题， 那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积22ab c1 S 4 ab 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 22 2

13、2 2 2 2大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2 所以 a2 b2 c26：勾股数222 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a b c 中，a，b ， c为正整数 时，称a，b，c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ；6,8,10；5,12,13；7,24,25等同步训练：1、一高为 2.5 米的木梯 , 架在高为 2.4 米的墙上 （ 如图 ）, 这时梯脚与 墙的距离是多少 ?2、三角形的三边长分别为 7、 24、 25，请问这个三角形是直角三角形吗？3直角三角形中一直角边的长为 9，另两边为连续自然数， 则直角三角形的周长为 （

14、 ）A 121 B 120 C 90 D不能确定4 ABC中， AB15，AC13，高 AD 12，则 ABC的周长为（ ）A 42 B 32 C 42 或 32 D 37 或 335斜边的边长为 17cm ，一条直角边长为 8cm 的直角三角形的面积是 6假如有一个三角形是直角三角形， 那么三边 a 、b、c 之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边 a、b、c满足 a2 c2 b 2 ，那么这个三角形 是 三角形，其中 b 边是 边， b 边所对的角是 7一个三角形三边之比是 10 : 8: 6 ，则按角分类它是三角形8 若三角形的三个内角的比是 1: 2: 3 ，最短边

15、长为 1cm ，最长边长为 2cm，则这个三角9如图，已知 ABC中， C 90 ，BA 15， AC 12，10 一长方形的一边长为 3cm，面积为 12cm2 ，那么它的一条对角线长是 二、 综合发展 : 11如图，一个高 4m 、宽 3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长12. 一个三角形三条边的长分别为 15cm，20cm ，25cm ，这个三角形最长边上的高是多少？13如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽 4m，高 3m，长 20m，棚的斜面用塑料薄膜遮 盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积 .15“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h. 如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对 面车速检测仪正前方 30m处，过了 2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 50m，这 辆小汽车超速了吗？回忆总结：1、判定三角形全等的条件有哪些？2、 （ ） 三角形中，两直角边的（）等于斜边的（ ）3、一个三角形三边长分别为 a、b、c，则当 a、 b、c 满足（ ）时，该三角形为直角三角形。