x
[活学活用]
已知M（2,0），N（10,0），P（11,3），Q（6,1）四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．解：
设M，N，P三点确定的圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
∴
－a
－a
－a
2＋b2＝r2，2＋b2＝r2，2＋－b
2＝r2，
a＝6，
解得b＝3，r2＝25.
∴过点M，N，P的圆的方程为（x－6）2＋（y－3）2＝25.
将点Q的坐标（6,1）代入方程左端，得（6－6）2＋（1－3）2＝4＜25，
∴点Q不在圆（x－6）2＋（y－3）2＝25上，
∴M，N，P，Q四点不共圆.
与圆有关的最值问题
y
[典例]已知实数x，y满足方程（x－2）2＋y2＝3.求的最大值和最小值．
x
y
[解]原方程表示以点（2,0）为圆心，以3为半径的圆，设＝k，即y＝kx，
x
|2k－0|
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝3，解得k＝±3.
k2＋1
y
故的最大值为3，最小值为－3.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．
解：
设y－x＝b，即y＝x＋b，
|2－0＋b|
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝3，
2
即b＝－2±6.
故y－x的最大值为－2＋6，
最小值为－2－6.
2．[变设问]在本例条件下，求x2＋y2
的最大值和最小值．
解：
x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故（x2＋y2）＝（2＋3）2
max
＝7＋43，
（x2＋y2）＝（2－3）2＝7－43.
min
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
y－b
（1）形如u＝形式的最值问题，可转化为过点（x，y）和（a，b）的动直线斜率的最值问
x－a
题．
al
（2）形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．
bb
（3）形如（x－a）2＋（y－b）2平方的最值问题．
形式的最值问题，可转化为动点（x，y）到定点（a，b）的距离的
1．方程|x|－1＝1－y－A．一个圆
C．半个圆
层级一学业水平达标
2所表示的曲线是（）
B．两个圆D．两个半圆
解析：
选
D
由题意，得
x|－2＋|x|－1≥0，
y－
2＝1，
即
x－
x≥1
2＋
y－2＝1，
x＋2＋或
x≤－1，
y－2＝1，
故原方程表示两个半圆．
2．若一圆的圆心坐标为（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（）
A．（x－2）2＋（y＋3）2＝13
B．（x＋2）2＋（y－3）2＝13
C．（x－2）2＋（y＋3）2＝52
D．（x＋2）2＋（y－3）2＝52
解析：
选A直径两端点的坐标分别为（4,0），（0，－6），可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是（x－2）2＋（y＋3）2＝13.
3．已知点A（－4，－5），B（6，－1），则以线段AB为直径的圆的方程是（）
A．（x＋1）2＋（y－3）2＝29
B．（x－1）2＋（y＋3）2＝29
C．（x＋1）2＋（y－3）2＝116
D．（x－1）2＋（y＋3）2＝116
|AB|1
解析：
选B圆心为线段AB的中点（1，－3），半径为＝
22
＋
2＋－1＋
2＝
29，所以所求圆的方程为（x－1）2＋（y＋3）2＝29.故选B.
4．已知直线l过圆x2＋（y－3）2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是（）
A．x＋y－2＝0C．x＋y－3＝0
B．x－y＋2＝0D．x－y＋3＝0
解析：
选D圆x2＋（y－3）2＝4的圆心为点（0,3）．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.故选D.
5．若实数x，y满足（x＋5）2＋（y－12）2＝142，则x2＋y2
的最小值为（）
A．2
C.3
B．1
D.2
解析：
选Bx2＋y2表示圆上的点（x，y）与（0,0）间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.
6．若点P（－1，3）在圆x2＋y2＝m2
上，则实数m＝________.
解析：
∵P点在圆x2＋y2＝m2
上，
∴（－1）2＋（3）2＝4＝m2，
∴m＝±2.
答案：
±2
7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
x－y＋2＝0，解析：
由
2x＋y－8＝0，
可得x＝2，y＝4，即圆心为（2,4），从而r＝
－
2＋－
2＝25，故圆的标准方程为（x－2）2＋（y－4）2＝20.
答案：
（x－2）2＋（y－4）2＝20
8．与圆（x－2）2＋（y＋3）2＝16同圆心且过点P（－1,1）的圆的方程为________________．解析：
因为已知圆的圆心为（2，－3），所以所求圆的圆心为（2，－3）．又r＝
＋
2＋－3－
2＝5，所以所求圆的方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝25.
答案：
（x－2）2＋（y＋3）2＝25
9．求圆心在x轴上，且过A（1,4），B（2，－3）两点的圆的方程．解：
设圆心为（a,0），
则
a－
2＋16＝
a－
2＋9，所以a＝－2.
半径r＝
a－2＋16＝5，
75169
故所求圆的方程为（x＋2）2＋y2＝25.
10．求过点A（－1,3），B（4,2），且在x轴，y轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程．解：
设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.把点A，B的坐标代入，得
－1－a2＋－b2＝r2－a2＋－b2＝r2.
，
消去r2，得b＝5a－5.①
令x＝0，则（y－b）2＝r2－a2，y＝b±r2－a2，∴在y轴上的截距之和是2b.
令y＝0，则（x－a）2＝r2－b2，x＝a±r2－b2，∴在x轴上的截距之和是2a.
∴2a＋2b＝4，即a＋b＝2.②
75
①代入②，得a＝，∴b＝.
66
∴r2
75169＝－1－2＋3－2＝.
6618
∴圆的标准方程为x－2＋y－2＝.
6618
层级二应试能力达标
1．点P（a,10）与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2的位置关系是（）
A．在圆内C．在圆外
B．在圆上D．不确定
解析：
选C∵（a－1）2＋（10－1）2＝81＋（a－1）2>2，∴点P在圆外．
2．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆（x＋a）2＋（y＋b）2＝1的圆心位于（）
A．第一象限C．第三象限
B．第二象限D．第四象限
解析：
选D由题意，知（－a，－b）为圆（x＋a）2＋（y＋b）2＝1的圆心．由直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．
3．设P是圆（x－3）2＋（y＋1）2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为（）
A．6
C．3
解析：
选B
B．4
D．2
画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，
圆
心M（3，－1）与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－（－3）＝6.因
圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.
4．已知圆C与圆（x－1）2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为（）
为
A．（x＋1）2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1
b
a－1
a＋1b
22
C．x2＋（y＋1）2＝1
解析：
选C由已知圆（x－1）2＋y2直线y＝－x对称的点为（a，b），
D．x2＋（y－1）2＝1
＝1得圆心C（1,0），半径长r＝1.设圆心C（1,0）关于
111
－
则
－＝，
＝－1，
解得
a＝0，
b＝－1.
所以圆C的方程为x2＋（y＋1）2＝1.
5．若圆C与圆M：
（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对称，则圆________________．
C的标准方程是
解析：
圆（x＋2）2＋（y－1）2＝1的圆心为M（－2,1），半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C（2，－1），圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是（x－2）2＋（y＋1）2＝1.
答案：
（x－2）2＋（y＋1）2＝1
6．已知圆O的方程为（x－3）2＋（y－4）2＝25，则点M（2,3）到圆上的点的距离的最大值为________．
解析：
由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M（2,3）的距离最大，最
大距离为－
2＋－
2＋5＝5＋2.
答案：
5＋2
7．已知圆C的圆心为C（x，x），且过定点P（4,2）．
00
（1）求圆C的标准方程．
（2）当x为何值时，圆C的面积最小？
求出此时圆C的标准方程．
0
解：
（1）设圆C的标准方程为（x－x）2＋（y－x）2＝r2（r≠0）．
00
∵圆C过定点P（4,2），
∴（4－x）2＋（2－x）2＝r2（r≠0）．
00
∴r2＝2x2－12x＋20.
00
∴圆C的标准方程为（x－x）2＋（y－x）2＝2x2－12x＋20.
0000
（2）∵（x－x）2＋（y－x）2＝2x2－12x＋20＝2（x－3）2＋2，
00000
∴当x＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．
0
此时圆C的标准方程为（x－3）2＋（y－3）2＝2.
8．已知圆C：
（x＋3）2＋（y－1）2＝4，直线l：
14x＋8y－31＝0，求圆C关于直线l对称
11
的圆C的方程．
2
解：
设圆C的圆心坐标为（m，n）．
2
1
n－14
m＋37
－3＋m1＋n
22
7
因为直线l的斜率k＝－，圆C：
（x＋3）2＋（y－1）2＝4的圆心坐标为（－3,1），半径r
4
＝2，
＝，
所以，由对称性知
14×＋8×－31＝0，
m＝4，
解得
n＝5.
所以圆C的方程为（x－4）2＋（y－5）2＝4.
2
4．1.2圆的一般方程
预习课本P121～123，思考并完成以下问题
1．圆的一般方程是什么？
有什么特点？
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
3．已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径？
4．圆的标准方程与一般方程怎样相互转化？
[新知初探]
圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径：
DE
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆心为－，－，半径
22
1
长为
2
D2＋E2－4F.
[点睛]圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，
圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2
＋Dx＋Ey＋F＝0（其中D，E，F
为常数）具有以下特点：
（1）x2，y2
项的系数均为1；
（2）没有xy项；
（3）D2＋E2－4F＞0.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆（）
（2）方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0（a≠0）表示圆（）
答案：
（1）×
（2）√
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是（）
A．（2,3）
C．（－2，－3）
B．（－2,3）D．（2，－3）
－46
解析：
选D圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为－，－，即（2，－3）．
22
3．若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圆，则a的取值范围是________________．
解析：
若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圆，则2a2－4a＞0，∴a2－2a＞0，∴a＜0或a＞2.
答案：
（－∞，0）∪（2，＋∞）
圆的一般方程的辨析
[典例]若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
（1）实数m的取值范围；
（2）圆心坐标和半径．
[解]
（1）据题意知
D2＋E2－4F＝（2m）2＋（－2）2－4（m2＋5m）＞0，
即4m2＋4－4m2
－20m＞0，
1解得m＜，
5
1
故m的取值范围为－∞，
5
.
（2）将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为（x＋m）2＋（y－1）2＝1－5m，
故圆心坐标为（－m,1），半径r＝1－5m.
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：
一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
[活学活用]
1．若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
解析：
法一：
方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0，即为（x＋a）2＋（y＋a）2＝1－a，它表示圆，需满足1－a＞0，故a＜1.
法二：
要使方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，需满足（2a）2＋（2a）2－4（2a2＋a－1）＞0，解得a＜1.
答案：
（－∞，1）
2．已知曲线C：
x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
求证：
当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
证明：
∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20（m－2）2.
又m≠2，∴（m－2）2＞0，∴D2＋E2＋4F＞0，
即曲线C是一个圆．
x＝2m，
设圆心坐标为（x，y），则由
y＝－m
消去m，得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0
上.
求圆的一般方程
[典例]已知一圆过P（4，－2），Q（－1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．
[解][法一待定系数法]
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
DE
4D－2E＋F＋20＝0，①
得
D－3E－F－10＝0，②
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③
由已知|y－y|＝43，其中y，y是方程③的两根．1212
∴（y－y）2＝（y＋y）2－4yy＝E2－4F＝48.
121212
D＝－2，
联立①②④解得，E＝0，
F＝－12
或
D＝－10，
E＝－8，F＝4.
故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.[法二几何法]
由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为（a，a－1）．
又圆C的半径长r＝|CP|＝
a－
2＋a＋2.①
由已知圆C截y轴所得的线段长为43，而圆心C到y轴的距离为|a|.
∴r2＝a2
43
＋
2
2，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a＝1，a＝5，∴r＝13，
121
r＝37.
2
故所求圆的方程为（x－1）2＋y2＝13或（x－5
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