届北师大版 空间中的平行与垂直单元测试.docx

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届北师大版空间中的平行与垂直单元测试

第25练　空间中的平行与垂直

1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：

MN∥平面AA1B1B.

证明　如图所示，作ME∥BC交BB1于点E，作NF∥AD交AB于点F，连接EF，则EF⊂平面AA1B1B.

∵ME∥BC，NF∥AD，

∴

＝

，

＝

.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

∵CM＝DN，

∴B1M＝NB.

又B1C＝BD，

∴

＝

＝

，又BC＝AD，∴ME＝NF.

又ME∥BC∥AD∥NF，

∴四边形MEFN为平行四边形，

∴MN∥EF.

又EF⊂平面AA1B1B，MN⊄平面AA1B1B，

∴MN∥平面AA1B1B.

2.（2017·全国Ⅰ）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.

（1）证明：

平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为

，求该四棱锥的侧面积.

（1）证明　由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，

得AB⊥PA，CD⊥PD.

由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.

又AB⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PAD.

（2）解　如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.

由

（1）知，AB⊥平面PAD，

故AB⊥PE，AB⊥AD，

所以PE⊥平面ABCD.

设AB＝x，则由已知可得AD＝

x，PE＝

x，

故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝

AB·AD·PE＝

x3.由题设得

x3＝

，故x＝2.

从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，

AD＝BC＝2

，PB＝PC＝2

，

可得四棱锥P－ABCD的侧面积为

PA·PD＋

PA·AB＋

PD·DC＋

BC2sin60°＝6＋2

.

3.（2017·龙岩市新罗区校级模拟）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.

（1）若弧BC的中点为D，求证：

AC∥平面POD；

（2）如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.

（1）证明　方法一　设BC∩OD＝E，

∵D是弧BC的中点，

∴E是BC的中点.

又∵O是AB的中点，∴AC∥OE.

又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，

∴AC∥平面POD.

方法二　∵AB是底面圆的直径，

∴AC⊥BC.

∵弧BC的中点为D，

∴OD⊥BC.

又AC，OD共面，∴AC∥OD.

又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，

∴AC∥平面POD.

（2）解　设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，

∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，

∴h＝r，l＝

r.

由S△PAB＝

×2r×h＝r2＝9，得r＝3，

∴S表＝πrl＋πr2＝πr×

r＋πr2＝9（1＋

）π.

4.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？

若存在，求点F的位置；若不存在？

请说明理由.

解　存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：

∵AB∥CD，AB＝2CD，

∴AF綊CD，

∴四边形AFCD是平行四边形，

∴AD∥CF.

又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，

∴CF∥平面ADD1A1.

又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，

DD1⊂平面ADD1A1，

∴CC1∥平面ADD1A1.

又CC1，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，

∴平面C1CF∥平面ADD1A1.

5.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.

求证：

（1）AF∥平面BCE；

（2）平面BCE⊥平面CDE.

证明　

（1）如图，取CE的中点G，连接FG，BG.

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝

DE.

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB.

又AB＝

DE，∴GF＝AB.

∴四边形GFAB为平行四边形，

∴AF∥BG.

∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，

∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.

又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.

∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

6.（2017·全国Ⅲ）如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.

（1）证明：

AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.

（1）证明　如图，取AC的中点O，连接DO，BO.

因为AD＝CD，所以AC⊥DO.

又由于△ABC是正三角形，

所以AC⊥BO.

又DO∩OB＝O，

所以AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.

（2）解　连接EO.

由

（1）及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.

在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.

又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.

由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝

AC.

又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝

BD.

故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的

，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的

，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.

7.（2017·南京一模）如图，在六面体ABCDE中，平面DBC⊥平面ABC，AE⊥平面ABC.

（1）求证：

AE∥平面DBC；

（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：

AD⊥DC.

证明　

（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足.

∵平面DBC⊥平面ABC，平面DBC∩平面ABC＝BC，DO⊂平面DBC，

∴DO⊥平面ABC.

又AE⊥平面ABC，则AE∥DO.

又AE⊄平面DBC，DO⊂平面DBC，故AE∥平面DBC.

（2）由

（1）知，DO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴DO⊥AB.

又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，

∴AB⊥平面DBC.

∵DC⊂平面DBC，

∴AB⊥DC.

又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD，

则DC⊥平面ABD.

又AD⊂平面ABD，故可得AD⊥DC.

8.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD为正方形，顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O，高为

，设E，F分别为AB，SC的中点，且SE＝2，M为CD边上的点.

（1）求证：

EF∥平面SAD；

（2）试确定点M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD.

（1）证明　取SB的中点P，连接PF，PE.

∵F为SC的中点，

∴PF∥BC，又底面ABCD为正方形，

∴BC∥AD，即PF∥AD，又PE∥SA，

∴平面PFE∥平面SAD.

∵EF⊂平面PFE，

∴EF∥平面SAD.

（2）解　连接AC，AC的中点即为点O，连接SO，

由题意知SO⊥平面ABCD，

取OC的中点H，连接FH，则FH∥SO，

∴FH⊥平面ABCD，

∴平面EFH⊥平面ABCD，连接EH并延长，

则EH与DC的交点即为M点.

连接OE，由题意知SO＝

，SE＝2.

∴OE＝1，AB＝2，AE＝1，

∴

＝

＝

，

∴MC＝

AE＝

CD，

即点M在CD边上靠近C点距离为

的位置.

9.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点.

求证：

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

证明　

（1）在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，

∴EF∥PD.

又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，

∴直线EF∥平面PCD.

（2）如图，连接BD.

∵AB＝AD，∠BAD＝60°，

∴△ADB为正三角形.

∵F是AD的中点，

∴BF⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BF⊂平面ABCD，

∴BF⊥平面PAD.

又∵BF⊂平面BEF，

∴平面BEF⊥平面PAD.

10.（2017·山东）由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.

（1）证明：

A1O∥平面B1CD1；

（2）设M是OD的中点，证明：

平面A1EM⊥平面B1CD1.

证明　

（1）取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，

由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，

所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，

因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.

又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，

所以A1O∥平面B1CD1.

（2）因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，

所以EM⊥BD，

又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以A1E⊥BD.

因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.

又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，

所以B1D1⊥平面A1EM.

又B1D1⊂平面B1CD1，

所以平面A1EM⊥平面B1CD1.

11.（2017·汉中二模）如图，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点.

（1）求证：

A1D1∥平面AB1D；

（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1－ABC的体积.

（1）证明　连接DD1，在三棱柱ABC－A1B1C1中，

∵D，D1分别是BC和B1C1的中点，

∴B1D1∥BD，且B1D1＝BD，

∴四边形B1BDD1为平行四边形，

∴BB1∥DD1，且BB1＝DD1.

又∵AA1∥BB1，AA1＝BB1，

∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，

∴四边形AA1D1D为平行四边形，

∴A1D1∥AD.

又∵A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，

∴A1D1∥平面AB1D.

（2）解　在△ABC中，边长均为4，则AB＝AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC.

∵平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC，

∴AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A－B1BC的高.

在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2

，

在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，

∴△B1BC的面积为4

.

∴三棱锥B1－ABC的体积即为三棱锥A－B1BC的体积V＝

×4

×2

＝8.

12.如图，在四棱锥S－ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点.

（1）求证：

CD⊥平面SAD；

（2）求证：

PQ∥平面SCD；

（3）若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？

并证明你的结论.

（1）证明　∵四边形ABCD为正方形，

∴CD⊥AD.

又∵平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，

∴CD⊥平面SAD.