江苏省高考数学理科密卷4.docx
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江苏省高考数学理科密卷4
高考数学密卷(4)理
第Ⅰ卷(必做题,共160分)
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.设复数满足(为虚数单位),则复数.
2.已知集合,,则共有个子集.
3.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果为.
4.在某频率分布直方图中,从左往右有10个小矩形,若第一个
小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的,且第一组
数据的频数为25,则样本容量为.
5.在平面直角坐标系中,已知双曲线的渐近线方程为,且它的一个焦点为
(第7题)
,则双曲线的方程为.
6.函数的定义域为.
7.若函数的部分图象如图所示,
则的值为.
8.现有5张分别标有数字1,2,3,4,5的卡片,它们的大小和颜色完全相同.从中随机抽取2张组成两位数,则该两位数为奇数的概率为.
9.在三棱锥中,,分别为,的中点,记三棱锥的体积为,
三棱锥的体积为,则.
10.设点是所在平面上的一点,点是的中点,且,设,则.
11.已知数列中,,,.若是等比数列,则.
12.已知,,若,则的最小值为.
13.在平面直角坐标系中,动圆(其中)截轴所得的弦长恒为.若过点作圆的一条切线,切点为,则点到直线距离的
最大值为.
14.已知,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.
15.已知向量,,函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)若,且,求的值.
16.如图,在四棱锥中,底面为梯形,,,交
于,锐角所在平面⊥底面,,点在侧棱上,且.
O
(1)求证:
平面;
(2)求证:
.
17.如图所示,圆是一块半径为米的圆形钢板,为生产某部件需要,需从中截取一块多边形.其中为圆的直径,,,在圆上,,,在上,且
.
(1)设,试将多边形面积表示成的函数关系式;
(2)多边形面积的最大值.
18.在平面直角坐标系xOy中,已知分别为椭圆()的左、右
焦点,且椭圆经过点和点,其中为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线交椭圆于另一点,点在直线上,且.
若,求直线的斜率.
19.已知函数,其中,e是自然对数的底数.
(1)若,求函数的单调增区间;
(2)若函数为上的单调增函数,求的值;
(3)当时,函数有两个不同的零点,求证:
.
20.已知数列的前项和为,把满足条件的所有数列构成的集合
记为.
(1)若数列通项公式为,求证:
;
(2)若数列是等差数列,且,求的取值范围;
(3)设,数列的各项均为正数,且.问数列中是否存在
无穷多项依次成等差数列?
若存在,给出一个数列的通项;若不存在,说明理由.
高考模拟试卷(4)
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定两题,并在相应的答题区域内作答.
A.[选修41:
几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,AB为⊙O的直径,D为⊙O上一点,过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.
若DA=DC,
求证:
AB=2BC.
B.[选修42:
矩阵与变换](本小题满分10分)
已知,向量为是矩阵的属于特征值的一个特征向量.
(1)求矩阵的另一个特征值;
(2)求矩阵的逆矩阵.
C.[选修44:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为为参数.以原点O为
极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
求直线被曲线所截得的弦长.
D.[选修45:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知实数x,y,z满足x+y+z=2,求的最小值.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.
22.(本小题满分10分)
某小组共10人,利用寒假参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别
为3,3,4.现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件,求事件发生的概率;
(2)设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学
期望.
23.(本小题满分10分)
在各项均不相同的数列,,,…,中,任取,且项变动位
置,其余项保持位置不动,得到不同的新数列,由此产生的不同新数列的个数记为.
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)设,求证:
.
高考模拟试卷(4)参考答案
数学Ⅰ
一、填空题:
1.【解析】.
2.【解析】由条件得,所以的子集有个.
3.【解析】由题意可知.
4.150【解析】设第一个小矩形面积为,由,得,从而样本容量为.
5.【解析】设双曲线的方程为,因为双曲线的渐近线方程为,所以,又因为一个焦点为,所以,所以,所以双曲线的方程为
6.【解析】由已知得,,所以
7.4【解析】由图知函数的周期为,所以.
8.【解析】从张分别标有数字1,2,3,4,5的卡片中随机抽取张组成两位数,共有种情况,要使中的两个数组成两位奇数,有种情况,所以其概率为.
9.【解析】因为,,
所以.
10.【解析】因为,所以,即,所以,所以,又点是的中点,所以,所以,所以.
11.3049【解析】,所以
,所以.
12.【解析】因为,,,所以.
令,,,则,
所以,当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
13.【解析】因为动圆(其中)截轴所得的弦长恒为,所以,设,由已知条件得,,所以,即点在圆,所以点到直线距离的最大值为.
14.【解析】,题意即为在上恒成立,即.由于,且,则.
当时,恒成立,符合;
当时,,所以在上单调递增,不符合;
当时,,所以在上单调递减,
此时,
即.
令(),不等式即为,
由于,所以在上单调递增,
而当时,,所以恒成立.
综上所述,的取值范围是.
15.解:
(1),,
……2分
,……4分
所以函数的最小正周期为.……6分
(2),,且,
,……8分
,
,……10分
,……12分
,
.……14分
16.证明:
(1)如图,连接,
因为,,
所,………2分
又,
所以,…………4分
又平面,平面,
所以平面.………6分
(2)在平面内过作于,
因为侧面底面,平面平面,
平面,所以平面,…………………8分
又平面,所以,…………………10分
因为是锐角三角形,所以与不重合,
即和是平面内的两条相交直线,
又,所以平面,…………………12分
又平面,所以.…………………14分
17.解:
连接,
,,,
,,………2分
(1)在中,,,
,,
,………4分
,.………8分
(2)令,,
则,且,………10分
,,………12分
当,即时,,
即多边形面积的最大值为平方米.………14分
18.解:
(1)因为椭圆经过点和点,
所以……2分
解得,所以椭圆的方程为.……6分
(2)解法一:
由
(1)可得,
设直线的斜率为,则直线的方程为.
由方程组消去,整理得,
解得或,所以点坐标为.……8分
由知,点在的中垂线上,
又在直线上,所以点坐标为.……10分
所以,.
若,则.……14分
解得,所以,即直线的斜率.……16分
解法二:
由
(1)可得,
设(),则①,……8分
直线,
由知,点在的中垂线上,
又在直线上,所以点坐标为.……10分
所以,,
若,则,
所以②,……12分
由①②可得,即,
所以或(舍),.
所以,即直线的斜率.……16分
19.解:
(1)当a=0时,,,
令,得,所以的单调增区间为.……3分
(2),因为函数为上的单调增函数,
所以0在上恒成立.……5分
当时,,0显然成立;
当时,恒成立,则恒成立,此时;
当时,恒成立,则恒成立,此时.
综上,.……8分
(3)不妨设,当时,,
函数在上单调递减,在上单调递增.
因为,所以,,,……10分
在上单调递减,所以要证,即证,
即证,又因为,所以即证(*).12分
记,,
,所以在上恒成立,
所以函数在上为增函数,
又因为,,所以,
即,(*)式得证.所以,命题成立.……16分
20.解:
(1)因为,所以,……2分
所以,
所以,即.……4分
(2)设的公差为,
因为,所以(*),
特别的当时,,即,……6分
由(*)得,
整理得,
因为上述不等式对一切恒成立,所以必有,解得,
又,所以,……8分
于是,即,
所以,即,
所以,
因此的取值范围是.……10分
(3)由得,所以,即,
所以,从而有,
又,所以,即,
又,,
所以有,所以,……12分
假设数列(其中)中存在无穷多项依次成等差数列,
不妨设该等差数列的第项为(为常数),
则存在,,使得,
即,……14分
设,
则,即,
于是当时,,
从而有:
当时,即,
于是当时,关于的不等式有无穷多个解,显然不成立,
因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列.……16分
数学Ⅱ(附加题)
21.A.证明:
连接OD
因为DC为切线且点D为切点,所以
因为OA=OD
所以
又因为AD=DC
所以
故
所以BC=OD=R
从而AB=2BC……………10分
B.解:
(1)由条件得,,
,解得………2分
因为矩阵,
所以特征多项式为
,………4分
令,解得.
所以矩阵的另一个特征值为.………5分
(2)因为,………7分
所以.………10分
C.解:
把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为:
,即,………2分
曲线表示的是圆心,半径为的圆.………4分
直线的参数方程为参数化为普通方程
为,………6分
圆心到直线的距离为,………8分
直线被曲线所截得的弦长为.………10分
(说明:
也可以用直线参数方程的几何意义去完成)
D.证明:
由柯西不等式可知
所以,
当且仅当时取等号.………10分
22.解:
(1)由已知有,所以事件A的发生的概率为.…3分
(2)随机变量X的所有可能的取值为0,1,2.………4分
;;
.………6分
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
………8分
数学期望. ………10分
23.解:
(1).………2分
(2).………4分
(3)证明:
,,
,
.………10分